指向深度學(xué)習(xí)的橢圓概念教學(xué)

深度學(xué)習(xí)是一種基于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問(wèn)題的解決為目標(biāo)，以整合的知識(shí)為學(xué)習(xí)內(nèi)容，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想，將它們?nèi)谌艘延械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，并能將已有的知識(shí)遷移到新情境解決問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)[1].

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)的過(guò)程，也是一個(gè)不斷探索知識(shí)關(guān)系的建構(gòu)過(guò)程[2].

概念教學(xué)的基本目標(biāo)是幫助學(xué)生形成概念，而形成概念的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)概念的來(lái)源和概念間的關(guān)系，關(guān)注概念間生成關(guān)系的探究與邏輯關(guān)系論證，重視知識(shí)關(guān)系建構(gòu)，以便更好地理解所學(xué)概念，運(yùn)用所學(xué)概念解決相關(guān)問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的重要內(nèi)涵.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要理解一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)或問(wèn)題，發(fā)揮其在新知識(shí)探索與問(wèn)題解決中的作用，需要將其置于與之相關(guān)的已知知識(shí)與問(wèn)題系統(tǒng)中，用聯(lián)系與變化的辯證觀點(diǎn)，從系統(tǒng)整體的角度把握其意義和價(jià)值.

直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是解析幾何的核心概念，在橢圓的概念教學(xué)中，若能關(guān)注相關(guān)概念的內(nèi)在關(guān)系，關(guān)注其幾何形狀特征之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生恰到好處地將已有的知識(shí)遷移到新的情境中，進(jìn)行合理的變化與猜想，將會(huì)“潤(rùn)物無(wú)聲”地發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，歸納、辨析橢圓的定義，探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

橢圓概念的學(xué)習(xí)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“直線和圓的方程\"的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，學(xué)生已經(jīng)具有探究幾何概念的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，也儲(chǔ)備了一些幾何圖形的概念.基于此，筆者在橢圓的概念的探究教學(xué)中做了如下嘗試.

1教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

1.1強(qiáng)調(diào)定義的關(guān)鍵詞，為學(xué)生深度思考做準(zhǔn)備

目的：通過(guò)復(fù)習(xí)圓的定義，強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵詞，探索確定橢圓的幾何條件，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

教學(xué)片段：圍繞以下問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，組織教學(xué)活動(dòng).

師：我們已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，你能完整地?cái)⑹鰣A的定義嗎.

生：圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.師：能否用符號(hào)語(yǔ)言表示上述概念？

生：若設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 M ，定點(diǎn)為 A ，定長(zhǎng)為 r ，則圓的定義可以表示為 ∣MA∣=_r 師：你覺(jué)得圓的定義中的關(guān)鍵詞有哪些？

生：“定點(diǎn)”“定長(zhǎng)”

分析：學(xué)生已經(jīng)具有了圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)復(fù)習(xí)圓的定義，以舊引新，在新知的生長(zhǎng)點(diǎn)設(shè)問(wèn).教師板書(shū)過(guò)程中特別關(guān)注定義中的關(guān)鍵詞，暗示學(xué)生深度思考方向，為課堂有效交流做了鋪墊，同時(shí)，通過(guò)組織學(xué)生進(jìn)行三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.2關(guān)注概念間的聯(lián)系，類比遷移

目的：在前面探究活動(dòng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行遷移變化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和歸納能力.

教學(xué)片段：立足圓的定義中的關(guān)鍵詞，引導(dǎo)類比遷移變化，重建知識(shí)結(jié)構(gòu).

師：若將概念中的關(guān)鍵詞進(jìn)行遷移變化，你覺(jué)得變動(dòng)哪個(gè)關(guān)鍵詞最有可能產(chǎn)生新的曲線？

生：“定點(diǎn)”.

師：如果變動(dòng)“定點(diǎn)”，最先想到怎么變化？

生：變一個(gè)“定點(diǎn)\"為兩個(gè)“定點(diǎn)”

師：如果變一個(gè)“定點(diǎn)”為兩個(gè)“定點(diǎn)”，那么定義中的“定長(zhǎng)\"將如何變化？

生：變“定長(zhǎng)\"為到兩個(gè)“定點(diǎn)\"距離相等.

師：請(qǐng)將變化后的概念完整地?cái)⑹龀鰜?lái).

生：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合.

師：該定義表示的軌跡是怎樣的曲線？

生：若設(shè)兩定點(diǎn)分別為 A，B ，則上述定義表示動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡就是線段 AB 的垂直平分線.

分析：繼續(xù)圍繞圓定義中的關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生遷移變化，明確深度思考方向，強(qiáng)調(diào)“最先想法”，暗示學(xué)生深度思考的范圍，助推課堂有效交流.

探究過(guò)程中，適時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，不斷展現(xiàn)深度思考的成果，自然而然地將已有知識(shí)不斷納入新的知識(shí)體系中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.3深化類比遷移，啟發(fā)學(xué)生深度思考

目的：在類比遷移得到線段垂直平分線定義并將其納入新的知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生深度思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)歸納和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

教學(xué)片段：深化類比遷移，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生深度思考能力.

師：將圓定義中的關(guān)鍵詞\"定點(diǎn)\"變?yōu)椤皟蓚€(gè)定點(diǎn)”后，還可將“定長(zhǎng)\"進(jìn)行怎樣的變化？

生：變?yōu)榈絻蓚€(gè)“定點(diǎn)\"距離之和為“定值”

師：能否將變化后的定義完整敘述出來(lái)？

生：進(jìn)一步變化后可得到“平面上到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合\"這樣一個(gè)定義.

