線性變換視角下橢圓面積的計算

中圖分類號：0151；G642 文獻標識碼：A 文章編號：2096-3998（2025）04-0092-06

在平面上，向量 x=（x₁，x₂）^?T 滿足 x₁²+x₂²=1 ，即 x=（x₁，x₂）^T 在單位圓上（或稱其為單位化向量）?？紤]非退化的線性變換 y=Tx ，這里矩陣 ，其中 ad-bc≠0 。經過線性變換后的向量 y=（y₁ ，y₂）^T 滿足方程

（c²+d²）y₁²-2（ac+bd）y₁y₂+（a²+b²）y₂²=（ad-bc）²°

文獻[1]中指出，當 ac+bd=0 時，方程（1）表示一個橢圓，且橢圓的長軸與短軸分別在坐標軸上;當 ac+bd≠0 時，方程（1）還是一個橢圓，此時橢圓的長軸與短軸不在坐標軸上。

例1考慮矩陣 此時，經過線性變 換后的向量 y=（y₁，y₂）^T 的軌跡是

4y₁²+y₂²=4

方程（2）表示一個橢圓，其長軸與短軸在坐標軸上，如圖1所示。

例2考慮矩陣 此時，經過線性變換 后的向量 y=（y₁，y₂）^T 的軌跡是

10y₁²-12y₁y₂+10y₂²=64°

方程（3）表示一個橢圓，其長軸與短軸不在坐標軸上，如圖2所示。

圖1線性變換的軌跡（例1）

例3考慮矩陣 此時，經過線性變換后的向量 y=（y₁，y₂）^T 的軌跡是

方程（4）表示一個長軸與短軸不在坐標軸上的橢圓，如圖3所示。

圖2線性變換的軌跡（例2）

圖3線性變換的軌跡（例3）

例4考慮矩陣 此時，經過線性變換后的向量 y=（y₁，y₂）^T 的軌跡是

20y₁²-4y₁y₂+10y₂²=196°

通過該線性變換，單位圓變成了一個長軸與短軸不在坐標軸上的橢圓，如圖4所示。例5考慮矩陣 ，此時，經過線性變換后的向量 y=（y₁，y₂）^T 的軌跡是

5y₁²-6y₁y₂+2y₂²=1°

通過該線性變換，單位圓變成了一個長軸與短軸不在坐標軸上的橢圓，如圖5所示。

圖4線性變換的軌跡（例4）

圖5線性變換的軌跡（例5）

從以上結果發現，單位圓經過非退化的線性變換后得到一個橢圓，本文研究此類橢圓面積的計算，進而研究橢圓面積與單位圓面積之間的關系，下面給出橢圓面積的計算方法。

橢圓面積的計算

對于橢圓標準方程

其面積 S=πab 。平面上的橢圓經過旋轉或者平移，其面積保持不變，本文利用這一思想，給出一般形式橢圓的面積計算方法。

為了計算一般圓錐曲線 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 是橢圓時圍成的面積，首先考慮如下形式的橢圓面積計算。

1.1形如 Ax₁²+Bx₁x₂+Cx₂²=D 面積的計算

要保證方程

Ax₁²+Bx₁x₂+Cx₂²=D

是一個橢圓，根據圓錐曲線的理論，需要滿足以下條件：

① 二次型對應矩陣的行列式 ：

② 二次型對應矩陣的跡 A+Cgt;0 ：

③ 常數項 Dgt;0 。

這三個條件共同確保方程（7）表示的是一個橢圓。當方程（7）表示一個橢圓時，通過坐標旋轉變換能將方程（7）轉化為橢圓的標準方程，此時面積保持不變。

考慮坐標旋轉變換（正交變換保持幾何圖形不變）

將式（8）代人式（7）得到

考慮交叉項 y₁y₂ 的系數

當 A=C 時，取 ，則交叉項 y₁y₂ 的系數為零;當 A≠C 時，取 ，則交叉項 y₁y₂ 的系數為零。因此總存在 θ 使得橢圓方程（7）可以轉換為標準橢圓方程

