基于雙重傅里葉級數的SVPWM逆變器共模電壓分析

中圖分類號：TM464 文獻標識碼：A 文章編號：2096-3998（2025）04-0026-0

空間矢量脈寬調制（SpaceVector PulseWidthModulation，SVPWM）是逆變器目前應用最多的調制方法[1]。SVPWM與其他PWM一樣，也會產生共模電壓，這是一種階梯式的跳變電壓[2-3]。隨著逆變器寬禁帶器件的應用和高頻化的發展，共模電壓會加劇漏電流、器件應力、電磁干擾等負面效應，因此在高性能場合對共模電壓提出了抑制要求[46]。抑制共模電壓有硬件、軟件兩類方法，無論是硬件方法還是軟件方法，都需要對共模電壓的特性進行深人了解，而對共模電壓的諧波和頻譜進行數學分析是關鍵基礎[7-8]。

文獻[9]利用雙重傅里葉級數，對三相兩電平逆變器SVPWM和載波型PWM的相電壓和線電壓作了頻譜分析;文獻[10]利用雙重傅立葉級數分析了三相多電平逆變器載波型PWM的諧波特性。這些研究對不同載波不同電平的三相變換器輸出電壓作了分析，但未對共模電壓的頻譜進行分析。文獻[11]分析了NSPWM、DPWM1和SVPWM方法下的共模電壓;文獻[12]分析了SVPWM、兩種DPWM、AZSPWM方法下的共模電壓。這些研究對三相兩電平逆變器的PWM共模電壓進行了頻譜分析，但未給出共模電壓的雙重傅里葉級數的具體表達式。另外，文獻[13］利用二重傅立葉積分法對無控整流器諧波進行估計，推導了諧波電流的數學表達式;文獻[14]利用雙重傅里葉級數分析了五相電壓源型逆變器的輸出電壓諧波頻譜；文獻[15]利用三重傅立葉級數分析了空間矢量調制矩陣變換器輸出電壓諧波;文獻[16]基于雙重傅里葉級數的混沌 SPWM對單相逆變器混沌 SPWM電壓頻譜做了深入分析。

本文在此基礎上，針對三相兩電平逆變器，采用雙重傅里葉級數的數學解析法對七段式SVPWM和五段式SVPWM的共模電壓進行分析，得出表征共模電壓諧波幅值和頻譜的通用解析表達式，并且對兩種SVPWM的共模電壓表達式進行對比分析，總結出兩種SVPWM共模電壓諧波特點。進一步在逆變器驅動電機系統中進行仿真，將仿真結果與計算結果進行對比，以驗證數學分析的正確性和有效性。

1兩種SVPWM的共模電壓波形

三相兩電平逆變器的共模電壓 u_cm 如圖1所示，定義為三相負載星形結點與逆變器直流母線中點z之間的電位差，計算公式為

式中， ，u_az?u_bz?u_cz 分別為逆變器a ，b，c 相橋臂的電壓。

逆變器有8種開關狀態，在 αβ 平面對應8個基本矢量，記作 V₀-V₇ ，如圖2（a）所示，其中 V₀，V₇ 為零矢量，其他6個為非零矢量，長度為 4U_dc/3 。以非零矢量為邊界將平面劃為6個扇區，記作 。

期望矢量 V_ref 在扇區 S₁ 的合成如圖2（b）所示， 圖1三相兩電平逆變器的共模電壓在半個開關周期 T_s/2 內，有效矢量 V₁，V₂ 的作用時間用 T₁，T₂ 表示，伏秒平衡方程為

