用網絡畫板學習函數單調性概念

1提出問題

學生在理解和使用單調性概念的時候經常出現諸如循環論證等錯誤，其原因一方面是學生還習慣于初中死記硬背式的學習方法，還沒有形成高中數學以理解性學習為主的方法.而高中階段函數是基于集合與映射的觀念來定義的，各種性質也都是用數學符號語言來嚴格刻畫，因此需要深刻、理解性且觸及本質的學習.另一方面教師在教學時主要靠講授，最多是在黑板上畫個示意圖，學生需要直接進行抽象的想象和思考，能否理解透徹就看學生自己的素質.

我們都知道對同一個數學對象，至少可以進行“數”和“形”兩種形式的多元表征，并附以情境、操作、動態視覺等其他表征形式.唐劍嵐[教授的研究表明，通過數學多元外在表征和數學多元內在表征相互間的轉化作用能促進學生對數學概念的理解，有助于學生完善認知結構，提高數學表達能力，提升數學素養.人教社章建躍主任的研究表明，借助信息技術實現數學對象變化過程的“可視化”“連續性”，以有序的變化過程幫助學生發現“不變量”“規律性”.他提出對照以核心素養為統領的課改訴求，必須從完善課程內容、加強實踐環節人手，而以“數學實驗”為載體的教學創新適逢其時2.因此，有必要借助信息技術手段，創設動態數學情境，幫助學生進行直觀想象、抽象概括形成概念.

2實踐案例

2.1創設情境，復習函數的概念

教師播放東京奧運會上中國田徑首枚金牌獲得者鞏立姣投擲鉛球的視頻，她奪冠成績是 2.58m 同時提出問題如果把鉛球想成一個點，鉛球的運動軌跡能夠看作一個函數的圖象嗎？

教師根據學生的討論，打開課件，點擊動畫按鈕，鉛球從點 A 出發運動到點 B 落地，重復幾次后，再顯示出運動的軌跡（如圖1）.

教師總結學生討論的結果，形成共識，以鉛球水平運動方向為 x 軸正方向，鉛球出手位置的豎直線為y 軸建立平面直角坐標系，則自變量 x 是鉛球水平運動距離，因變量 是豎直高度，因為每個水平距離對應著唯一的一個豎直高度，并且水平距離的范圍是區間[，2.58]，因此符合函數的定義，它是一個函數，定義域就是[，2.58].教師操作課件，顯示出點 P 坐標，拖動點 P ，不斷改變位置，坐標也相應改變，讓學生體會函數的概念.

問題1從左往右看，這個函數圖象怎么變化？

圖象的變化趨勢是先上升，達到最高點，再下降到.進一步歸納出：最高點左側函數的值隨著 x 的增大而增大，右側函數值隨著 x 的增大而減小，函數在每個區間上具有的這種性質稱之為單調性.

設計意圖：通過回顧鞏立姣奪得奧運金牌的視頻，激發學生參與學習的熱情，培養愛國情懷；同時用網絡畫板模擬鉛球運動軌跡，動態展現軌跡生成過程，顯示出軌跡上點的坐標，引導學生從函數的概念來認識與分析動點軌跡，復習函數概念，調動學生原有函數的認知結構，引出函數的單調性.

2.2單調性概念的構建

問題2如何刻畫函數值 y 隨 x 增大而增大？

教師操作課件，先顯示函數 _y=2x+1 的圖象、動畫 P 點， P 點在函數圖象上從左下向右上方運動，然后顯示出函數圖象上的 Q 點，并且度量出 P，Q 的坐標，再運動 P，Q 兩點，觀察它們的橫坐標大小關系、縱坐標大小關系.如圖2.

V 1 xp=1.24 5 2 4 x=-1.9 4 yp=3.47 P A y=-1.183 2 2 -3-2-1123 -3-2 123x Q=1 7-2

根據現象概括：在運動的過程中，當點 P 的橫坐標比點 Q 橫坐標大時，點 P 的縱坐標就比點 Q 縱坐標大.這說明對于 x 的兩個值 x₁，x₂ ，如果 x₁gt;x₂ ，相應的函數值 _y1gt;y2 ，這就叫 隨 x 的增大而增大.

