立足數(shù)學(xué)運(yùn)算，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是現(xiàn)實(shí)生活中的一種基本素養(yǎng)，更是數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別于其他基礎(chǔ)學(xué)科的一個(gè)突出素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科中的六大“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)\"之一，是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，以及終生學(xué)習(xí)的一條主要鏈條[1].

作為解決問(wèn)題的基本手段之一和學(xué)生必備的一項(xiàng)基本技能，數(shù)學(xué)運(yùn)算包括的主要內(nèi)容有：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.從數(shù)學(xué)問(wèn)題的運(yùn)算實(shí)質(zhì)、運(yùn)算方法與運(yùn)算技巧等方面進(jìn)一步強(qiáng)化、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與素養(yǎng)，形成優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與科學(xué)精神.

1理解運(yùn)算對(duì)象

例1已知平面向量 ^a，b，c ，若 |δa|=|δa-b|=2 |a-c|=1 ，那么 b?c 的取值范圍是

解析：設(shè) x=a-b，y=a-c ，則 |x|=2，|y|=1 ：由 b=a-x，c=a-y ，得 b?c=（a-x） ·

易得 0?|x+y-a|?|x|+|y|+|a|=5 ，所以

0?（x+y-a）²?25 于是 （204所以 故填答案：

點(diǎn)評(píng)：在解決此類(lèi)平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要注意題設(shè)條件與所求結(jié)論的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，厘清數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象，這里主要涉及平面向量的數(shù)量積、模等對(duì)應(yīng)的運(yùn)算，針對(duì)運(yùn)算對(duì)象加以理解與掌握，從而合理代換與巧妙變形，給問(wèn)題的分析與求解創(chuàng)造條件.

2掌握運(yùn)算法則

例2[2025屆上海市奉賢區(qū)高三學(xué)科質(zhì)量調(diào)研（奉賢一模）（12月）數(shù)學(xué)試卷·16]已知數(shù)列 {a_n} 不是常數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為 S_n a_ngt;0. 若對(duì)任意正整數(shù) n ，存在正整數(shù) Ψ_m ，使得 ∣S_n-a_m∣lt;α₁ ，則稱(chēng) {a_n} 是“可控?cái)?shù)列”.現(xiàn)給出兩個(gè)命題：

① 若各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列 {a_n} 滿(mǎn)足公差d=3 ，則 {a_n} 是“可控?cái)?shù)列”；② 若等比數(shù)列 {a_n} 是“可控?cái)?shù)列”，則其公比 q∈

則下列判斷正確的是（ ）.

A. ① 與 ② 均為真命題 B. ① 與 ② 均為假命題 C.① 為假命題， ② 為真命題 D. ① 為真命題， ② 為假命題

解析：（1）對(duì)于命題 ① ，可取特殊數(shù)列 {a_n}：a_n=

3n-2. 此時(shí) ，則 ∣S₂-a_m∣=

∣7-3m∣≠0 對(duì)任意正整數(shù) Ψ_m 恒成立（否則

與這正整數(shù) Σ_m 的條件矛盾）.所以 n=2 時(shí)， ∣S₂-a_m∣=

| 7-3m|?1=a₁ ，結(jié)合定義可知數(shù)列 {a_n} 不是“可控

數(shù)列”，故 ① 為假命題.（2）對(duì)于命題 ② ，若等比數(shù)列 {a_n} 是“可控?cái)?shù)列”，

依題可知 a_ngt;0 且 q≠1. 所以 ，從而

∣S_n-a_m∣1 ，即 ，亦即

，解得 1，m∈N^*

當(dāng) qgt;1 時(shí)，由 N^* ，整理可得 qⁿlt;1+（q-1）（q^m-1+1）.（?）

令 qⁿ?1+（q-1）（q^m-1+1） ，則可知當(dāng) n? log_q[1+（q-1）（q^m-1+1）]- 時(shí)， （*） 式不成立.

當(dāng) 0 顯然成立，而對(duì)于 1-q 為嚴(yán)格增函數(shù)，且當(dāng) n+∞ 時(shí)， ，故問(wèn)題等價(jià)于存在 m∈N^* ，使得 q^m-1+1. 記函數(shù) g（m）=q^m-1+1 ，隨著 Σ_m 的增大，g（m） 減小，故 g（m）_max=g（1）=2 ，故只需 解得 ，故 ② 為真命題.