V_ref=V_refθ=（2T₁/T_s）V₁+（2T₂/T_s）V₂，

式中， V_ref 為期望矢量長度， θ 為期望矢量與扇區始邊的夾角。該式同樣適合其他扇區。

圖2三相兩電平逆變器SVPWM

根據式（1）計算出8個基本矢量的共模電壓大小，見表1。

表1基本矢量共模電壓

由表1可知，零矢量的共模電壓最大，為了降低共模電壓，應當減少零矢量的使用。七段式SVPWM在開關周期 T_s 的始段、末段使用零矢量 V₀ ，在中間段使用零矢量 V₇ ，扇區 S₁ 的脈沖波形如圖3（a）所示，零矢量 V₀ ！V₇ 在 T_s/2 內的作用時間用 T₀，T₇ 表示。相比之下，五段式SVPWM僅在開關周期的始段、末段使用零矢量 V₀ ，如圖3（b）所示。

七段式SVPWM和五段式SVPWM在6個扇區的共模電壓波形如圖4所示，為簡便起見，每個扇區只畫出一個開關周期的波形，其他開關周期的波形與之類似。

圖3兩種SVPWM脈沖樣式

圖4兩種SVPWM的共模電壓波形

比較圖4（a）和（b）可知，兩種 SVPWM的共模電壓波形是有區別的。區別一，七段式SVPWM共模電壓峰值為 U_dc ，谷值為 -U_dc ，峰谷值為 2U_dc ，而五段式SVPWM共模電壓峰值為 U_dc/3 ，谷值為 -U_dc ，峰谷值為 4U_dc/3 ;區別二，七段式SVPWM共模電壓在一個開關周期內跳變次數為6次，而五段式SVPWM為4次。造成這些區別的原因是前者使用了兩種零矢量 V₀，V₇ ，而后者僅使用一種零矢量 V₀ 。由于共模電壓的跳變會產生很高的 du/dt ，給系統造成危害，因此共模電壓的跳變次數越少，對系統的負面影響也越小。由此可知，從抑制共模電壓的角度看，五段式SVPWM優于七段式SVPWM。

下面利用雙重傅里葉級數對兩種SVPWM的共模電壓進行數學分析。

2 兩種SVPWM共模電壓數學分析

將式（2）寫為笛卡爾坐標形式，即

兩種SVPWM的有效矢量 V₁，V₂ 的作用時間 T₁，T₂ 由式（3）推出：

以五段式SVPWM為例，由圖3（b）可知，三相橋臂電壓平均值的計算公式為

將式（4）代人式（5）得

考察SVPWM輸出端a點相對于直流母線 n 點的電壓 u_an ，根據雙重傅里葉級數原理， u_an 是個二元函數 u（x，y） ，自變量 x，y 是如下兩個周期時間變量：

式中， ω_c??θ_c 分別是載波的角頻率、初相位， ω₀A₀ 分別是基波的角頻率、初相位。 u（x，y） 可分解：

SVPWM輸出波形由6個扇區構成，于是，式（8）中各系數計算表達式為

式（9）的積分上下限由表2給出。

表2五段式SVPWM雙重傅里葉積分限

當 m=n=0 時，式（9）可化簡為

式中， M 為調制度，定義為參考矢量幅值與直流母線電壓的一半之比。

當 m=0，n=1 時，式（9）可化簡為

A₀₁+jB₀₁=MU_dc;

當 m=0，ngt;1 時，式（9）可化簡為

當 mgt;0，n?0 時，式（9）可化簡為

考察SVPWM輸出端a點相對于直流母線 點的電壓 u_az ，只需在 u_an 展開式的直流補償項里減 U_dc 即可，雙重傅里葉展開式為

在式（14）的基礎上，可得 u_bz?u_cz 的雙重傅里葉展開式為

將式（14）—（16）代入式（1），得到的二元函數即五段式SVPWM共模電壓 u_cm ，具體展開式為

式中，

同理可得七段式SVPWM的共模電壓表達式為

對比式（17）與式（18）可知，五段式SVPWM存在直流分量，而七段式SVPWM不存在直流分量。五 段式SVPWM的低頻諧波成分為基波頻率的3的整數次倍，而七段式SVPWM的低頻諧波成分為基波頻 率的3的奇整數次倍。

進一步對比可知，五段式SVPWM相比于七段式SVPWM，共模電壓諧波成分較多，但諧波幅值明顯減小。這是因為五段式SVPWM僅使用一種零矢量，而七段式SVPWM使用兩種零矢量。

