2024年新高考Ⅰ卷數(shù)列試題分析

2024年數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷進(jìn)行了大的結(jié)構(gòu)改變，由以前的22題變?yōu)?9題，增加了解答題的總分值，優(yōu)化了多選題的賦分方式.題量的減少，為考生的思考增加了時(shí)間和空間，考生不必過多地關(guān)注解題的進(jìn)度和速度，可以更專注、更深人地思考；加強(qiáng)思維考查，符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》中“延長(zhǎng)考試時(shí)間或減少題量\"的建議.作為新高考新試卷（數(shù)學(xué)卷共19題）的第一年，數(shù)列內(nèi)容結(jié)合新情景，安排在最后壓軸題的位置.數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具.從新人教A版教材的編排來(lái)看，數(shù)列和導(dǎo)數(shù)兩個(gè)模塊放在了選擇性必修第二冊(cè)，這更加凸顯了數(shù)列和函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，研究數(shù)列問題要站在函數(shù)的高度去思考.

從數(shù)字發(fā)展的歷史淵源和基本算理邏輯來(lái)看，都指向了同一個(gè)規(guī)律： 1+1=2，2+1=3，3+1=4，4+ 1=5，……，（n-1）+1=n 所以下標(biāo)的規(guī)律已經(jīng)很明確的告訴我們，數(shù)列的實(shí)質(zhì)就是研究相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，即“遞推”，繼而找到“全規(guī)律”順利解決問題.2024年新高考 I 卷第19題正是這一核心思想的經(jīng)典體現(xiàn).

年新高考I卷數(shù)列考查統(tǒng)計(jì)

2022—2024年新高考I卷數(shù)列考查統(tǒng)計(jì)如表1：

表1

22024年新高考I卷數(shù)列題分析

（2024年新高考 I 卷第19題）設(shè) Σ_m 為正整數(shù)，數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng) a_i 和 a_j（im 組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列[1-3].（1）寫出所有的 （i，j），1?i1

是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng) m?3 時(shí)，證明：數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2

（2，13）-可分?jǐn)?shù)列；（3）從 1，2，…，4m+2 中一次任取兩個(gè)數(shù) i 和 j ），記數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明：Pmgt;1

點(diǎn)評(píng)：本題以等差數(shù)列為知識(shí)背景，難度大，綜合性強(qiáng)，創(chuàng)新設(shè)問方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，經(jīng)典又新穎，拓展考生思維，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中感悟數(shù)學(xué)素養(yǎng)，自主選擇方法和策略，理解問題、分析問題、解決問題.試題突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，加強(qiáng)教考銜接.

高考數(shù)學(xué)學(xué)科評(píng)價(jià)體系包括“一核”“四層”“四翼\"三部分.核心功能：立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)，考查目標(biāo)：必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值考查要求：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.高考評(píng)價(jià)體系中規(guī)定了高考的考查載體一一情境，以此來(lái)承載考查內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)考查目標(biāo)與要求.高考數(shù)學(xué)試題情境主要分為三類：“課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境、社會(huì)實(shí)踐情境.\"[4]

32024年新高考1卷第19題的推廣

設(shè) Σ_m 為正整數(shù)，數(shù)列 a₁，a₂，a₃…，a_5m+2 是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng) a_i 和 a_j（i 剩余的 5m 項(xiàng)可被平均分為 m 組，且每組的5個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列 a₁，a₂，a₃…，a_5m+2 是（i，j） —可拆數(shù)列[2-3].（1）寫出所有的 （i，j），1?i1 a₂…，a₃……，a₇ 是 （i，j） —可拆數(shù)列；（2）當(dāng) m?3 ，證明：數(shù)列 a₁，a₂，a₃，…，a_5m+2 是（2，16）—可拆數(shù)列；（3）從 1，2，…，5m+2 中一次任取兩個(gè)數(shù) i 和 j

0 ，記 a₁，a₂，a₃，…，a_5m+2 是 （i，j） 一可拆數(shù)列的概率為 P_m ，證明 業(yè)

解：不妨設(shè)原數(shù)列為 A：1，2，…，5m+2 （1）顯然答案為

（2）數(shù)列 A 刪去2和16后，前15項(xiàng)按mod3同余分組，后 5（m-3） 項(xiàng)順序，5項(xiàng)一組，便證得 A 是（2，16）—可拆數(shù)列.

（3）若 0?n?k?m，A 刪去 5n+1 和 5k+2 后，前 5n 項(xiàng)、中 5（k-n） 項(xiàng)、后 5（m-k） 項(xiàng)順序5項(xiàng)一組，便得知 A 是 （5n+1，5k+2） —可拆數(shù)列.若 0?n? k?m 且 n-k?2，A 刪去 5k+2 和 5n+1 后，前 5k 項(xiàng)、后 5（m-n） 項(xiàng)順序5項(xiàng)一組，而中間 5（n-k） 項(xiàng)按mod（n-k） 同余分組，便得知 A 是 （5k+2，5n+1）- 一可拆數(shù)列.因 A 中 5n+1 和 5k+2 型的項(xiàng)各有 m+1 個(gè)，滿足 0?n?k?m 且 n-k=1 的整數(shù)對(duì) （n，k） 有m 個(gè)，所以可知題設(shè)概率

