數(shù)列求和問(wèn)題的七種常用方法

數(shù)列問(wèn)題是高考中的基礎(chǔ)試題，數(shù)列求和問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在大題中，因此，掌握數(shù)列的知識(shí)，歸納總結(jié)數(shù)列求和的方法是十分必要的.本文中主要應(yīng)用例題講解數(shù)列求和的七種方法，即公式法、分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法、分組討論法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.從例題中感受數(shù)列與方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)的結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

1公式法

公式法適用于等差數(shù)列已知 a₁，a_n，S_n，n，d 其中三個(gè)量，求另外兩個(gè)，等比數(shù)列已知 a₁，a_n，S_n，n，q 其中三個(gè)量，求另外兩個(gè)，主要應(yīng)用方程思想.

等差數(shù)列前 Ω_n 項(xiàng)和公式 或 S_n= （20；等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式為 S_n=

例1記 S_n 是公差不為0的等差數(shù)列 {a_n} 的前n 項(xiàng)和，若 a₃=S₅，a₂a₄=S₄.

（1）求數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）求使 S_ngt;a_n 成立的 n 的最小值.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列 {a_n} 公差為 ，則由題a₃=S₅，a₂a₄=S₄ ，可得

解得

因此， ，a_n=a₁+（n-1）d=2n-6

（2）由（1）知， a_n=2n-6 ，則

由 S_ngt;a_n ，得 n²-5ngt;2n-6 ，即 n²-7n+6gt; 0，解得 nlt;1 或 ngt;6

又因?yàn)?Ω_n∈N^* ，所以使 S_ngt;a_n 成立的 n 的最小值為7.

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含函數(shù)與方程思想.利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，通過(guò)列方程組，求出各基本量.數(shù)列可看作定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集的函數(shù)，考慮 Ω_n∈N^* ，如例題中 S_n=n²-5n ，將 S_n 看作關(guān)于 n 的二次函數(shù)進(jìn)行求解.數(shù)列問(wèn)題與不等式問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)和圖象分析數(shù)列的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，是數(shù)列問(wèn)題中重要的考點(diǎn).

2分組求和法

分組求和法適用于數(shù)列 {a，} 可拆分成 {b，} ，{c_n} ，其中 {b_n}，{c_n} 為等差數(shù)列或等比數(shù)列.

（I）a_n=b_n±c_n 為奇數(shù)，為偶數(shù).

例2已知數(shù)列 {a_n} 滿(mǎn)足 a₁=1 ， a_n+1= （a_n+1，n 為奇數(shù)， {a_n+2，n} 為偶數(shù).

（1）記 b_n=a_2n ，寫(xiě)出 b₁，b₂ ，并求數(shù)列 {b_n} 的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列 {a_n} 的前20項(xiàng)和.

為奇數(shù)，解：（1）因?yàn)?所為偶數(shù)，以 b₁=a₂=a₁+1=2，b₂=a₄=a₃+1=a₂+2+1=5

因?yàn)?b_n=a_2n ，所以 b_n+1=a_2n+2=a_2n+1+1=a_2n+1+ 1=a_2n+2+1=a_2n+3 ，則有 b_n+1-b_n=3

因此，數(shù)列 {b_n} 是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以 b_n=b₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1. ，

（2）因?yàn)閍n+1={an+1，n為奇數(shù)， 所以 k∈N^* 時(shí)，為偶數(shù)，

a_2k=a_2k-1+1=a_2k-1+1，

a_2k+1=a_2k+2，

a_2k+2=a_2k+1+1=a_2k+1+1.

①+② ，得 a_2k+a_2k+1=a_2k-1+a_2k+3 ，即 a_2k+1- a_2k-1=3. 又 a₁=1 ，所以數(shù)列 {a_n} 的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

②+③ ，得 a_2k+2+a_2k+1=a_2k+1+a_2k+3 ，即 a_2k+2- a_2k=3. 又 a₂=2 ，所以數(shù)列 {a_n} 的偶數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.

