一類帶絕對值的函數最值問題分析及應用

1949年，美國數學工作者ChesterMcMaster曾經提出過一個有趣的初等數學問題——ChesterMc-Master賽場選址問題（下面簡稱賽場選址問題），其核心內容可以表達為1952年J.H.Butchart和LeoMos-ter在美國中學數學教師刊物《數學文集》上提出的如下問題：數軸上有 n 個點，在數軸上選取一點使得此點到以上 n 個點的距離之和最小.賽場選址問題及其變形是國內外數學競賽中的熱點，也是訓練中學生數學思維的良好素材.賽場選址問題的數學本質其實就是討論函數 f（x）=∣x-a₁∣+∣x-a₂∣+…+ （2號∣x-a_n∣ 的最值問題.李錦旭、卞文[1]，張文海[2]等人先后從不同角度對該問題及其推廣進行了深入的研究；江保兵3等人亦對含絕對值函數的最值做了一些探討.特別地，李錦旭，卞文1給出了賽場選址問題的解答并將其推廣到對每個絕對值附加正有理數加權的情形.本文在[1的基礎之上，給出一個解決此類問題的一般性方案.作為應用，我們討論了賽場選址問題的一類新的推廣——帶負號絕對值之和函數的最值問題.

1四個引理

在下文中， 表示實數集，如不作特殊說明，字母i，k，n，?p，q 均是正整數.

引理1設 a∈R ，函數 f（x）=|x-a| ，則 f（x） 無最大值，且當 x=a 時， f（x） 取最小值0.

引理2設 a，b∈R，a?b ，函數 f（x）=|x-a|+ |x-b| ，則 f（x） 無最大值，且當 x∈[a，b] 時， f（x） 取最小值 b-a

引理3設 a，b∈R，a?b ，函數 f（x）=|x-a|- ∣x-b∣ ，則 f（x） 在 （-∞，a] 處取最小值 a-b ，在[b，+∞） 處取最大值 b-a

引理4設 f₁，f₂，…，f_n 是定義在 上的實函數，函數 f=f₁+f₂+…+f_n ，則：（1）若 f₁，f₂ ，…，f_n 分別在數集 A₁，A₂，…，A_n 上取最大值M₁，M₂，…，M_n ，且 A=?_i=1ⁿA_i≠? ，則 f 在 A 上取最大值 M₁+M₂+……+M_n;（2） 若 f₁，f₂，……，f_n 分別在數集 A₁，A₂，…，A_n 上取最小值 M₁，M₂ .…，M_n ，且 A=?_i=1ⁿA_i≠? ，則 f 在 A 上取最小值M₁+M₂+…+M_n

2五個定理

定理1設 ngt;1，a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁?a₂? …?a_n ，函數 f（x）=∣x-a₁∣+∣x-a₂∣+…+. ∣x-a_n∣ ，則： （1）f（x） 在 上無最大值；（2）當 n=2k （204號時， f（x） 在區間 [a_k，a_k+1] 上取最小值 ：（3）當 n=2k+1 時， f（x） 在 x=a_k+1 處取得最小值

定理2設 ngt;1，a₁，a₂，……，a_n∈R，a?a₁? a₂?…?a_n ，函數 ，則：（1）f（x） 在 上無最小值；（2）當 n=2k 時， f（x） 在x=a_k+1 處取最大值 ；（3）當 n=2k+ 1時， f（x） 在區間 [a_k+1，a_k+2] 上取最大值

證明：（1）當 x?a_n 時， f（x）=（1-n）x-a+ ，顯然 f（x） 在 [a_n，+∞） 上無最小值，故 f（x） 在 上無最小值.

（2）當 n=2k 時，設 g（x）=|x-a|-|x-a₁| .由引理3和定理1（3），我們知道g（x） 在 [a₁，+∞） 上取最大值 a₁-a ，又 -h（x）= 在 x=a_k+1 處取最小值 ，從而（204號（204號 h（x） 在 x=a_k+1 處取最大值 而 a_k+1∈ [a₁+∞] ），故根據引理4知 f（x）=g（x）+h（x） 在x=a_k+1 處取最大值 ：

（3）當 n=2k+1 時，設 g（x）=|x-a|-|x-a₁| ，h （ x） = -∑"i = 2 "n ｜x "-" a i｜".由引理3和定理1（2），我們知道g（x） 在 [a₁，+∞ 上取最大值 a₁-a ，又 -h（x）= （204號 在 [a_k+1，a_k+2] 上取最小值 ，從而 h（x） 雞在 [a_k+1，a_k+2] 上取最大值 ，而[a_k+1，a_k+2]?[a₁+∞） ，故根據引理4知 f（x）= （20 g（x）+h（x） 在 [a_k+1，a_k+2]^- 上取最大值

注：在上述定理1和定理2中，如果 n=1 ，則兩個定理的結論分別退化成引理1和引理3的情形.

