一道高三月考橢圓試題的拓展探究與教學啟示

涉及圓錐曲線（主要是橢圓、雙曲線與拋物線）中的基本性質及其綜合應用問題，是高考、競賽與自主招生考試中數學命題的基本考點與熱點.此類問題有“數\"的基本屬性和“形”的幾何特征，是數形結合的一類綜合體，非常契合高考數學試卷“在知識交匯點處命題\"的指導思想，同時能巧妙交匯并融合人平面幾何與平面向量、函數與方程、不等式及三角函數等相關數學基礎知識，能夠更加全面地考查多種數學思維方式與基本應用，是數學命題與創新應用的一個重要場景，也是全面考查學生的“四基”與“四能”的一個重要場所，備受各方關注.

1問題呈現

[2025屆湖南省大聯考長郡中學高三月考（六）數學試卷 ?8] 已知 A，B 分別是橢圓 的左、右頂點， P 是橢圓在第一象限內一點.若 ∠PBA= 2∠PAB ，則 的值是（ ）.

2問題剖析

此題以確定的橢圓為問題場景，結合橢圓在第一象限內的點與橢圓長軸的兩端點所對應的角的二倍關系，確定兩相應線段的比值.依托圓錐曲線，通過三角形中對應角的關系，確定線段之間的倍數關系，巧妙聯系解析幾何、三角函數、解三角形等相關知識，實現基礎知識的交匯與思想方法的交匯.實際解題時，可以從題設條件中兩個角的視角人手，通過角與對應的直線的傾斜角的關系，過渡到直線的斜率問題，合理構建相應的三角關系式，利用三角恒等變換公式與方程等思維方式的應用來分析與求解；也可以從題設條件中點的視角入手，通過點的坐標設計，結合解析幾何中對應的直線斜率公式、線段的距離公式等，回歸解析幾何本質，合理加以關系構建與運算推理；還可以從圓錐曲線的相關性質結論入手，直接應用橢圓的第三定義所對應的結論，并通過三角函數的相關知識加以綜合，依托相關的“二級結論”的巧妙應用，優化解題過程，減少解題步驟.

借助不同的切人點，結合相應的知識與思想，殊途同歸，實現問題的突破與應用.而不同的思維方式，合理發散數學思維，可以優化學生的數學思維品質，提升學生的數學關鍵能力與數學解題能力等.

3問題破解

3.1三角函數思維

方法1：三角函數法.

依題可知，點 A（-2，0），B（2，0） 設點 P（x₀，y₀）（x₀gt;0，y₀gt;0） ，直線 PA，PB 的斜率分別為 k₁，k₂ ，則 （204 0由于 ，則 因此 k₁k₂= 依題， 0 與 聯立，解得 1所以 ，解得 由正弦定理，可以得到

點評：從設點的坐標視角入手，結合直線的斜率公式來構建對應的關系式，進而確定對應兩直線的斜率之積為定值，并合理借助二倍角公式等對三角關系式加以合理變形與轉化，確定其中一斜率值，并結合斜率公式與同角三角函數基本關系式加以綜合與應用，得以確定對應角的余弦值，最后利用正弦定理及二倍角公式的變形，合理求解.用三角函數思維法處理相關問題時，要合理應用問題中的角，回歸三角形問題，利用三角函數及對應的公式加以綜合應用.

3.2解析幾何思維

方法2：解析幾何法.依題可知，點 A（-2，0），B（2，0） 設點 P（m，n）（mgt;0，ngt;0） ，則 由 ，可得 tan ∠PBA= tan ，即 ，整理可得 n²=3m²+4m-4 所以 ，即 13m²+16m- 20=0 ，解得 （ 或 m=-2 （舍去）.所以

點評：從設點的坐標視角入手，結合點滿足的曲線方程，利用角之間的關系，視相應角為對應直線的傾斜角（或其傾斜角的補角），合理構建正切關系式，利用正切二倍角公式，并結合斜率公式加以轉化，建立坐標參數之間的關系并求解方程，最后通過比值關系中兩點間的距離公式加以展開并求值.用解析幾何思維法處理相關問題時，回歸解析幾何問題的本質與內涵，從曲線問題自身“數”與“形”的不同視角加以綜合與應用，實現問題的突破與求解.

方法3：性質思維法.

依題，設 ∠PAB=α ， ，則 ∠PBA= 2∠PAB=2α 根據橢圓的第三定義，可得tan αtan（π-2α）= 即tan 又tan αtan2α= 則 ，解得cos

由正弦定理可得

點評：從設角的形式視角入手，結合橢圓的第三定義的基本性質，合理構建與兩角正切值相關的關系式，并結合三角關系式的恒等變形與轉化，巧妙構建對應的三角方程，得以求解對應角的余弦值，并通過正弦定理的轉化與應用實現線段比值的確定.性質思維法的關鍵在于理解并掌握一些與平面解析幾何相關的幾何性質與特征，這樣在處理一些小題（選擇題或填空題）時，可以直接加以巧妙應用，優化解題過程，實現問題的快速、有效解決，提升解題效益.

4拓展應用

4.1規律總結，探究結論

結論已知 A，B 分別是橢圓 c 0 的左、右頂點， P 是橢圓在第一象限內一點.若 ∠PBA=2∠PAB ，則

4.2拓展思維，變式應用

變式1已知 A，B 分別是橢圓 c （ （agt;1） 的左、右頂點， P 是橢圓在第一象限內一點.若∠PBA=2∠PAB ，且滿足 ，則 a=

變式2 （多選題）已知 A，B 分別是橢圓 C y²=1（agt;1） 的左，右頂點， P 是橢圓在第一象限內一點.若 ∠PBA=2∠PAB ，設直線 PA，PB 的斜率分別為 k₁，k₂ ，則（ ）.

A.k₁k₂=-a² B.若 ，則橢圓的方程為 C.若橢圓的離心率 則 D. ΔPAB 的面積隨著 k_i 的增大而減小

4教學啟示

4.1立足根本，歸納方法，衍生知識

解決涉及圓錐曲線（主要是橢圓、雙曲線或拋物線）的基本性質及其綜合應用問題，基于問題的條件與對應的信息，關鍵在于剖析橢圓、雙曲線或拋物線中對應曲線的實際應用場景，或應用“數”的基本屬性，或采用“形”的幾何特征等，借助題設條件來構建關系式，或依托隱含關系來探究范圍等，正確尋找并構建有關基本量 …，b，c，? 所滿足的關系式或不等式，以及與之相關的關系式、方程或不等式等，進一步借助方程的求解或不等式的放縮來達到求值或求最值的目的.

4.2數形結合，提升能力，多元化教學

在實際正確尋找并構建橢圓、雙曲線或拋物線中基本量 a，b，c，p 所滿足的關系式或不等式時，往往可以從“數\"或“形\"兩個視角層面來合理展開，這些都是解決圓錐曲線中相應綜合應用問題時常見的基本數學思維方式.Z