核心素養視角下的高中數學建模起始課

《普通高中數學課程標準（2017年版）》以下簡稱《標準》）明確提出高中數學六大核心素養[1，分別為“數學抽象\"\"邏輯推理\"\"數學建模”\"直觀想象\"\"數學運算”“數據分析”，其中數學建模素養的引入是此次數學教育改革的突破性成果，成為貫穿高中數學課程內容的主線.鑒于數學建模在高中數學課程中的特殊地位，上海新教材首次將數學建模內容單獨成冊，出版了普通高中教科書《數學》必修第四冊和選擇性必修第三冊.建模教材上提供了豐富的適合普通高中學生開展的數學建模案例，《數學》必修第四冊由11個數學建模活動組成，選擇性必修第三冊由9個數學建模活動組成.

教材的編訂者徐斌艷教授認為，數學建模的學習與訓練，主要不是靠知識的灌輸，而是靠深入的感悟與體驗，只有通過組織學生參加數學建模的實踐和活動，使他們親口嘗一嘗“梨子”的滋味，體驗通過數學建模將數學應用于現實生活的全過程，才能有效地提高他們解決現實問題的能力，學到數學建模的方法，從心底里重視數學建模、熱愛數學建模.筆者曾經結合學情及學生的興趣選用了必修第四冊上的“削菠蘿”問題進行首次數學建模活動的嘗試，學生興趣高漲，但是在解模的過程中，困難還是不小，需要教師的不斷引導.課后筆者反思在建模起始課中是不是應該選取一個更容易的案例，這樣更能激發學生的學習興趣，同時打消學生的畏難情緒.于是筆者再次嘗試用學生熟悉的生活案例“披薩換不換問題”進行建模教學，此案例不是選自建模教材，但是筆者實踐中發現這個案例作為建模起始課教學效果更好.

建模起始課是非常重要的，對學生今后數學建模學習的主動性和積極性起到關鍵性的作用.趙玉娟[2]對積極心理學應用于數學建模教學進行了可行性研究，并提出對第一次接觸數學建模的學生來講，首先應該做的是提高學生的學習興趣，從積極的方面激發他們的學習熱情.因此如何選擇簡單易懂的教學案例，從教學案例中提取問題，如何引導學生經歷數學建模的一般過程，使更多的學生積極主動參與模型建設與求解，激發學生的研究興趣，提高課程的有效性，成了一線數學教師亟待解決的問題.帶著一系列思考，筆者以生活中常見的“披薩換不換\"案例為契機，與學生一起進行數學建模的嘗試.

1教學內容與學情分析

本節課是高中數學建模起始課，課堂以“披薩換不換\"案例為載體，引領學生相對完整地經歷和體驗數學建模過程.由于學生缺乏生活經驗，因此在課前設計了市場調查環節，讓學生提前調查了解披薩的價格以及類型.吃披薩是學生日常經歷的生活情境，通過這個數學建模活動，培養學生從數學角度發現問題、提出問題的意識和能力.

本節課的教學對象為高一學生，他們思維活躍，積極性高，具備一定的數學抽象思維和分析問題、解決問題的能力，但是從未接觸過完整的數學建模活動.

2教學目標及重難點

數學建模核心素養指出要培養學生從實際情景中抽象出數學問題的能力，然后建立數學模型以及在不同條件下求解，這對于初次接觸數學建模的學生來說是較為復雜的，學生較難把握，如何將日常生活問題抽象成數學模型以及求解是需要教師的引導和幫助的，也是教學重點和難點.筆者制定了以下教學目標和教學重難點：

教學目標：（1）運用數學知識解決“披薩換不換”問題，經歷并了解數學建模的一般過程，體會數學建模在實際生活中的作用；

（2）綜合運用生活經驗及數學知識進行嚴謹的論證說明，提升數學抽象、數學運算、邏輯推理等素養；

（3）增強團隊合作意識，增強運用數學知識解釋 現實問題的意識.

教學重難點：從實際情景中抽象出數學問題并進行合理假設；能進行嚴謹的推理及對模型的改進.