點(diǎn)評(píng)：在解決此類(lèi)數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于掌握新定義的運(yùn)算法則，借助與數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程或不等式，是進(jìn)一步探究此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).

3探究運(yùn)算思路

例3[2025屆安徽省阜陽(yáng)市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷 ??8] 已知 agt;1 ，對(duì)任意的 b ，當(dāng) bgt;a 時(shí)，恒有b^alt;α^b ，則 a 的最小值為（ ）.

A.e^3-eB.e^e-1 C.e

解析：由 bgt;agt;1 ，不等式 恒成立，恒等變 （204號(hào)形可得

同構(gòu)函數(shù) ， xgt;1 ，則 f^′（x）= 1-ln.令f'（x）=0，解得χ=e.

當(dāng) x∈（1，e） 時(shí)， f^′（x）gt;0，f（x） 單調(diào)遞增；

當(dāng) x∈（e，+∞） 時(shí)， f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減.

所以

因?yàn)楫?dāng) bgt;agt;1 時(shí)，不等式 恒成立，所以 a?e ，即 a 的最小值為e.

點(diǎn)評(píng)：依托雙變量之間的大小關(guān)系，以及所滿(mǎn)足的不等式恒成立，關(guān)鍵在于合理變形與轉(zhuǎn)化，尋找并

探究數(shù)學(xué)的運(yùn)算思路，借助同構(gòu)函數(shù)思維，給問(wèn)題的解決思路開(kāi)拓局面.

4選擇運(yùn)算方法

例4[2025屆Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8定義在（0，+∞） 上的增函數(shù) f（x） 滿(mǎn)足： f（x）+f（y）= f（xy）-1 ，且 f（2）=0，f（a_n）=n-1. 已知數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為 S_n ，則使得 S_nlt;2025 成立的 n 的最大值是（ ）.

A.8 B.9 C.10 D.11

解析：依題，根據(jù) f（x）+f（y）=f（xy）-1 ，可得[f（x）+1]+[f（y）+1]=f（xy）+1

根據(jù)抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，特殊函數(shù) f（x）+1= log_ax（agt;0） 且 a≠1 ）滿(mǎn)足已知條件，即 f（x）= log_ax-1 ：

又由 f（2）=0 ，可得 f（2）=log_a2-1=0 ，解得 a= 2，則 f（x）=log₂x-1

由 f（a_n）=log₂a_n-1=n-1 ，解得 a_n=2ⁿ

所以 S "n "=" 2 （ 1 - 2 n "）／1 - 2"= 2 （ 2 "n "- 1 ） lt; 2 "0 2 5 "，即 2ⁿ⁺¹lt; 2 027.而 2⁹⁺¹=1 024，2¹⁰⁺¹=2 048 ，所以使得 S_nlt; 2025成立的 n 的最大值是9.

點(diǎn)評(píng)：以上問(wèn)題的解題常規(guī)思維是通過(guò)賦值法加以數(shù)學(xué)運(yùn)算.而根據(jù)抽象函數(shù)所滿(mǎn)足的遞推關(guān)系式，合理變形與轉(zhuǎn)化，聯(lián)想基本初等函數(shù)的類(lèi)型與對(duì)應(yīng)的基本性質(zhì)，建立二者之間的關(guān)系，巧妙構(gòu)造特殊函數(shù)模型來(lái)轉(zhuǎn)化，合理進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算與應(yīng)用，成為解決此類(lèi)抽象函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)常用的一種基本技巧、方法.這里依托對(duì)數(shù)函數(shù)模型的運(yùn)算規(guī)則，合理構(gòu)建與之相吻合的對(duì)數(shù)函數(shù)模型，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)模型的定義域.

以上數(shù)學(xué)運(yùn)算涉及運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思路的探究、運(yùn)算方法的選擇等層面，其最終目的是求得正確結(jié)果.同時(shí)要注意，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不僅要挖掘其內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，還要與邏輯思維能力有機(jī)結(jié)合，二者相輔相成，緊密關(guān)聯(lián)，通過(guò)比較、感悟、抽象不同的運(yùn)算方式，加深對(duì)運(yùn)算概念的理解與運(yùn)算規(guī)律的掌握，從而優(yōu)化了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.在此過(guò)程中，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.Z