化歸法在高中數學解題中的應用分析

化歸是把解題中面臨的新問題，通過減元、降維等加工手段，將陌生的、復雜的、抽象的問題化歸為熟悉的、簡單的、具體的問題來處理，最后通過對新問題的解決而將原問題圓滿解決，其核心在于“轉化\"[1].高中數學知識體系龐大且復雜，涵蓋代數、幾何、概率等多個領域，知識點之間相互交織，邏輯關系錯綜復雜，學生在解題過程中常常會遇到各種各樣的難題.和其他數學方法具有強操作性不同，化歸法的應用，更多體現的是一種思想指引，是數學思維中最為“普適性”的一種思維[2].利用化歸思維解題，可以幫助學生找尋問題間的共通之處，在舊方法、舊問題的基礎上解決新問題.

1化歸法之已知與未知

例1已知 ，則cos 2α 的值為（ ）.

解析：由tan2 ，得 則 tan ，所以cos 2α= 13·故選：B.

點評：已知與未知的化歸，是高中數學解題中最為“底層”的一種邏輯.這種方法的核心在于將未知問題轉化為已知問題，借助已有的信息來解決新的問題，即將已知條件作為解題的“橋梁”，逐步推導出未知問題的解.解題時，首先要仔細分析題目中給出的已知條件，明確這些條件所蘊含的數學信息和可能的推導方向.然后，將未知問題進行拆解或變形，嘗試將其轉化為與已知條件相關的形式.例如，通過代數變形、幾何變換或函數關系的轉換，將復雜的未知表達式轉化為已知的公式、定理或熟悉的模型.已知與未知的化歸，要求學生善于運用數學的基本概念、公式和定理.

2化歸法之數列與函數

例2（多選）已知數列 {a_n} 的通項公式為 a_n= ），前 n 項和為 S_n ，則下列說法正確的是（ ）.

A.數列 {a_n} 有最小項，且有最大項 B.使 Ψ_an∈Z 的項共有5項 C.滿足 a_na_n+1a_n+2?0 的 n 的值共有5個 D.使 S_n 取得最小值的 n 為4

解析：設函數 2x-g，則an=f（n），因此可以通過函數的單調性，得到數列的單調性.易知，函數在 ，+0）上單調遞減，且當xlt;時f（x）lt;0 ，當 時 f（x）gt;0. 因此當 1?n?4 和n?5 時數列均單調遞減，且當 1?n?4 時 a_nlt;0 ，當n?5 時 a_ngt;0. 所以數列 {a_n} 有最小項 a₄=-9 ，最大項 a₅=9 ，故選項A正確.若 a_n∈Z ，則 ，又Ω_n∈N^* ，所以 n=3 或 n=4 或 n=5 或 n=6 或 n=9 ，因此，使 Ψ_an∈Z 的項共有5項，選項B正確.要使a_na_n+1a_n+2?0 ，則 a_n?a_n+1 與 a_n+2 有且只有一個負數或者均為負數，所以 n=1 或 n=2 或 n=4 ，因此滿足a_na_n+1a_n+2?0 的 n 的值共有3個，選項C錯誤.因為當 1?n?4 和 n?5 時數列均單調遞減，且當 1?n?4 時 a_nlt;0 ，當 n?5 時 a_ngt;0 ，因此使 S_n 取得最小值的n 為4，選項D正確.故選：ABD.

點評：數列是一類特殊的函數，其本質是定義在正整數集上的函數，數列的通項公式和求和公式都可以看作是函數的表達形式.通過將數列問題轉化為函數問題，可以利用函數的性質（如單調性、奇偶性、極值等）來分析數列的性質和行為.在解決數列問題時，適當地將數列問題化歸為函數問題，可以極大簡化問題，達到事半功倍的效果.解題時，可以將數列的通項公式看作是一個函數的表達式，將復雜的數列問題轉化為相對熟悉的函數問題，從而利用已有的函數知識和方法求解.

3化歸法之立體與平面

例3如圖1，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，側面 BB₁C₁C⊥ 底面ABC ，且 AB=AC ， A₁B=A₁C. 若AA₁=BC=2，∠BAC=90^° ，求平面A₁BC 與平面 A₁BC₁ 夾角的余弦值.

