借助平面向量的坐標運算速解最值習題

2025-09-28 00:00:00羅文婷

中學數(shù)學·高中版 2025年9期

平面向量是一種既有大小又有方向的量，在數(shù)學、物理、計算機等領域有著廣泛的應用.在數(shù)學中，平面向量是一種解決問題的重要工具，通過坐標運算可以將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，為解決最值習題提供了一種可行且高效的思路.學習中應注重深入理解，扎實掌握平面向量的坐標運算法則，在習題訓練中不斷提升運用平面向量坐標運算解答最值習題的能力，提升數(shù)學成績.

1代數(shù)式最值

求代數(shù)式的最值時，應明確代數(shù)式有幾部分構成，結(jié)合習題情境進行等量代換、等價轉(zhuǎn)化.其中當題干中涉及平面向量時，可以考慮使用坐標表示各點及平面向量，通過平面向量的坐標運算理順要求代數(shù)式與向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過構建恒等關系將求代數(shù)式的最值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，借助函數(shù)性質(zhì)便可順利解決問題.

例1在 ΔABC 中， AB=1，AC=2，∠BAC= 60^°，P 是 ΔABC 的外接圓上一點，若，則 m+n 的最大值是（）.

A.1

分析：運用已知條件及余弦定理求出 BC² ，確定線段 AB 和 BC 的關系.建立平面直角坐標系后，借助平面向量的坐標運算及“ ”，分別表示出 m，n ，通過整理、轉(zhuǎn)化求出結(jié)果.

解：在 ΔABC 中， AB=1，AC=2，∠BAC=60^° 由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB?AC. .cos∠BAC=1+4-2×1×2×cos60^°=3 ，即易得 AB²+BC²=AC² ，則 AB⊥BC ：

以 AC 的中點為原點，建立

如圖1所示的平面直角坐標系.易得點 A（1，0），C（-1，0），

，則

.設點 P 的坐標為

（cos θ，sinθ），則

圖1

由，可得（co 所以解得則 m+n= （2 ，當且僅當時，等號成立，即 m+n 的最大值是故選擇：B.

點評：該題主要考查余弦定理、平面向量的坐標運算、三角函數(shù)的性質(zhì)等，難度一般.解題的關鍵在于三點.其一，借助余弦定理確定 _AB 和 BC 的垂直關系；其二，用三角函數(shù)表示點 P 的坐標；其三，借助平面向量的坐標運算，分別表示出 m，n ，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.

2向量的數(shù)量積最值

向量的數(shù)量積是平面向量非常重要的概念[2].向量的數(shù)量積運算法則用坐標表示為：若 a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），則 .由此可見，求向量的數(shù)量積最值只需根據(jù)題意設出或求出對應點的坐標，正確表示出對應的向量及向量的數(shù)量積.根據(jù)結(jié)果采用對應的方法，如得出的結(jié)果為函數(shù)，則結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及相關參數(shù)的取值范圍計算出結(jié)果.

例2如圖2所示， ΔABC 中，，AB=2，點M滿足為 BM 的中點，點 N 在線段 BC 上移動（包括端點），則的最小值是

圖2

分析：結(jié)合題意構建平面直角坐標系，根據(jù)題干給出的已知條件設出點的坐標，結(jié)合平面向量的關系及向量的數(shù)量積，使用坐標分別表示出，求出，并根據(jù)參數(shù)范圍求得最小值.

解：根據(jù)題意，以 B 為原y點， BC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系，如圖3所示.設點 C（t，0），tgt;0. 由

AB=2 ，易得點 A 的坐標是，則

圖3

設點 M（x，y），則

1AC，可得x-1 ，則 x=

，則（204號由點，得所以

解得 ι=4 （舍去）或 t=3 ，則點又 o 為 BM 的中點，則點設點 N（n，0），0?n?3 ，則

，所以

，則當 n=0 時取得最小值

點評：該題主要考查向量的坐標運算、向量的數(shù)量積知識.整體來看，該題的解題思路還是比較清晰的，建立平面直角坐標系后，先表示或求出點的坐標，并正確表示出對應向量的坐標.難點在于兩點.其一，根據(jù)題意需要設出多個點的坐標，并且需要根據(jù)點在線段上確定點的坐標的范圍；其二，運算量較大，計算時需要認真、謹慎.

3向量的模最值

向量的模指的是向量的長度，對于一個平面向量a=（x，y），其模的計算公式為 .借助向量模的坐標運算，便可以將向量轉(zhuǎn)化成對應的線段，從而建立向量與平面幾何圖形之間的關系，借助平面幾何圖形的性質(zhì)，求解各種問題.在求解向量的模最值問題時，應將重點放在求向量的坐標上.