定理3設 a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n∈R a₁?a₂?…?a_n?b₁?b₂?…?b_n ，則 f（x）= 在 （-∞，a₁] 上取最小值，在[b_n，+∞） 上取最大值.

證明：設 f₁（x）=∣x-a₁∣-∣x-b_n∣，f₂（x）= ∣x^-b₁∣ .由引理3知對任意 i∈{1，2，…，n} ，函數f_i（x）=∣x-a_i∣-∣x-b_n-i+1∣ 在 （-∞，a_i] 上取最小值 a_i-b_n-i+1 ，在 [b_n-i+1 ，十）上取最大值 b_n-i+1-a_i 又因為 （-∞，a₁]?（-∞，a₂]?…∪（-∞，a_n] 以及[b_n，+∞）?[b_n-1，+∞）?……?[b₁，+∞） ，故 因此根據引理4知函數 在 （-∞，a₁] 上取最小值 ，在 [b_n，+∞） 上取最大值

定理1可知函數 g（x） 在 上取得最小值 M 而 ，結 合引理4知 f（x）=g（x）+h（x） 在 上 取最小值

（3）設 .當 p-q=1 時，函數 ∣x-a₁∣ ，根據引理1知 g（x） 在 x=a₁ 處取最小值0.此時函數 ，根據定理3知 h（x） 在 （-∞，a₂] 上取最小值 ，而 a₁∈ （-∞，a₂] ，由引理4知函數 f（x）=g（x）+h（x） 在x=a₁ 處取最小值 .當 p-q 是不為1的奇數時，根據定理1知函數 g（x） 在 處取最小值 由定理3知函數 h（x） 在 （-∞ ，a_?p-q+1] 上取最小值 ，而 （-∞，a_p-q+1] ，從而根據引理4得到函數 f（x）= g（x）+h（x） 雞在 處取最小值 ：

定理4設 b_q∈R，a₁?a₂?…?a_p?b₁?b₂?…?b_q ，函數 ，則有： （1）f（x） 在 上無最大值；（2）當 p-q 是偶數時， f（x） 在[，ap-g+2]上取得最小值≥a （3）當 p-q=1 時 f（x） 在 x=a₁ 處取最小值 ∑b：;當p-q是不為1的奇數時，f（）在=ap-g+1處取最小值

定理5設 b_q∈R，a₁?a₂?…?a_p?b₁?b₂?…?b_q ，函數 ，則： （1）f（x） 在 上無最小值；（2）當 q-p 是偶數時， f^′（x^′） 在（20 上取最大值 （3）當 q-p=1 時， f（x） 在 ?_x=b_q 處取最大值 ∑a;;當q-ρ是不為1的奇數時，f（x）在=p+g+14 處取最大值

證明：（1）當 ?_x?b_q 時， ，因為 p-qgt;0 ，所以 f（x） 在 [b_q，+∞） 上無最大值，故函數 f（x） 在 上無最大值.

（2）當 ?-q 是偶數時，設 .由定理3知 h（x） 在 （-∞，a_??-q+1] 上取最小值 .再根據

證明：（1）當 σ_x?δ_bq 時， ，因為 p-qlt;0 ，所以 f（x） 在 [b_q，+∞） 上無最小值，故函數 f（x） 在 上無最小值.

（2）當 q-p 是偶數時，設 ，由定理3知 g（x） 在 [b_p，+∞） 上取最大值為 ;再由定理1知p+q （204號 -h（x） 在 ]上取最小值b-b， p+q+2 i=p+1 2 p+q 故 h（x） 在 上取最大值 ，而 ，結合引理4可知函數 f（x）= g（x）+h（x） 在 上取得最大值

