開拓思維巧發(fā)散，“一題多解”妙應用

“相等\"與“不等\"是數(shù)學中兩個重要的應用場景，各自獨立存在，又經(jīng)常是變化與相互作用的.特別是基于“相等”（或“不等”）場景，結(jié)合題目條件的創(chuàng)設，可以巧妙轉(zhuǎn)化為“不等”（或“相等”應用，成為綜合應用中比較常見的一類命題設計形式.

而基于方程條件下的相關(guān)代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，以比較常規(guī)的方式，構(gòu)建起“相等\"場景與“不等\"應用之間的關(guān)系，可以有效且全面考查考生的“四基”，正確反映考生的“四能”，成為模擬試卷與高考命題中的一個熱點問題，需要在平時教學與復習備考過程中加以高度重視與系統(tǒng)訓練.

1試題呈現(xiàn)

題目[2024年江蘇蘇州高考適應性試卷（3月份）已知 a，b∈R ，滿足 a+b=4 ，則 的最大值為

2試題破解

解本類題的常見思維是通過代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙借助整體性思維，利用基本不等式等相關(guān)重要不等式（均值不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等）加以合理放縮；也可以在代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化的同時，巧妙借助換元思維，進一步變換代數(shù)式，給進一步利用不等式的合理放縮創(chuàng)造條件；還可以在代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化的同時，利用換元、消元等方式，巧妙構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)與導數(shù)的應用，借助導數(shù)法來轉(zhuǎn)化與應用等.形式多樣的思維方式，有效開拓數(shù)學思維空間，也給問題的突破與求解提供更多的機會，開拓更加合理、有效的場景.

2.1不等式思維

方法1：基本不等式法1.

點評：解決此類雙變量代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，經(jīng)常借助雙變量之和（或差）、乘積（或商式），以及對應的關(guān)系式等，巧妙利用整體性思維，合理巧妙配湊，借助對應的結(jié)構(gòu)特征，利用與之對應的重要不等式（均值不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等）加以巧妙放縮，實現(xiàn)代數(shù)式的最值的確定.

2.2換元思維

方法2：換元 + 基本不等式法1.

根據(jù) a+b=4 ，可令 a=2+t，b=2-t ，則

令 u=t²+5 ，則 u?5 ，上式可化為 f（u）=

（20 ，當且僅當 ，即 時，等號成立.

所以 的最大值為 方法3：換元十基本不等式法2.

根據(jù) a+b=4 ，可令 a=2+t，b=2-t ，則 令 u=t²+5 ，則 u?5 ，上式可化為 f（u）= （204號當且僅當 u²=80 ，即 時，等號成立.

所以 的最大值為

點評：解決此類雙變量代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，經(jīng)常借助已知條件中雙變量之間的關(guān)系或求解過程中出現(xiàn)的代數(shù)式特征等，合理加以換元處理，使得代數(shù)式的形式更加簡捷，結(jié)構(gòu)特征更加明顯，方便進一步利用重要不等式進行合理放縮轉(zhuǎn)化與恒等變形，達到有效的放縮與應用.換元思維的目的就是合理消元，同時巧妙優(yōu)化并簡化代數(shù)式的結(jié)構(gòu).

2.3函數(shù)與導數(shù)思維

方法4：換元十導數(shù)法.

根據(jù) a+b=4 ，可令 a=2+t，b=2-t ，則

構(gòu)建函數(shù) x2-6x+25，x≥0，求導可得 令 f^′（x）=0 ，解得 x= 于是，則當 時， f^′（x）gt;0 ；當 時， f^′（x）lt;0. 所以 f（x）_max=

所以 的最大值為 點評：解決此類雙變量代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，借助換元思維或消元思維等，化雙變量為單變量問題，給函數(shù)的構(gòu)建與應用創(chuàng)造條件.而借助單變量代數(shù)式的確定，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建，回歸函數(shù)與導數(shù)的應用，借助求導運算與函數(shù)單調(diào)性的判斷，給代數(shù)式的最值確定指明方向.函數(shù)與導數(shù)思維處理此類雙變量代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，往往數(shù)學運算比較復雜，同時基本可以達到問題的突破.

3變式拓展

3.1一般性推廣

變式1已知 a，b∈R，a+b=mgt;0 ，則 其中 ngt;0. 的最大值為

根據(jù)一般性推廣的變式1，合理確定常數(shù) m，n 的值，可以給此類變式問題開拓更加廣闊的空間.

前文所給試題就是常數(shù) m=4，n=1 的特殊性問題.

3.2發(fā)散性推廣

變式2 已知 a，b∈R，a+b=4 ，則 的最大值為

變式1和變式2的答案為 （ 具體解析過程可掃碼閱讀，這里從略.

4教學啟示

其實，涉及多變量（往往以雙變量為主）代數(shù)式的最值（或取值范圍）及其綜合問題，往往依托函數(shù)、方程、不等式等基本應用場景，借助條件的合理設置與創(chuàng)新應用，得以確定對應代數(shù)式的最值（或取值范圍）變量的求值或最值、創(chuàng)新定義的綜合應用等，問題設置創(chuàng)新多變，問題形式變化多端，知識融合度高，題目難度也比較大.

而在實際應用過程中，立足函數(shù)、方程、不等式等基本應用場景，巧妙融合與之相關(guān)的基本知識點，有時也合理融入除以上知識外的三角函數(shù)、平面向量、解析幾何等其他相關(guān)知識.解題過程中，結(jié)合具體應用場景，往往離不開函數(shù)與方程思維、不等式思維、三角函數(shù)思維及解析幾何思維等，根據(jù)具體代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式來合理選取對應的數(shù)學思維與技巧、方法，是數(shù)學思維綜合應用與展開的一個重要陣地.Z