3數學建模活動教學實踐

3.1情景再現，引入問題

期末考試結束后的一天，咱們班的班長和團支書去某店吃披薩，不同大小的披薩價格不同.他們商量好點一個十英寸的培根芝士.可是點完餐后，服務員走過來說：很抱歉，我們十英寸的披薩賣完了，但是有六英寸的披薩，能不能在費用不變的情況下用兩個六英寸的披薩來替換一下呢？班長立刻同意，而且還帶點幸運色彩的興奮.如果是你，你怎么想？

問題分析：目標是什么？求什么？有哪些相關的因素？

教學說明：學者們將“數學情境”定義為從事數學活動的環境，是產生數學行為的條件，是數學知識產生的背景.從學生比較熟悉的案例入手，旨在減少學生的畏難情緒，激發學生的學習激情，增強學生觀察生活、發現問題、引發思考的意識.

模型假設：（1）吃飯者不考慮時間問題；（2）披薩是厚度均勻的圓面分布，不考慮配料多少.設十英寸披薩對應的半徑為 R ，六英寸披薩對應的半徑為 r

教學說明：在此過程中，要充分理解問題情境，關鍵是要考慮換與不換的影響因素.對現實情境下問題的理解，做出某些假設，是對現實情境的簡化、理想化以及結構化的過程，是現實世界到數學世界的必經之路.平常的數學應用題都是經過加工、提煉、簡化了的數學模型，通常有唯一答案，學生習慣于思考和求解已經“數學化了”的問題，數學建模與數學應用題的區別在于，建模活動需要先明確影響問題的因素，確定好研究目標，進行合理假設，再進行解答，這是剛接觸建模活動的學生所考慮不到的.因此，通過教師的逐步引導以及學生試錯的過程，學生能夠深刻地體會建模與應用題的不同之處.

3.2模型建立與求解

通過實際觀察并作一定的數學抽象與近似，將披薩看成一個圓，圓的面積大小與披薩用料具有正相關性，建立披薩直徑與披薩面積的函數關系，然后比較面積大小.

教學說明：基于之前思考的量與關系、假設所提供的條件進行進一步思考，構建合適的數學模型.教師對學生活動進行梳理總結，及時鼓勵，緩解學生對數學建模的畏難情緒，讓學生感受到他們是可以進行數學建模活動的，從而激發學生對數學建模的興趣.在建模活動中數學模型的建立和求解過程是比較難的，本節課是建模起始課，重點在于介紹建模的全過程，并沒有在此設置難點，主要目的是在教學中讓學生體驗建模過程.

計算出圓的面積 0.785×d² ，其中 d 為披薩的直徑.畫出面積與直徑之間的函數關系圖象，如圖1所示.

模型求解：10英寸披薩直徑 d=25.4cm ，面積為 英寸披薩直徑為 d^′=15.24cm ，兩個6英寸披薩的面積為 S^′= ，則 sgt;s^′ ，故不能換.

既然2個6英寸披薩不能換，那么多少個6英寸的披薩可換，多少個4英寸的披薩可以換呢？于是，可以引領學生進行深入思考，探究相同披薩面積下對應換多少個何種尺寸的披薩.

設披薩面積為 s ，可換對應直徑為 d 的披薩數量為 k 個，則根據面積相等建立關系式：

變換公式推導出 k 與 d 的函數關系：

其中，

可見，當面積 s 為常數時， Σ_m 為常數，可以看出可換披薩數量與直徑滿足函數關系，通過excel，直觀感受二者之間的對應關系，如圖2所示.

圖2中，有4條曲線，分別對應8英寸、10英寸、12英寸、14英寸披薩，每條曲線上的披薩面積是相同的.橫軸表示披薩直徑，縱軸表示可換等面積的披薩數量.以10英寸披薩的曲線為例，從圖中可以直觀地看出，10英寸披薩可以約換1.6個8英寸披薩，2.8個6英寸披薩，6個4英寸的披薩.通過找出本質規律，畫出函數圖象，學生可以直觀觀察函數圖象的形狀和趨勢，根據情況找出相應的最優決策.這也是工程化問題的常用解決方法.

