一道課后習題的解題分析

對數大小比較問題一直是近幾年高考的重要考點，其中2020年全國Ⅱ卷理科第12題、2020年全國Ⅲ卷文科第10題、2021年新高考Ⅱ卷第7題等對此知識點進行了考查.下面從2021年新高考Ⅱ卷第7題出發(fā)進行分析，該題與人教A版必修第一冊第141頁第13題的第（2）小題類似，文章給出了該課本習題的分離常量法、作差法、二分法、同時擴大法、利用糖水原理法、估算法、猜想法等七種解法，并總結證明為一般性結論，旨在給同學們的復習備考提供一些參考.

1高考試題及解析

（2021年新高考Ⅱ卷第7題）已知 a=log₅2，b= logamp;3， ，則下列判斷正確的是（ ）.

解析：根據題意，以 為中間變量分別與 log₅2 log₈3 比較大小即可. 故選：C.

本題以對數為載體，考查對數大小比較問題，此考點在課程標準中的要求是“理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數”

2課本習題的七種解法

上述試題與人教A版必修第一冊第141頁第13題的第（2）小題類似.（第141頁第13題）比較下列各題中三個數的大小：（2）log₂3，log₃4，log₄5. （20下面給出此題的7種解法.解法1：分離常量法.先比較 log₂3，log₃4 的大小：

當 _xgt;1 時，函數 y=log₂x 的圖象在函數 y= log₃x 的上方，又因為 ，所以log 從而 log₂3gt;log₃4

同理，可得 log₃4gt;log₄5 故 log₂3gt;log₃4gt;log₄5

點評：根據對數的運算性質，對數的和可以轉化成真數相乘，從而可以將對數值先分離出一個1，再利用函數圖象比較大小.

解法2：作差法.

先比較 log₂3，log₃4 的大小.作差 由 （log3）² ，得 log₂3-log₃4gt;0

所以 同理，可得 log₃4gt;log₄5

點評：作差法是比較大小中的常用方法，也是學生比較容易嘗試的方法.利用基本不等式對 lg2?lg4 進行處理是難點，需要重點關注.

解法3：二分法.

借助中間量 ，先比較 log₂3，log₃4 的大小.先比較 log₂3 與 的大小，再比較 log₃4 與 的大小.因為 ！ ，所以可得 log₂3gt;log₃4

借助中間量 ，同樣可得log4gt;log45.

點評：當需要比較大小的兩個量，屬于同一個區(qū)間時，可以運用二分法的思想，取區(qū)間的中間值，將兩個變量分別與中間值比較大小，如果比較不出來，可以再次嘗試二分法.

解法4：同時擴大法.

先比較 log₂3，log₃4 的大小，將 log₂3，log₃4 同時擴大2倍，得

2log₂3=log₂3²=log₂9gt;3，2log₃4=log₃4²=

log₃16lt;3

所以 log₂3gt;log₃4

利用同樣的方法，可得 log₃4gt;log₄5

點評：將兩個量同時擴大，由于增長速率的不同，可以放大兩個量之間的差距，取一個中間值，使其中一個量比中間值大，另一個量比中間值小.

解法5：利用糖水原理法.

先比較 log₂3，log₃4 的大小：

利用同樣的方法，可得 log₃4gt;log₄5

點評：換底后利用糖水原理 即可比較大小.

解法6：估算法.

由 lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg5=0.7 ，可得

所以 log₂3gt;log₃4gt;log₄5

點評：在對數比較大小中，一部分量可以通過換底公式化成與 1g2，1g3，1g5 相關的量，此時就可以通過估值法進行大小比較.

解法7：猜想法.

因為 log₂3，log₃4，log₄5 結構一致（底數與真數均差1），由對稱性知 log₂3 要么最大，要么最小.又 log₂3= log₄9gt;log₄5 ，所以 log₂3gt;log₃4

故 log₂3gt;log₃4gt;log₄5

點評：小題小做，大題大做，在小題中我們可以根據題目的形式，猜測一下選項結構.因為三個量結構相似，選項大概率順序最大或最小，此時只需要找出三個量中可能的最大量或最小量即可.

3課本習題的推廣

將此題的結論一般化，可以得到以下幾個結論，

結論1：函數 f（x）=log_x（x+1） 在 （1，+∞ 上單調遞減.

結論 2：log_x（x+1）gt;log_x+1（x+2），xgt;1.

結論 3：log_aba+m（b+m），agt;bgt;1，mgt;0， 具體證明如下：

結論1的證明：依題， f（x）=log_x（x+1）=

求導，可得

又 xgt;1 ，則 ，所以 f^′（x）lt;0 故函數 f（x）log_x（x+1） 在 （1，+∞ 上單調遞減.

結論2的證明：要比較 log_x（x+1） 與 log_x+1（x+2） 的大小，先比較 log_x（x+1）-1 與 log_x+1（x+2）-1 的大小，即要比較 的大小.

（2易知，=又 xgt;1 ，則 1由函數圖象知， _xgt;1 時， 1綜上，當 xgt;1 時， 故 log_x（x+1）gt;log_（x+1）（x+2），xgt;1.

結論3的證明：由 agt;bgt;1.mgt;0 ，得 amgt;bm ，所以 am+abgt;bm+ab

所以 a（m+b）gt;b（m+a）

于是，可得

所以 log_aba+m（b+m），agt;bgt;1，mgt;0.

4教學感悟

由上可知，新高考正在從本質上回歸教材.我們在日常學習中要重視教材，從知識的形成過程、思想方法、真實問題的解決、美學價值、育人功能等方面挖掘教材的考評價值；在復習備考中要養(yǎng)成閱讀教材的習慣，認真研究課后習題和課后閱讀材料，深化對基礎知識的應用和理解，建立完整的知識體系.同時，對教材后的習題進行大膽猜想、探索、證明，突破固有的思維模式，打開新的認知思路，培養(yǎng)綜合能力，提升數學核心素養(yǎng)，從而更好地實現自我價值.Z