2025年數(shù)學新高考Ⅰ卷第14題的探究

在概率與統(tǒng)計知識模塊中，數(shù)學期望是算術平均值概念的一個一般性推廣，是在概率意義下的平均，具體反映了離散型隨機變量 X 的取值的平均水平.離散型隨機變量 X 的數(shù)學期望 E（X） 是有關隨機變量X 的函數(shù)，其能夠從最大程度上刻畫、反映各種隨機因素的影響，從而成為風險決策的重要數(shù)字特征.數(shù)學期望的求解及決策應用等，是高考數(shù)學試卷命題中的基本知識點，備受各方關注，

1試題呈現(xiàn)

（2025年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷 ?14） 一個箱子里有5個相同的球，分別以 1～5 標號，若從中有放回地取三次，記至少被取出一次的球的個數(shù)為 X ，則數(shù)學期望 E（X）=

2試題剖析

該題在填空題中位于壓軸題的位置，題目簡潔明了，借助分別以 1～5 標號的5個球有放回地取三次，由此確定至少被取出一次的球的個數(shù) X 所對應的數(shù)學期望來設置問題，以創(chuàng)新形式來考查概率的分布列與數(shù)學期望，這里涉及復雜的計數(shù)問題及其應用.

求解數(shù)學期望時，關鍵在于確定隨機變量 X 的可能取值，以及對應隨機變量 X 的概率，進而利用數(shù)學期望的定義來求解，實現(xiàn)問題的突破.

根據(jù)問題的應用場景，常用的思維方法就是利用古典概型模型的構(gòu)建，借助古典概型的概率公式求解對應隨機變量 X 的概率；也可以通過分段討論法，借助先確定取出標號的個數(shù)并加以合理選取，再結(jié)合對應的概率進行乘積處理；還可以利用抽屜原理的模型來處理，為進一步問題的深化與變式提供條件.

3試題破解

3.1古典概型思維

方法1：古典概型法1.由于有放回地取三次，則至少被取出一次的球的

個數(shù) X 的可能取值為1，2，3.

當 X=1 時，三次取出的球的標號都一樣，則

當 X=2 時，三次取出的球有兩次標號一樣，則

當 X=3 時，三次取出的球的標號都不一樣，則

隨機變量 X 的分布列如表1所示.

表1

所以

方法2：古典概型法2.

由于有放回地取三次，則至少被取出一次的球的個數(shù) X 的可能取值為1，2，3.

當 X=1 時，三次取出的球的標號都一樣，則

當 X=2 時，三次取出的球有兩次標號一樣，則

當 X=3 時，三次取出的球的標號都不一樣，則

隨機變量 X 的分布列如表2所示.

表2

所以

點評：借助有放回地取三次球，建立與之對應的古典概型模型，利用古典概型的概率公式，或通過組合形式，或通過排列形式，分別探究三次取出的球的標號都一樣、三次取出的球有兩次標號一樣及三次取出的球的標號都不一樣這三種不同情況對應的隨機變量 X 對應的概率，進而利用數(shù)學期望的定義來分析與求解.在利用古典概型的概率公式求解問題時，要根據(jù)問題場景，通過組合形式、排列形式或二者綜合形式來分析與應用.

3.2分步計算思維

方法3：分步討論法.

由于有放回地取三次，則至少被取出一次的球的個數(shù) X 的可能取值為1，2，3.

易知 25，其中C表示先選出1個標號.同理， C₅² 表示先選出2個標號， C₅³ 表示先選出3個標號，則

隨機變量 X 的分布列如表3所示.

表3

點評：借助有放回地取三次球，要求解對應隨機變量 X 對應的概率，可以對具體的場景加以分步處理，先選出1個標號、2個標號、3個標號，再利用對應標號個數(shù)所對應的概率情況計算乘積，進而與之對應的概率值，實現(xiàn)問題的切入與突破.分步討論的根本目的就是對問題中對應隨機變量 X 所對應的概率的求解進行分步處理，吻合學生的常見數(shù)學思維方式.

3.3函數(shù)模型思維

方法4：抽屜原理法.

I_k={¹₀ 如果 k 號球至少被取出一次，依題意，令如果 k 號球三次都未被取出，k=1，2，3，4，5

而 ，則

令 X=I₁+I₂+I₃+I₄+I₅ ，則 X 就是至少被取出一次的球的個數(shù).

點評：根據(jù)特殊的取球模型，合理引入對應的函數(shù) I_k ，并將其視為隨機變量，構(gòu)建與之對應的更好利用抽屜原理的模型，實現(xiàn)問題的有效切入與求解，也為此類問題的進一步深化與抽象奠定基礎，給問題的一般性變式與拓展提供條件.基于高等數(shù)學知識來巧妙建立對應的示性函數(shù)模型，契合該取球模型，進而更好地利用抽屜原理來分析與解決問題，實現(xiàn)問題的變式應用.

4變式拓展

4.1簡化變式

變式1（適用于同步教學與學習）一個箱子里有5個相同的球，分別以 1～5 標號，若從中有放回地取兩次，記至少被取出一次的球的個數(shù)為 X ，則數(shù)學期望

4.2深化變式

變式2（適用于高考復習與備考）一個箱子里有5個相同的球，分別以 1～5 標號，若從中有放回地取四次，記至少被取出一次的球的個數(shù)為 X ，則數(shù)學期望 E（X）=

以上兩變式問題的解決，也可以借助高考真題的方法1、方法2或方法3的思維方式來處理，這里不多加以展示.

5教學啟示

其實，在計算離散型隨機變量 X 的數(shù)學期望時，一般首先要搞清楚隨機變量 X 的分布特征及分布列，如果是特殊分布列，直接利用特殊分布的數(shù)學期望公式來求解；而一般分布類型，主要是利用數(shù)學期望的定義，然后要準確應用對應的公式，還要注意數(shù)學期望的實際意義.

數(shù)學期望作為隨機變量的重要數(shù)字特征，在實際問題中把數(shù)學期望作為決策參考的重要依據(jù).因此，對數(shù)學期望的考查，除了直接利用數(shù)學期望的定義來求解相應的數(shù)學期望值，還可以借助數(shù)學期望的實際意義，為實際問題的科學決策提供優(yōu)化方案.Z