A^′y₁²+C^′y₂²=D

根據二次型理論 f（x₁，x₂）=Ax₁²+Bx₁x₂+Cx₂² 對應矩陣為 ，經過（相似）變換后得到的新方程f（y1，y2）=A'y2+B'2對應矩陣為M'=[A' 與 M 相似，因此具有相同特征值，且M^′ 的特征值分別是 λ₁=A^′，λ₂=C^′ 。根據韋達定理可得

橢圓（10）的面積為

橢圓（10）是橢圓（7）旋轉后得到的，面積保持不變，所以橢圓（7）的面積為

1.2 形如 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 面積的計算

對于一般圓錐曲線方程

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0，

當 b²-4aclt;0 時，方程表示橢圓型曲線（包括橢圓和圓，當 a=c≠0，b=0 時，橢圓退化為圓，圓是特殊的橢圓）。當方程（12）所表示的曲線是橢圓時，考慮橢圓的面積。

首先對橢圓方程（12）進行平移變換，設平移向量為 Ξ（m，n） ，令 x=X+m，y=Y+n ，將其代入方程（12）得到

時，橢圓（13）可以轉化為

aX²+bXY+cY²+（am²+bmn+cn²+dm+en+f）=0，

參考1.1節中橢圓面積的計算，這里

A=a，B=b，C=c，D=-（am²+bmn+cn²+dm+en+f），

從而采用1.1節的結論有

化簡可得

從以上推導過程可知，任意一個橢圓經過平移與旋轉總能轉化為橢圓的標準方程，例如橢圓x²+xy+y²+2x-4y=0 經過平移與旋轉后得到的方程為 ，如圖6所示。

圖6橢圓經過平移與旋轉化為標準方程

采用轉化為標準型后的橢圓計算，便得到原橢圓的面積為

2 問題求解

現在考慮橢圓（1）面積的計算，這里橢圓的方程為

（c²+d²）y₁²-2（ac+bd）y₁y₂+（a²+b²）y₂²=（ad-bc）²，

其中， ad-bc≠0 。利用上面的結論直接得到面積為

從而得到如下結論：單位圓經過非退化的線性變換 y=Tx 后，橢圓的面積與單位圓的面積比值為對應線性變換行列式的絕對值，即

因此可以把線性變換行列式的絕對值稱之為伸縮因子，當 |det（T）|gt;1 時面積放大；當 |det（T）|lt; 1時面積縮小；當 |det（T）|=1 時面積保持不變。因此例1對應橢圓的面積為 2π ，例2對應橢圓的面積為 8π ，例3對應橢圓的面積為 0.625π ，例4對應橢圓的面積為 14π ，例5對應橢圓的面積為 π 。

在二維空間中，如果線性變換為退化，如取 ，即 det（T）=0 ，此時單位圓被變換為一個線段，也即橢圓退化為線段[1]，因此面積為0，利用公式（17）也可得面積為0。

同理，在三維空間中，單位球通過一個非退化的線性變換（對應矩陣秩為3）將變成一個橢球，橢球的體積與單位球的體積比值為線性變換行列式的絕對值，即伸縮因子;針對退化的線性變換，當線性變換對應矩陣秩為2時，單位球被變換為三維空間中的一個橢圓面;當線性變換對應矩陣秩為1時，單位球被變換為三維空間中的一個線段。

3 結束語

本文從線性變換的角度提出了橢圓面積的計算問題，同時從代數角度給出了橢圓面積的計算方法。近年來筆者深入挖掘線性變換的幾何意義，逐步建立代數與幾何的統一觀，踐行數形結合的數學思想與方法[2-5]，把華羅庚先生“數無形時少直觀、形無數時難入微”的理念落實落地。此外，文獻[6-10]也對線性代數與解析幾何二者之間的聯系進行了深入的研究。

此外，還可以從積分角度，諸如定積分、曲線積分、曲面積分以及格林公式等進行推導計算橢圓的面積，限于篇幅，本文不再贅述。

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[責任編輯：魏強]

Abstract：An ellipse is obtained from a non-degenerate linear transformation of the unit circle.This paper presents the problem of calculating the area of elipse，and gives the formula of calculating the area of ellipse from the algebraic point of view，and then studies the relation between the area of elipse and the area of unit circle.This paper aims to establish a unified view of algebra and geometry，and practice the mathematical thought and method of combination of number and shape.

Key words： unit circle； linear transformation; ellipse； area；combination of number and shape