解析：由題意知三棱柱ABCA₁B₁C₁ 為直三棱柱，故可將其補成長方體 ABDC-A₁B₁D₁C₁ ，如圖2.

圖2

連接 C₁D ，過點 c 作 CP⊥ C₁D ，垂足為 P ，過 P 作 PQ⊥ A₁B ，垂足為 Q ，連接 CQ

因為 BD⊥ 平面 CDD₁C₁ ，CP? 平面 CDD₁C₁ ，所以 BD⊥CP

又 CP⊥C₁D ！ BD ， C₁D? 平面 A₁BDC₁ ，且BD∩C₁D=D ，所以 CP 上平面 A₁BDC₁

因為 PQ，A₁BC 平面 A₁BDC₁ ，所以 PQ⊥CP .A₁B⊥CP

又 PQ⊥A₁B，CP，PQ? 平面 CPQ ，且 CP∩ PQ=P ，所以 A₁B⊥ 平面 CPQ

因為 CQ? 平面 CPQ ，所以 CQ⊥A₁B ，則 ∠CQP 為平面 A₁BC 與平面 A₁BC₁ 的夾角.

在 ΔA₁BC 中，由等面積法可得

易求得 ，所以有 cos∠CQP=

故平面 A₁BC 與平面 A₁BC₁ 夾角的余弦值為

點評：化歸法之立體與平面的化歸是解決立體幾何問題的重要策略，其核心是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，從而利用平面幾何的知識和方法來求解.在立體幾何中，許多問題如異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角的定義本身就基于平面角，通過將三維立體問題“降維”至二維平面問題，從而將空間角問題最終化歸為三角形的相關問題.高中數學中，實現立體與平面的化歸的常用方法有以下幾種.（1）利用投影.將空間中的點、線、面投影到平面上，通過分析投影圖形的性質來解決問題.（2）作截面.通過選擇合適的平面與幾何體相交，將空間中的線面關系轉化為平面上的線線關系；（3）展開幾何體表面.將幾何體的表面展開成平面圖形，從而將空間中的距離、角度等問題轉化為平面上的幾何問題.

4化歸法之一般與特殊

例4已知函數 f（x） 滿足： ?x∈R ，都有 f（x）+ f（x+3）=1-f（x）f（x+3） ，且 f（-1）=0 ，則f（2 024） 的值為（ ）.

A.2 B.1 C.0 D.-1

解析：由 f（x）+f（x+3）=1-f（x）f（x+3） 得 ·于是 ，所以 f（x） 是周期為6的周期函數.所以 f（2 024）=f（337×6+2）=f（2） 對于 令喆 x=-1 得 f（2）= 1+f（-1）=1，所以 f（（2 024）=1.故選：B.

點評：在數學解題過程中，一般與特殊的化歸是一種重要的策略，通過將一般性問題特殊化或特殊性問題一般化，可以有效簡化問題的復雜度，從而更高效地找到解題思路，該方法尤其適用于選擇題和填空題，能夠幫助學生快速驗證選項或得出答案.在解題時，首先要明確需要轉化的問題，將其作為轉化的核心對象.接著，根據問題的性質，尋找合適的特殊元素或一般元素作為轉化的切入點.例如，在將一般問題特殊化時，可以選取特定的數值、圖形或條件來簡化問題；而在將特殊問題一般化時，則需要從已知的特殊情況中提煉出普遍規律.通過這種轉化，將原問題轉化為一個更易于解決的新問題，并通過求解新問題來推導出原問題的答案.

總之，化歸思想是數學思維中最為“底層\"的一種思維，所有的數學思想方法，如函數與方程思想、數形結合思想等，均可以看作是化歸法的一種具體應用.運用化歸法時，解題的基礎是觀察，即觀察新問題的結構；然后是識別，即基于已有的信息或者頭腦中已有的數學模型，確定新問題的求解方向；確定方向后，對原問題進行有效變形；最后將新問題轉換為常規的題型去處理.可見，化歸法的實質，就是一種求同思維，以實現問題之間的相互轉化.

參考文獻：

[1]陳慶菊.觀察分析轉化化歸提升思維[J].數學通報，2024，63（10）：52-56.

[2]舒華瑛.轉化與化歸思想在高中數學解題教學中的應用研究[J].延邊教育學院學報，2021，35（6）：190-195.Z