因此，數(shù)列 {a_n} 的前20項(xiàng)和為 S₂₀=（a₁+a₃+ （……+a₁₉）+（a₂+a₄+……+a₂₀）=10×1+

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過(guò)對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，例如b_n+1-b_n=3 ；蘊(yùn)含方程消元思想，利用 n 的奇偶性，對(duì)數(shù)列進(jìn)行分段討論，其中 ①②③ 式是本題的關(guān)鍵，求解奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，確定基本量后，最終得出數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.

3并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法

并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法適用于擺動(dòng)數(shù)列 a_n=（-1）ⁿf（n） 求和，討論 n 的奇偶性.

例3已知數(shù)列 a_n=（-1）ⁿn² ，求數(shù)列 {a_n} 的前n 項(xiàng)和 S_n ·

解：當(dāng) n=2k （ k∈N^* ）時(shí)， b_k=a_2k-1+a_2k= -（2k-1）²+（2k）²=4k-1 ，則數(shù)列 {b_k} 是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.

所以 S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+

當(dāng) n=2k+1（k∈N^* ）時(shí)， ，b_k=a_2k+a_2k+1=（2k）²- （2k+1）²=-4k-1 ，則數(shù)列 {b_k} 是以 -5 為首項(xiàng)， -4 為公差的等差數(shù)列.

所以 S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+ a_2k+a_2k+1）=a₁+b₁+b₂+…+b_k=-1+

綜上，S=（-1）n（n+1）

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含分類(lèi)討論思想.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法類(lèi)似于分組求和法中的第二種情況，主要針對(duì)擺動(dòng)數(shù)列、周期數(shù)列進(jìn)行研究.在研究擺動(dòng)數(shù)列的一些問(wèn)題時(shí)，常根據(jù)項(xiàng)數(shù) n 的奇偶性進(jìn)行分類(lèi)討論.此題注重對(duì) n 的討論，以及巧妙運(yùn)用 （-1）ⁿ 來(lái)表示數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.

4分組討論法

分組討論法適用于求數(shù)列 {|a_n|} 的前 n 項(xiàng)和

例4已知數(shù)列 a_n=11-2n ，求數(shù)列 {∣a_n∣} 的前n 項(xiàng)和.

解：令 a_n=11-2n≥0 ，解得 n?5 ，則數(shù)列 {a_n} 的前5項(xiàng)是非負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)開(kāi)始都是負(fù)數(shù).

設(shè) S_n?T_n 分別表示數(shù)列 {a_n}，{∣a_n∣} 的前 Ω_n 項(xiàng)和，又?jǐn)?shù)列 {a_n} 是以9為首項(xiàng)， -2 為公差的等差數(shù)列，所以S=

且 T₅=25

當(dāng) n?5 時(shí)， T_n=∣a₁∣+∣a₂∣+…+∣a_n∣= a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+10n

當(dāng) ngt;5 時(shí)，

（S_n-S₅）=2T₅-S_n

所以 T_n=2×25-（-n²+10n）=n²-10n+50.

綜上，

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含分類(lèi)討論思想.根據(jù)數(shù)列中絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)性進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.要注重對(duì)數(shù)列的非負(fù)性和分段性進(jìn)行討論.首先要判斷 a_ngt;0 和 a_nlt;0 時(shí) n 的取值范圍，這樣就可以將絕對(duì)值符號(hào)去掉，易于求和.由于 n 的取值范圍不同時(shí)，表達(dá)式不一樣，因此最后要分段表示.如例4中求數(shù)列 {∣a_n∣} 的前 n 項(xiàng)和 T_n ，分 兩種情況.

5錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法適用于 {a_n?b_n} 數(shù)列，其中 {a_n} 為等差數(shù)列， {b_n} 為等比數(shù)列.

