從“數”與“形”的交融破解高中數學難題

2025-09-28 00:00:00邵瑾波

中學數學·高中版 2025年9期

“數缺形時少直觀，形少數時難人微.\"華羅庚的這句話描述了“數”與“形”的緊密關系，也為解決數學問題指明了方向.眾所周知，高中數學知識點多，習題情境多變，單進行“數\"的運算或“形”的觀察有時難以找到切入點，而將“數”與“形\"結合起來，實現二者的優勢互補，往往可以尋找到一條高效的解題路徑.

1破解函數難題

解答函數習題的思路較靈活，其中根據習題創設的情境將“數”的運算問題轉化為“形”的關系的分析問題，可以達到簡化計算、提高解題效率的目的.這里的“形”主要指函數圖象，因此，正確畫出函數圖象是解題的關鍵.畫函數圖象一般有兩種思路：其一，聯系基本初等函數圖象，或對基本初等函數進行平移、對稱等變換，以滿足解題需求；其二，運用導數研究復雜函數的單調性、零點，并結合極限知識畫出函數圖象.

x-2=0 ，解得 x₁=-2 （舍去）， x₂=1. 易得點 M（1，1）則點 M 到直線 l 的距離 d= =2√5，則d2=20.所以的最小值為20.

圖1

2破解三角函數難題

三角函數是高中數學的重要內容，包括正弦函數、余弦函數、正切函數及其對應的圖象、性質等1.其中三角函數圖象較為特殊，呈現一定的周期性，是對稱圖形.正確把握三角函數圖象的特點，掌握畫三角函數圖象的方法，通過“數”與“形”的對照，可以有效解決三角函數諸多難題.

例1已知 agt;0，b∈R ，則的最小值為

解析：設點）連接 PQ ，易得到（20|PQ|² ：

易得點 Q 在直線 l：2x+y+7=0 上，點 P 在函數的圖象上 2（x2-2）.令f‘（x）=0，則x=-√2（舍去），x2=√2.

當時， f^′（x）lt;0 ，函數 f（x）=x²- 單調遞減；當時， f^′（x）gt;0 ，函數 f（x）= 單調遞增；當時， f（x）+∞ ，當時， f（x）+∞ ：

問題轉化為求直線 ξ_l 上一點到函數 f（x）圖象上一點的距離平方的最小值.畫出對應的圖象，如圖1所示.

設與直線 ξ_l 平行且與函數圖象 f（x）切于點 M 的直線為 l₀ .令，整理得到 x²+

例2 已知點是函數 f（x）=asinx+ bcos x 圖象上的最低點.將該圖象左移平移個單位長度得到函數 y=g（ρ_x）的圖象.函數 g（x）的圖象在處的切線和 g（x）的圖象剛好有三個交點，則tan x₀-x₀ 的值為

解析：又該圖象上的最低點為，則，即，則 φ= k∈Z ，則

由函數 f（x）的圖象左移平移個單位長度得到函數 g（x）的圖象，則 g（x）=2sinx .由題意及函數g（x）=2sinx 圖象的對稱性，畫出對應的圖象，如圖2所示.

圖2

由圖可知切線過點（3π，0），而，切（2點為（x₀，2sinx₀），則2cos ，則tan x₀= x₀-3π 即tan x₀-x₀=-3π

3破解圓錐曲線難題

圓錐曲線是高中數學的難點.解答圓錐曲線相關習題往往需要進行復雜的計算，對計算能力要求較高.但是對于部分習題，僅僅進行計算反而會走彎路，甚至半途而廢，無法求出最終結果，為此，解題時應頭腦靈活，擺脫定式思維的影響，另辟蹊徑，通過“數”與“形\"的結合，運用圓錐曲線的性質、幾何圖形的性質，高效、正確解題.

例3已知橢圓C：5 上存在一動點 M 圓 C^′ 的圓心為橢圓的右焦點，其半徑為1.過點 M 引直線 l₁，l₂ 和圓 C^′ 相切，切點分別為 P，Q ，則 ∣PQ∣ 的取值范圍為