（3）設 （204號 當 q-p=1 時，函數 -h（x）=∣x-b_q∣ ，根據引理1知 -h（x） 在 x=b_q 處取最小值0，所以函數 h（x） 在 ?_x=b_q 處取最大值0.此時函數 g（x）= ，根據定理3知函數 g（x） 在（204號 [b_q-1，+∞） 上取最大值 ，而 b_q∈ （204號[b_q-1，+∞） ，再結合引理4知函數 f（x）=g（x）+ h（x） 在 x=b_q 處取最大值 .當 q-p 是不為1的奇數時，根據定理1知 -h（x） 在 處取最小值 ，故 h（x） 在 處取最大值 ，根據定理3知函數 g（x） 在（204號 [b_p，+∞） 上取最大值 ，而 結合引理4知函數 f（x）=g（x）+h（x） 在 處取最大值 （20

3新應用案例

在一近似筆直的河流岸邊有 A 村、 B 村， A 村有7戶人家， B 村有4戶人家，各戶人家位置如圖1所示，已知 A₁A₂=A₂A₃=40m，A₃A₄=A₄A₅= A₅A₆=A₆A₇=A₇B₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=5m. 現兩村聯合，使用村集體經費對村內水管進行重新改造，選擇一個合適的進水口，然后從該進水口為每戶村民鋪設獨立水管，鋪設水管費用跟鋪設距離成正比，現有兩種方案設計進水口位置：

方案I：兩村鋪設水管花費總和最小；

方案 II：A 村和 B 村鋪設水管花費差距最小.

問：（1）若按方案I設計，則進水口位置應設計在哪里？該設計位置與題干中所給數據有無關系？

（2）若按方案II設計，則進水口位置設計在哪里？（3）按方案II設計的進水口位置跟題干所給10個數據中哪個數據無關？

A₁ A₂ （20 AAAAABBBB

解析：以 A₁ 為原點，以米為單位向右建立坐標軸，則從左往右各戶人家所在位置分別為0，40，80，85，90，95，100，105，110，115，120， ，設進水口位置在數軸上對應的實數為 Ψ_x

（1）按方案I設計，進水口位置應使函數 f（x）= |x|+|x-40|+|x-80|+|x-85|+|x-90|+ |x-95|+∣x-100∣+∣x-105∣+∣x-110∣+ |x-115|+|x-120| 取最小值.根據定理1，當 x 處于中間的點 A₆ 時函數取最小值，因此按此方案進水口應設計在 A₆ 處.此時亦可發現，該設計方案中進水口位置僅和各戶相對左右順序有關，跟具體距離數據無關．

（2）按方案II設計，進水口位置應使函數 f（x）= |x|+|x-40|+|x-80|+|x-85|+|x-90|+ |x-95|+∣x-100∣-∣x-105∣-∣x-110∣- ∣x-115∣-∣x-120∣ 的絕對值取最小值.根據定理4對該函數進行分析，可知該函數無最大值，在 x=40 時取最小值0，因此按此方案進水口應設計在 A₂ 處，此時 A 村和 B 村鋪設水管花費相同.

（3）根據定理4的證明思路進一步分析，在（2）中函數 f（x） 取最小值實際上正是對應函數 g（x）= |x|+|x-40|+|x-80| 與函數 h（x）=∣x-85∣+ |x-90|+|x-95|+|x-100|-|x-105|-|x-110|- |x-115|-|x-120| 同時取最小值，而從幾何角度看， g（x） 的最小值就是線段 A₁A₃ 之長 80，h（x） 的最小值是四條線段 A₄B₄，A₅B₃，A₆B₂，A₇B₁ 的長度和的相反數一80，因此可以看出這兩個最小值都跟A₃A₄ 的長度無關，故按方案I設計的進水口位置跟A₃A₄ 的長度數據無關.

注：本題第（2）問中，所得函數 f（x） 的最小值正好是0，可以最大程度保證 A 村和 B 村鋪設水管花費的均衡性，如果數據不同，使得 f（x） 的最小值是正數，則不影響進水口的設計方案，但 A 村花費必然多于 B 村.若 f（x） 的最小值是負數時，由于 f（x） 沒有最大值，則根據連續函數的介值定理， f（x） 的絕對值仍然可以取到最小值0，此時進水口的設計位置則不同于本題中的解答，有興趣的讀者可以一試.

參考文獻：

[1]李錦旭，卞文.絕對值和型函數最值應用例析[J].數學教學研究，2010（8）：40-44.

[2]張文海.一類含絕對值函數最值問題的解題思路研究[J].中國數學教學參考，2016（15）：50-51.

[3]江保兵.一類含絕對值函數最值問題解法探究[J].中國數學研究（華南師范大學版），2017（7）：36-37.Z