例5記 S_n 為數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和，已知 4S_n= 3a_n+4 ：

（1）求 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè) b_n=（-1）^n-1na_n ，求數(shù)列 {b_n} 的前 n 項(xiàng)和 T_n

解：（1）因?yàn)?4S_n=3a_n+4 ，所以當(dāng) n?2 時(shí)， 4S_n-1= 3a_n-1+4 ：

兩式相減，得 4a_n=3a_n-3a_n-1 即

當(dāng) n=1 時(shí)，由 44a₁=3a₁+4 ，得 a₁=4≠0

所以數(shù)列 {a_n} 的是以4為首項(xiàng)， -3 為公比的等比數(shù)列，則 a_n=4×（-3）^n-1 ：

（2）由（1）知 ?a_n=4×（-3）^n-1 ，則 b_n=（-1）^n-1× n×4×（-3）^n-1=4n?3^n-1

所以

T_n=4×3^°+8×3¹+12×3²+……+4n×3^n-1

3T_n=4×3¹+8×3²+12×3³+……+4n×3ⁿ.

④-⑤ ，得 -2T_n=4+4（3¹+3²+……+3^n-1）- （2-4n）×3ⁿ

所以 T_n=1+（2n-1）3ⁿ

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含方程思想.通過(guò)將 S_n 與 qS_n（q 為等比數(shù)列公比）相減，得到一個(gè)關(guān)于 S_n 的方程，然后求解方程得出 S_n 的表達(dá)式.等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式就是由錯(cuò)位相減法推導(dǎo)出來(lái)的；利用錯(cuò)位相減法時(shí)，要注意錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊，以免在計(jì)算 S_n-qS_n 時(shí)出錯(cuò).

6裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法適用于通項(xiàng)可拆為兩項(xiàng)（或多項(xiàng)）差或和的形式數(shù)列求和，形如：

例 ? 記 S_n 為數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和，已知 a₁=1 是公差為 的等差數(shù)列.

（1）求 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

（2）證明

（1）解：由 是公差為 的等差數(shù)列，得 （20 （2 即 又 則

因?yàn)?a₁=1 ，所以當(dāng) ngt;1 時(shí)，

又當(dāng) n=1 時(shí)， ，所以

（2）證明：根據(jù)（1）可知 1

所

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化與化歸思想.裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的重要方法，將數(shù)列的通項(xiàng)分解，拆分成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的差或和的形式，使其能在求和時(shí)正負(fù)相消.本方法體現(xiàn)了對(duì)代數(shù)式的恒等變形能力，要求對(duì)分式的運(yùn)算和因式分解等知識(shí)有深入理解.特別要注意的是，隔項(xiàng)相消時(shí)，要前后多列出幾項(xiàng)，確保不丟項(xiàng).此題中巧妙運(yùn)用不等式的放縮進(jìn)行求解.

7倒序相加法

倒序相加法適用于a+an=a十a(chǎn)n-1=

例7設(shè) ，求 f（-5）+f（-4）+ …+f（0）+f（1）+…+f（5）+f（6） 的值.

解：由 ，得 （204 設(shè) S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（1）+ …+f（5）+f（6） ，則 S=f（6）+f（5）+…+ f（1）+f（0）+…+f（-4）+f（-5）. 所以 2S=[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+ …+[f（0）+f（1）]+…+[f（6）+f（-5）]. 故

評(píng)注：本方法蘊(yùn)含類(lèi)比思想和數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美.等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式就是由倒序相加法推導(dǎo)出來(lái)的，在等差數(shù)列中，間隔相等的兩項(xiàng)的和相等即可應(yīng)用倒序相加法.此方法是類(lèi)比一次函數(shù)圖象中 ∴ 對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，若函數(shù) f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn) （a，b） 中心對(duì)稱(chēng)，則有 f（x） +f（2a-x）=2b .正序和倒序的數(shù)列形成一種對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，每一組對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和相等，這種對(duì)稱(chēng)關(guān)系是倒序相加法的核心.利用這種對(duì)稱(chēng)性能快速找到求和的簡(jiǎn)便方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美和規(guī)律美.

以上是數(shù)列求和的七種常用方法，同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)要善于總結(jié)特殊數(shù)列的解題技巧，并靈活運(yùn)用各解題方法