例談三角函數最值的幾種求法

三角函數最值問題情境多變，求解時如不得法不僅浪費時間，而且可能半途而廢，無法計算出正確結果.事實上，求三角函數最值需要根據實際情況靈活運用三角函數的性質，并根據習題特點采取針對性的方法，注重與高中數學其他知識的聯系，通過等價轉化，化陌生為熟悉，迅速找到解題切入點.

1基本不等式法

基本不等式是高中數學重要的不等式，是求解最值問題的重要工具之一[1].運用基本不等式求三角函數最值，既要深刻理解基本不等式的內容，又要注重相關的變形，以盡快找到解題突破口.需要注意的是，基本不等式的成立有著一定的約束條件，因此，應用時應根據需要對已知條件或運算中產生的數學式進行適當的變形處理，如采用換元法進行等價轉化，拼湊出基本不等式，并考慮其是否符合“一正二定三相等\"的特征，特別要明確基本不等式等號成立的條件[2].

例1在一個銳角三角形 ABC 中，已知 3sinB= 4sinCcosA ，則 的最小值是（ ）.

解析：運用銳角三角形的性質、和角公式對題干中的已知條件進行整理、變形，通過換元確定 A，B，C 三個角的等量關系.將要求的式子轉化成基本不等式的形式，借助基本不等式知識求得結果.

由3sin B=4sin Ccos A A+B+C=π ，得3sin（A+C）=4sin Ccos A ，則3sin C cos A+ 3cos CsinA=4sinCcosA ，即 3cosCsinA=sinCcosA

因為在銳角三角形ABC中，00，cosCgt;0 ，則tan C=3tanA

令tan A=t，tgt;0 ，則知tan C=3t ，于是可得tan B=tan （ [π-（A+C）]=- tan （A+C）= 1

于是 當且僅當 ，即（ 時，等號成立，此時tan ，tan C= ，tan ，滿足題意.

故選擇：B.

點評：該題主要考查銳角三角形內角之間的關系、和角公式、基本不等式等知識.該題解題思路明確，使用同一參數表示出tan A ，tanB，tan c ，將要求解的式子整理成基本不等式進行求解.但是，要想確保解題正確，需要注意以下細節.其一，注重運用三角形的內角和為 π 這一隱含條件對已知條件進行等價轉換，明確對應內角的取值范圍.其二，指出基本不等式中等號成立的條件，檢驗對應角的三角函數值是否滿足題意.

2解不等式法

除基本不等式外，高中數學涉及的不等式還有絕對值不等式、一元二次不等式、高次不等式等.這些不等式有著各自的解法.絕對值不等式主要應用分類討論將絕對值的符號去掉，轉化為一般的不等式，或運用數形結合法求解；一元二次不等式，通過解對應的方程，結合二次函數圖象求得結果；高次不等式主要通過因式分解確定各因式為零時 x 的值，借助數軸，采用穿根法求得結果.其中一元二次不等式在解答三角函數最值問題中應用頻率較高，應用時需要根據題意構造一元二次不等式，結合二次函數性質計算出最值.

例2已知三個銳角 α，β，γ 滿足 sin ，則sin Ycos α 的最大值是（ ）

解析：對所給的已知條件進行變形，運用三角函數之間的關系構造方程，借助基本不等式構造一元二次不等式，解一元二次不等式求出 sinγcosα 的取值范圍便不難得出最大值.

由三個銳角 α，β，γ 滿足sinacos β COs 可得cos sin 則 ，即 ，可得 2（1-sin²γ）+（1-cos²α）= 4（1-cos²α）（1-sin²γ） ，整理可得 2sin²γ+3cos²α

又 則 4cos²α · cos αsinγ+1≥0 ，解該不等式可得 cos asin Ygt; 或cos

又由 α，γ 均為銳角，可得cOs αsinγlt;1 ，所以可得cos ，顯然sin Ycos α 的最大值是

故選擇：D.

點評：該題考查同角三角函數的平方關系、基本不等式以及一元二次不等式等知識，具有一定的技巧.解題時首先需要對已知條件進行變形，運用“ cos²β+ sin²β=1 ”這一隱含關系構造方程.其次，運用基本不等式構造一元二次不等式，結合‘ ?_α，γ 均為銳角”解一元二次不等式便可求得sinYcos α 的最大值.

3導數法

導數是高中階段解決一些復雜函數問題非常有力的工具，尤其是通過求導，將導函數的值與0進行比較，可以求出函數的最值和極值[3].使用導數法求解三角函數最值問題，一方面，需要根據題意以及嚴謹的推理、轉化，構造出對應的函數.另一方面，牢記不同函數的求導公式，明確導數與函數單調性之間的關系，通過分類討論確定函數求得最值時的自變量.

例3在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c（a≠b） ，若 c=2acosA ，則 sinB+sinA 的最大值為

解析：運用已知條件及正弦定理對要求的式子進行整理、變形，通過換元轉化為對應的函數，采用導數研究函數在不同自變量范圍內的單調性，確定函數取得最大值時的自變量，代入函數計算出結果.

由 c=2acosA 以及正弦定理，可得sin C= 2sin A cos A=sin2A

由 _A，C 均為 ΔABC 的內角，得 C=2A 或 C+ 2A=π

又 a≠b ，所以 A≠B ，易得 C=2A ，且滿足 0lt; A+C=3Alt;π 則 .于是可得

sir B+sinA=sin（π-3A）+sinA=sin 3A+ S inA=sinAcos 2A+cosAsin 2A+sinA=sinA? 2sin³A+2（1-sin²A）sinA+sinA=-4sin³A+ 4sinA ：

令 ，則 f（t）=-4t³+4t ，則 .于是當 時， f^′（t）gt;0，f（t） 單調遞增；當 時， f^′（t）lt;0，f（t） 單調遞減.所以 ，即sin B+sinA 的最大值為

故填答案：

點評：該題考查正弦定理、三角函數的相關變換公式、導數等知識，難度一般.解答該題的關鍵在于借助三角形的內角和、正弦定理以及換元法將三角函數問題轉化為一般函數的問題.將復雜的問題簡單化，最終借助導數知識不難得出當 時，函數取得最大值 1

綜上所述，三角函數最值問題情境多變，部分習題具有一定的綜合性.為提高解題效率，應熟練掌握三角函數圖象和性質、各種變形公式，做好三角函數最值問題常見解題方法的歸納，明確不同解題方法的特點以及應用注意事項.在解題訓練中通過犯錯、糾錯，加深學生對相關解題方法的認識、理解，提高應用的靈活性.

參考文獻：

[1]查霖.求三角函數最值的三種措施[J].語數外學習（高中版中旬），2024（10）：45.

[2]于飛.解三角函數最值問題的不同策略分析[J].數理天地（高中版），2024（1）：41-42.

[3]李昭平.三角函數值域（最值）問題求解策略[J.廣東教育（高中版），2024（8）：32-35.Z