教師操作課件，先顯示函數 y=x² 的圖象，動畫P 點， P 點在函數圖象上先向下運動再向上運動，然后顯示出函數圖象上的 Q₁，Q₂ 兩點，以及 P，Q₁，Q₂ 的坐標，可以運動 Q₁，Q₂ 兩點，分別觀察它們的橫坐標大小關系、縱坐標大小關系，如圖3.

1 xp=1.6 5 x=.97 4 一 4 x=-1.85 3 一 D 二 3 P yp=2.56 2 一 21 y=.95 1 二 1 y=3.43 -3-2-112 3 x -3-2-1123x 1 1 1 1 公 -2

根據現象概括：在運動過程中，當點 P 的橫坐標比點 Q 橫坐標大時，點 P 的縱坐標比點 Q 縱坐標有時候大，有時候小，這時不能說明函數在R上是增函數.

怎樣才能保證函數是增函數呢？就需要做到“任意”的 x₁gt;x₂ ，都有 _y1gt;y2 ，不能出現當 x₁gt;x₂ 時，有時候 _y1gt;y2 ，有時候 y₁2 .如果出現這種情況，就需要將定義域分成兩個或者多個區間，來保證任意區間內的任意 x₁gt;x₂ ，都有 _y1gt;y2 （或 _{y1） .比如對于函數 y=x² ，在區間 [，+∞ ）上就可以保證“任意”的任意 x1gt;x2 ，都有 y1gt;y2 ；在區間 （-∞，） 上就可以保證\"任意\"的任意 x1gt;x2 ，都有 y12} ：

因此，要對單調性進行嚴格定義，需要注意3點：一是基于某個區間，當然該區間是定義域的子集；二是需要有兩個 x 值的比較，兩個 值的比較；三是要強調任意性，就是對區間內的所有的兩個 x 值，都要滿足.在此基礎上，教師引導學生概括總結出增函數、減函數的準確定義.

圖2

圖3

圖4

設計意圖：通過課件展示函數圖象，引導學生直觀感受圖象的升降，并度量出圖象上每一點的橫縱坐標，將點的運動變化和坐標的數量關系的變化對應，揭示 隨 x 變化的規律.同時通過技術真正實現跟蹤圖象上的任意點，幫助學生完成數學抽象，深化對“任意”的理解，最終構建函數單調性的概念.

2.3概念深化

問題3函數 在定義域 （-∞，） U（，+∞） 內是減函數，該說法是否正確？

學生進行討論，教師根據學生的討論情況操作課件，顯示出函數的圖象及圖象上的 P，Q 兩點坐標，并且拖動點 P 和點 Q .使得 P，Q 在 軸同側和兩側，得出坐標的變化規律不一致，如圖4.同時強調，盡管函數在不同區間單調性可能一樣，但是不能輕易用“U\"連接兩個區間，加深學生對概念的理解.

形成共識：該說法錯誤.因為當 x₁2lt; 時，_y1gt;y2 ，但是當 x₁lt;，x₂gt; 時， x₁2 ，而 y₁2 ，這樣就不滿足任意性了，因此不能說函數f（x）=-在定義域 （-∞，）∪（，+∞） 內是減函數.

請同學用定義證明： 在區間 （，+∞） 上 單調遞減.

教師巡視，發現如下錯誤做法：

證明：設 x₁，x₂∈（，+∞） ，且 x₁2

所以 故 在區間 （，+∞ 上是減函數.

教師請學生分組討論，但是沒有學生指出問題.

教師指出：由 x₁，x₂∈（，+∞） ，且 x₁2 ，得到 ，這是怎么得出的呢？

學生都認為好像自然應該這樣，但得出這個結論的過程用的就是 在區間 （，+∞） 上單調遞減的性質.原來我們用的這個結論，并沒有證明過.而現在我們要證明其單調性，不能再用函數自身的單調性來證明，這就出現了循環論證的錯誤.我們再回歸定義，要說明 隨著 x 的增加而減少，就必須說明當 x 增大時， y 相應減小，要把 y 的變化用 x 的變化表示出來，才能說清楚變化的相依性.

教師板書（略）.

教師總結：證明的核心是把 的變化用 x 的變化表示出來，這里就是要把 f（x₂）-f（x₁） 表示成含有x₂-x₁ 因式的表達式，利用 x₂-x₁ 的符號，最后判斷出 f（x₂）-f（x₁） 的符號.