3.3誤差分析與模型校正

誤差分析：師傅在制作過程中操作上的誤差；測量披薩直徑時的誤差；計算過程中取的是近似值；假設與實際問題之間的誤差，披薩是立體的，且厚度不是均勻分布的.

教學說明：在現實問題的解決過程中結果出現偏差是常見而又正常的現象，不應被規避，需要對最初問題的思考進行調整.在實際生活中，披薩的類型多種多樣，像有同學提到的還有卷邊披薩的問題，那么所建立的模型是否都適用呢？學生進行深入全面的思考，如果顧客更喜歡吃卷邊的話，之前的假設與卷邊披薩的情形誤差比較大，所以還需要改進模型，以更貼近實際生活.經歷模型分析及檢驗環節，學生體會到數學模型不一定是唯一的，考慮的因素越多，越貼近實際生活，讓學生體會為了減少誤差和更廣泛地應用模型，需要對模型進行修正.

修正模型：一般情況下，披薩不是圓，而是具有厚度的，根據實際情況分析，對模型進行修正，假設披薩為圓柱體，設披薩的體積為 V ，直徑為 d ，高度（厚度）為，根據所學圓柱的體積公式得

一般情況下，披薩厚度設置為1.18英寸，畫出體積與直徑的關系圖，如圖3所示.圖3顯示的披薩體積與直徑的關系，與圖1相比，都是呈現開口向上的拋物線關系.

同理，可以建立相同披薩體積下對應換多少個尺寸的披薩的數量關系式.設披薩體積為 V ，可換對應直徑為 d 的披薩數量為 k 個，則根據體積相等，建立關系式：

變換公式推導出 k 與 d 的函數關系：

（202其中，.

根據上述，設 h=1.18 英寸，畫出等體積下可換披薩數量與直徑的關系圖，如圖4所示.對比圖2和圖4，等體積下與等面積下可換披薩數量都是相同的，為什么呢？這里引導學生進行思考與互動，讓學生回答，然后從數學面積推導出為什么等體積與等面積的模型假設下可換披薩數量的相同的，推導過程參見表1.根據表1可知，等面積下與等體積下可換披薩數量的表達式相同，進一步從原理上解釋為什么圖2和圖4是相同的.

表1

3.4課堂小結與預留作業

小結部分重點是對“披薩換不換”問題的建模過程進行回顧，梳理總結建模的一般過程及其內涵.

預留課后作業分兩部分，一是進一步思考并解決卷邊披薩的問題，二是課后將建模過程整理成文（格式參照建模教程必修四后面的附錄）.

4總結

數學建模是一種思維方式，面對實際問題，首先應明確：目標是什么？求什么？有哪些相關的因素？對于第一次接觸建模活動的學生來說，受所學知識的影響及缺乏經驗，需要教師慢慢引導和梳理，

? 在高中數學建模活動中，模型可以是前人用過的，也可以是自己創作的，無需強調所運用模型的規范性或某種專業性.運用數學模型得到答案的過程稱為解數學問題，是必不可少的數學建模內容的構成要素之一.在此過程中能夠培育學生的數學運算、邏輯推理素養.

? 建模起始課選取學生熟悉且易解決的案例，在課堂40分鐘內完成整個建模活動，能很好地激發學生對數學建模學習的熱情.通過跟學生的交流發現，全體學生對數學建模一般過程的認識比較深刻，覺得自己可以進行數學建模活動，畏難情緒大有降低，課堂體驗感和成就感很強烈.

數學建模不同于應用題.應用題通常有唯一解，而建模可能得到多個模型，即不一定唯一.教學中應讓學生體會這一點，從生活情境中抽象實際問題，選擇合適工具建模、求解并改進，在建模過程中提升數學運用意識，培養建模核心素養.

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[2]趙玉娟.基于積極心理學的高中數學建模教學研究[D]哈爾濱：哈爾濱師范大學，2022.Z