4高三數(shù)列的教學(xué)建議

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有內(nèi)涵豐富、方法靈活、應(yīng)用廣泛的特點(diǎn).高考試題既是服務(wù)選材的尺，又是引導(dǎo)教學(xué)的旗幟.2024年新高考I卷的第19題，考查數(shù)列的新情景，以等差數(shù)列性質(zhì)為載體通過新定義考查學(xué)生對(duì)子數(shù)列的學(xué)習(xí)理解能力.新高考Ⅱ卷的第12題、第19題，全國(guó)甲卷理、甲卷文，北京卷，天津卷，上海卷等各份試卷都出現(xiàn)了數(shù)列的新題型，或與概率交匯，或與函數(shù)結(jié)合等，著重強(qiáng)調(diào)數(shù)列的遞推關(guān)系，探求數(shù)列的通項(xiàng)公式及項(xiàng)的性質(zhì)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率綜合的多方面考查，在高考命題中的分量逐步提升.

（1）研究試題，把握方向

新一輪高考改革提出“一核”“四層\"“四翼”，積極促使命題向素養(yǎng)導(dǎo)向發(fā)展.因此，在復(fù)習(xí)備考中，教師在一輪復(fù)習(xí)中要深入研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》、回歸教材、著眼高考試題，探尋高考命題內(nèi)在規(guī)律[4.《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)列的函數(shù)屬性在高考中的考查，都需要一線教師認(rèn)真研究，做好備考.教師要深人研究試題，捕捉命題內(nèi)容、難度、題型等線索，并且透過現(xiàn)象看本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律并推廣，以此合理高效地分配備考時(shí)間和精力，有的放矢進(jìn)行復(fù)習(xí).引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納一些解決問題的方法：由簡(jiǎn)到繁，優(yōu)先選擇條件單一或者運(yùn)算方便的；由熟到生，優(yōu)先選擇熟悉的式子或者條件.

（2）夯實(shí)基礎(chǔ)，透析本質(zhì)

新高考數(shù)列試題依舊堅(jiān)持回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，注重通性通法的研究，淡化一些特殊的技巧.因此，在復(fù)習(xí)備考中，一方面要引導(dǎo)學(xué)生用好教材，重視知識(shí)的生成與發(fā)展，多想多悟，深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；另一方面要幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，做好“一題多解”“多題一解”的訓(xùn)練與反思，既要就題論題，做到知識(shí)再現(xiàn)，突出重點(diǎn)，也要做到跳出題自看問題，提高思維的靈活性，減少思維定勢(shì).調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，關(guān)注解題途徑的選擇與優(yōu)化.教師進(jìn)入研究狀態(tài)，不斷拿出研究成果，學(xué)生進(jìn)人探究狀態(tài)，不斷攻克教師的層層加碼問題.教師務(wù)必要將試題理清、講透、做活，學(xué)生在高三復(fù)習(xí)中要將試題根源弄清、吃透、做活.從通性通法中汲取解題思路，優(yōu)選方法，多思少算.綜合題化繁為簡(jiǎn)，逐級(jí)破解.

（3）著眼應(yīng)用，關(guān)注創(chuàng)新

數(shù)學(xué)源于生活，又作用于生活，有著豐富的應(yīng)用價(jià)值.從近年高考試題可以看出，數(shù)列命題堅(jiān)持從學(xué)生認(rèn)知水平出發(fā)，本著“重思維、強(qiáng)應(yīng)用、多創(chuàng)新”的理念，以學(xué)科內(nèi)和學(xué)科間的應(yīng)用為依托，設(shè)計(jì)開放性問題、創(chuàng)新型應(yīng)用問題、探索拓展型問題，深化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、類比歸納等核心素養(yǎng)的考查.因此，在復(fù)習(xí)備考中，教師要著眼應(yīng)用，勇于創(chuàng)新.一方面做好系統(tǒng)化教學(xué)，另一方面開展主題式研究，重視思維力和意志力的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，使得學(xué)生在考場(chǎng)上遇到新情景、新問題能夠不慌不亂，善思考、敢嘗試、能動(dòng)手、會(huì)突破，切實(shí)提升學(xué)生處理問題的能力.

對(duì)近幾年全國(guó)I卷數(shù)列試題的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于數(shù)列的考查，依托高考評(píng)價(jià)體系，需要?jiǎng)?chuàng)新試題結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，注重思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，打破以往的固定套路，聚焦主干知識(shí)和重要原理，回歸教材，確保學(xué)生能夠扎實(shí)掌握核心概念.對(duì)于高三的教學(xué)，需要更加突出思維能力的考查，助力拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)和選撥，加強(qiáng)基本數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，堅(jiān)持以標(biāo)扣本，教考合一的設(shè)計(jì)理念.

參考文獻(xiàn)：

[1林榮.創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)助力選撥人才—2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷試卷分析[J].教學(xué)考試，2024（29）：4-8.

[2]江戰(zhàn)明.基礎(chǔ)與創(chuàng)新融合能力與素養(yǎng)并進(jìn)—2024年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷評(píng)析與教學(xué)思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2024（8）：30-34.

[3]沈新權(quán).創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)，突出主干知識(shí)，強(qiáng)化關(guān)鍵能力—2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)I卷評(píng)析[J].高中數(shù)理化，2024（13）：8-13.

[4]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M.北京：人民教育出版社，2020.Z