完成證明后，教師再引導學生總結利用定義證明函數 f（x） 在給定的區間 D 上單調性的一般步驟.

設計意圖：通過用網絡畫板課件直觀揭示過程，以數形結合的形式來辨析錯誤，加深對定義中任意性的理解，幫助學生掌握用定義證明單調性的方法，核心是要表達出 的變化隨著 x 的變化的規律.

3教學反思

《普通高中數學課程標準（217年版22年修訂》對于函數性質提出要求：借助函數的圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.函數單調性的教學，要引導學生正確使用符號語言清晰地刻畫函數的性質，鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題[3.信息技術與學科教學的“深度融合\"包含三個基本屬性，即營造信息化教學環境，實現新型教與學方式，變革傳統的課堂教學結構[4].利用網絡畫板根據函數表達式作出圖象、度量坐標等，將“數”“形”兩個表征緊密結合，利用圖形的直觀動態變化，觸發學生的思考，通過學生的直觀想象和數學抽象完成單調性概念的建構.對錯誤的反思促使學生掌握用定義證明單調性的方法和步驟.網絡畫板在學習單調性概念和正確應用的過程中起到了重要作用.

函數單調性的概念是本節課的重點，而如何用符號語言嚴格定義單調性的形成過程以及能正確用定義證明函數的單調性是本節課的難點.教學中讓學生充分感受單調性概念的形成過程，從函數的圖象出發，經歷觀察發現、抽象概括、自主建構單調性概念的過程，在探索函數 的單調性，并且用定義嚴格證明的過程中深刻理解概念和掌握證明步驟，突破這一難點.實現了從“圖形語言\"到“文字語言\"再到“符號語言\"的逐步深人，實現“形\"到\"數\"的轉換，對單調性概念進行建構.

3.1怎樣用數學語言刻畫“增大”

要表示大小關系，需要比較，因此分別對于 x 和 都要有2個值進行比較，而學生會用特殊點說明問題，比如對于函數 y=2x+1，x 取—1，2，滿足 -1lt;2 .對應的函數值滿足 -1lt;5. 我們在網絡畫板課件中看到圖象上兩個點在很多點位置上變化，點的坐標也隨之變化，當然只有用字母才能表示清楚，就是如果Φ_X1gt;Φ_X2 ，對應的函數值有 _y1gt;y2

3.2對“任意”的重要性理解

通過研究分析函數 y=x² ，在圖象上任意作出了P，Q₁，Q₂ 三個點，并且測量出它們的坐標，移動點Q₁，Q₂ 到不同位置，發現當 x₁gt;x₂ ，有時候 _y1gt;y2 ，有時候 y₁2 ，因此函數在 上不是增函數，只有當在某個區間上“任意\"取 x₁gt;x₂ ，對應的函數值有 _y1gt; y₂ 時，才能是遞增，因此只有確定好區間，滿足所有的Ψ_x1gt;x2 時有 _y1gt;y2 才行.學生更能夠理解單調性是函數在某個區間上的局部性質，確定這個區間需要滿足“任意” x₁gt;x₂ 時有 _y1gt;y2 或者“任意” x₁gt;x₂ 時y₁2 .根據這個原理在探究分析函數 的單調區間時，同樣用圖象上的動點來演示過程，這樣學生能夠深刻體會到，為什么兩個減區間不能用“U”合并在一起.

3.3對“隨著”的理解和應用

單調性的本質是在某個區間上 “隨著” x 的增大而增大或減小，用定義證明單調性就需要把 的變化用 x 的變化表達出來，即要把 Δy=f（x₂）-f（x₁） 用Δx=x₂-x₁ 表示出來，然后用 Δx 的符號來判斷 Δy 的符號，才能正確根據定義證明單調性.顯然函數 在區間 （，+∞） 上遞減的循環論證的錯誤其根本原因是沒有利用 Δx 的符號來判斷 Δy 的符號.這讓學生深刻體會到“隨著”的重要性.

參考文獻：

[1唐劍嵐.概念多元表征的教學設計對概念學習的影響[J].數學教育學報，21，19（2）：28-33.

[2章建躍.課程改革呼喚數學實驗J」.江蘇教育，217（27）：18.

[3中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（217年版22年修訂）[S].北京：人民教育出版社，22.

[4何克抗.如何實現信息技術與學科教學的“深度融合”

[1]教育研容.217.38（1）.88-92