“同構法”在圓錐曲線切線問題中的應用

圓錐曲線是高中數學的重要內容，其切線問題因綜合性強、運算復雜而成為學生學習與高考備考的難點.近年來，高考命題更注重數學思想與方法的靈活運用，減少機械刷題的影響，因此尋求高效、通用的解題方法顯得尤為重要.“同構法”作為一種注重結構相似性的數學方法，在處理多條切線或切點弦問題時具有獨特優勢.它通過構建形式一致的方程，利用韋達定理等工具整體處理參數，避免繁瑣的逐點計算，不僅提高了解題效率，也深化了對圓錐曲線幾何性質的理解.本文中結合具體例題，系統閘述“同構法\"在切點弦與雙切線問題中的應用，并在此基礎上提出教學建議，旨在幫助師生更好地掌握這一類問題的解法，提升數學核心素養.

1同構法在切點弦問題中的應用

例1（2021年全國乙卷理科）已知拋物線 c ：x²=2py∣pgt;0? 的焦點為 F ，且 F 與圓 M ·x²+ （y+4）²=1 上點的距離的最小值為4.

（1）求 Σ_P ;

（2）若點 P 在 M 上， PA，PB 是 c 的兩條切線，A，B 是切點，求 ΔPAB 面積的最大值.

解析：（1）由題意知， ，所以F 與圓 M 上點的距離的最小值為 ，解得p=2

（2）由（1）知拋物線 c 的方程為 x²=4y ，即 y= ，對該函數求導得y= T

設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀） ，則直線 PA 的方程為y-y1= χ（x-x1），即x-2y-2y1=0，同理可得，直線 PB 的方程為 x₂x-2y-2y₂=0

因為點 P（x₀，y₀） 為這兩條直線的公共點，所以

所以點 A，B 的坐標滿足方程 x₀x-2y-2y₀=0 故直線 AB 的方程為 x₀x-2y-2y₀=0

聯立 可得 x²-2x°x+4y°=0 則 x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4y₀ ，所以

易得點 P 到直線 AB 的距離為

所以， ΔPAB 的面積為

因為 x₀²-4y₀=1-（y₀+4）²-4y₀=-y₀²- 12y₀-15=-（y₀+6）²+21 ，由已知可得一 -3 ，所以當 y₀=-5 時， ΔPAB 的面積最大，其最大值為 ：

點評：本題考查的背景是切點弦方程，所以先利用同構法求出直線 AB 的方程，然后利用弦長公式求出 ∣AB∣ ，再求出點 P 到直線 _AB 的距離，即可求出ΔPAB 的面積及其最大值.

2同構法在雙切線問題中的應用

例2已知拋物線 y²=2px 上三點 A（2，2），B ，c ，直線 AB，AC 是圓 （x-2）²+y²=1 的兩條切線，則直線BC的方程為（ ）.

解析：根據例1的思路求解.設點 B（x₂，y₂），C（x₃，y₃） ，其中 x₁=y₁=2. 易得 p=1

直線BC的方程為 ，整理得 2x-（y₂+y₃）y+y₂y₃=0 同理，得直線 _AB 的方程為 2x-（2+y₂）y+2y₂=0 由題意得 ，即 0；同理 從而 y₂，y₃ 是方程 y²+ 的兩根，則 3故直線 BC 的方程為 ，即 3x+6y+4=0

點評：先用兩點式表示出拋物線上任意兩點的直線方程，即直線 AB，AC，BC 的方程，再根據直線AB，AC 與圓相切，可得兩個結構相似的方程，再利用韋達定理，即可求出直線 BC 的方程.這里運用“設而不求、韋達定理”大大簡化了運算，“同構法”的實用性得到了充分的體現.

例3如圖 ^1，P 是拋物線 y²= 2x 上的動點，點 ^B，C 在 軸上，圓（x-1）²+y²=1 內切于 ΔPBC ，求ΔPBC 面積的最小值.

解析：設 P（x₀，y₀），B（0，b） C（0，c） ，不妨設 bgt;c

易得直線 ，即

（y₀-b）_X-x₀y+x₀b=0.

又 M（1，0） 到直線 PB 的距離為1，則可得

易知 _x0gt;2 ，上式化簡得

（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0.

同理，可得 （x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0.

所以 ^b，c 是方程 （x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0 的兩根.

所以

又 P（x₀，y₀） 是拋物線上的點，所以 y₀²=2x₀ ，則

所以

所以 ，當且僅當 x₀=4 時，等號成立.

故 ΔPBC 面積的最小值為8.

點評：先表示出直線 PB 的方程，根據 PB 與圓相切，可得到關于 b 的一元二次方程，同理根據 PC 與圓相切，可得到關于 c 的一元二次方程，這兩個方程的結構是相似的，根據同構法，可利用韋達定理求得 ^b+ Ψ_c 和 bc ，從而得到 b-c ，進而可求出PBC的面積及其最小值.

3教學思考

歷年的高考真題、聯賽試題凝結了命題者的智慧，在備考的過程中對它們進行深入研究，與命題者對話，并從中總結解題經驗，對我們的備考大有裨益.最近幾年高考試題增加了新穎性和靈活性，降低了機械刷題、套路訓練的效果，對中學數學教學起到了良好導向作用.這就需要一線教師改變一些固有的、刻板的教學模式，做到“要想學生跳出題海，教師先跳進題海”.同時，要重視基本概念的講解，幫助學生打牢基礎，從而真正使教學提質增效，減輕學生的無效負擔.這引導一線教師要做到深度挖掘教材，切實把課本上的內容講深講透.同時把高考真題研究透，達到做一題會一類題的效果，減少機械刷題.

當然以上例題也有高等數學背景，網絡上也流傳著各種關于解析幾何的高級解法和高等數學背景，如齊次化、極點與極線等.作為教師我們應該努力研究，提升自身素養，爭取做到居高臨下，但這些異于通法的內容適不適合教給學生，還需仔細斟酌，因材施教，不可舍本逐末.作為教師，我們應把教材中的原理、原則編制成學生可以操練的習題，最好是能用一以貫之的手法，以不變應萬變地解決各種問題.

“同構法\"在圓錐曲線中的應用，主要體現在解決與切點弦和雙切線有關的問題.對于切點弦問題，先求出兩條切線（其結構是相似的），然后將曲線外的點代入兩條切線，即可得到切點弦的方程.對于雙切線問題，先用兩點式表示出其中一條切線，同理可得到另外一條切線，這兩條切線的結構是相似的，再根據切線與圓相切，可得到一個一元二次方程，同理可得到另外一個一元二次方程，這兩個方程的結構也是相似的，故可利用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，為后續的解答提供了支持.作為一線教師，在日常的解題教學或備考復習中，要引導學生去思考、探索、歸納“同構法\"在圓錐曲線切線問題中的應用及其解題思路