師：如果設(shè)兩定點(diǎn)分別為 F₁，F(xiàn)₂ ，定長(zhǎng)為2a，能否把上述定義用一個(gè)式子表示出來(lái)？

生： ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a ， agt;0

分析：將圓定義中的“定點(diǎn)”，“定長(zhǎng)”都作進(jìn)一步的類比遷移，圍繞以上問(wèn)題開(kāi)展課堂探究活動(dòng)，歸納定義的過(guò)程中，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，強(qiáng)調(diào)定義中的關(guān)鍵詞，明確深度思考方向，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.4開(kāi)放性設(shè)問(wèn)，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

目的：類比歸納出橢圓的初步定義后，在將定義圖形化的過(guò)程中，通過(guò)開(kāi)放性設(shè)問(wèn)，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓概念全面、深度的理解.

教學(xué)片段：開(kāi)放性設(shè)問(wèn)，使學(xué)生在比較自由的范圍內(nèi)開(kāi)展深度思考，實(shí)現(xiàn)對(duì)橢圓定義的深度理解.

師：若將 P ?_F1，F(xiàn)₂ 三點(diǎn)畫(huà)在平面上，你會(huì)怎樣放置這三個(gè)點(diǎn)？

生1：（1）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 F₁F₂ （2 上，如圖1，即 ∣F₁F₂∣=2a 時(shí)，滿 圖1足 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a ， agt;0 的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是線段F₁F₂ （含端點(diǎn)）.

（2）當(dāng)點(diǎn) P 不在線段 F₁F₂ 上，即 ∣F₁F₂∣lt;2a 時(shí)，滿足 ∣PF₁∣+ |PF₂|=2a . agt;0 ，如圖2所示.

師：能否運(yùn)用幾何方法畫(huà)出滿 圖2足圖2條件的點(diǎn) P 的軌跡？在點(diǎn) P 移動(dòng)的過(guò)程中，怎樣確保 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a 始終不變？

（引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)備好的紙板、圖釘、細(xì)繩、鉛筆探究畫(huà)出滿足圖2條件的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡.）

師：根據(jù)剛才的探究實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)滿足條件 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a 0agt;0 ，且 ∣F₁F₂∣lt;2a 的點(diǎn) P 的軌跡是一條封閉的曲線，如圖3.如果給這條曲線命名，你會(huì)給它起一個(gè)什么樣的名字？

圖3

生：橢圓.

師：能否根據(jù)我們的探究歸納出橢圓的嚴(yán)格定義？

生：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F_i，F(xiàn)₂ 的距離的和等于常數(shù)（大于 ∣F₁F₂∣ ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

分析：通過(guò)開(kāi)放性的設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考所探究的概念，結(jié)合畫(huà)圖得出橢圓的圖形，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、完備性以及三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力.

2設(shè)計(jì)分析

數(shù)學(xué)抽象是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征[3].

該設(shè)計(jì)從學(xué)生熟知的圓的概念和圖形人手，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)定義關(guān)鍵詞的不斷變化，關(guān)注圖形間的關(guān)系，著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，以及對(duì)于概念的深度思考、深度理解能力.在這一過(guò)程中不僅抽象出了橢圓的定義，同時(shí)在深度思考過(guò)程中也加深了對(duì)概念的理解和辨析.

皮亞杰認(rèn)為：隨著學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識(shí)越來(lái)越多，就應(yīng)該讓他們認(rèn)清所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，主動(dòng)構(gòu)建認(rèn)知圖式.深度學(xué)習(xí)意味著聯(lián)系與建構(gòu)，從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)提出新問(wèn)題，將學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)、方法或活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)學(xué)習(xí)的先行組織材料，并能夠通過(guò)一些判斷準(zhǔn)則與邏輯依據(jù)將信息組織成一個(gè)結(jié)構(gòu)化的體系，形成一種批判性的認(rèn)知建構(gòu)方式與思維方式.在新知教學(xué)中，我們要努力找到與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生的思維走向縱深.

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷積極貫徹《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》要求，全面深化基礎(chǔ)性考查，要求學(xué)生基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，深刻理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想方法，重視數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系；要求學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，深化概念，內(nèi)化方法[4].

基于此，在設(shè)計(jì)該教學(xué)時(shí)，從復(fù)習(xí)圓的定義引入，簡(jiǎn)單板書(shū)圓的定義，分析、關(guān)注定義中的關(guān)鍵詞，將圓的概念作為引發(fā)與催生探究、感知、歸納橢圓概念的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行變化，深度挖掘教材基本概念的聯(lián)系，追溯知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)核，在知識(shí)本質(zhì)處提問(wèn)，注重知識(shí)關(guān)系建構(gòu)，關(guān)注知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯合理性，逐步設(shè)置指向?qū)W生深度思考學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在感悟思想的連續(xù)性的過(guò)程中培養(yǎng)探究性、創(chuàng)造性，深刻理解圓和橢圓的概念間的內(nèi)在聯(lián)系，深度理解兩個(gè)概念的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1陳國(guó)良.指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提問(wèn)策略LJ].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（9）：13-16.

[2]王欽敏，余明芳.《課程.教材.教法》（京），2022.7.118-124.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[4]教育部教育考試院.創(chuàng)設(shè)情境發(fā)揮育人作用深化基礎(chǔ)考查核心素養(yǎng)—2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析[J].中國(guó)考試，2022（7）：14-19.Z