另外，兩個表達式的共同特點是共模電壓的邊帶諧波成分僅存在于 mf_c±nf₀ 處， n 的取值為3的整數倍。隨著 n 變大，邊帶諧波幅值降低，該幅值大小與調制度 M 、諧波次數等均有關。

上述這些特點可為共模濾波器和共模電壓抑制策略的設計提供理論依據。

3 仿真和實驗

為了驗證上述分析的正確性和有效性，在逆變器驅動永磁同步電機系統的實驗平臺上，對兩種SVPWM做了仿真和實驗，將相關結果進行比較。逆變器直流母線電壓311V，開關頻率 5kHz ，永磁電機額定電壓 130V/50Hz ，磁極對數4，定子電阻 ，定子直軸電感 5.25mH ，交軸電感 12mH ，轉子磁鏈0.1827W，轉動慣量 0.003kg?m² ，阻尼系數 0.008N?m?s 。系統采用閉環控制即 i_d=0 的矢量控制，轉速指令值 750r/min ，由轉速指令值和直流母線電壓可知，調制度為0.48。

穩態下兩種SVPWM線電壓（經低通濾波后）和線電流的仿真波形如圖5所示。由圖可知，波形的正弦度好，五段式SVPWM的紋波比七段式SVPWM要多些，符合兩者特點。

圖5兩種SVPWM的電壓和電流仿真波形

穩態下兩種SVPWM的共模電壓仿真波形如圖6所示。由圖可知，七段式SVPWM共模電壓的峰谷值為311V，而五段式SVPWM為207.33V，降低了 33.33% ，與理論分析一致。

圖6兩種SVPWM的共模電壓仿真波形

穩態下兩種SVPWM共模電壓的頻譜分析結果如圖7所示，該頻譜分析針對整個仿真過程的波形進行的。由圖可知，在開關頻率 5kHz 處，七段式SVPWM共模電壓為 71.36dBm ，五段式SVPWM為66.91dBm ，下降了 4.45dBm 。同時，在 0.15kHz 處七段式SVPWM共模電壓為 52.16dBm ，五段式SVPWM共模電壓為 50.65dBm ，下降了 1.51dBm 。

利用式（17）可得出七段式SVPWM共模電壓諧波的計算結果，計算值與仿真值的對比見表3，可以看出兩者之間存在誤差，但誤差比較小。出現誤差的主要原因是仿真模型本身存在無法確定的微小的仿真截斷誤差。共模電壓在一個基波周期內的計算頻譜和仿真頻譜如圖8所示，兩者的一致程度很高。由此可知，上述共模電壓的雙重傅里葉級數分析結果是正確有效的。

圖7兩種SVPWM共模電壓的頻譜分析結果

表3七段式SVPWM共模電壓諧波計算值與仿真值

圖8共模電壓的計算頻譜和仿真頻譜（七段式）

類似地，利用式（16）可得出五段式SVPWM共模電壓諧波的計算結果，計算值與仿真值的對比見表4，兩者之間誤差也很小。圖9是共模電壓的計算頻譜和仿真頻譜，兩者的一致程度也很高。進一步說明上述共模電壓的雙重傅里葉級數分析結果是正確有效的。

表4五段式SVPWM共模電壓諧波計算值與仿真值

兩種 SVPWM共模電壓頻譜分析的實驗結果如圖10所示，由圖中峰值表可知，兩種調制方式在f=5kHz 時，共模電壓諧波幅值均達到最大。七段式SVPWM不存在頻率為 10kHz 的諧波，同時五段式SVPWM的共模頻譜比七段式SVPWM要復雜，但諧波幅值比七段式SVPWM要低，與上述的計算結果和仿真結果一致，圖10的實驗結果進一步驗證了共模電壓數學分析的正確性和有效性。

4結語

本文分析了三相兩電平逆變器七段式SVPWM和五段式SVPWM共模電壓波形特點，運用雙重傅里葉級數推導出兩種SVPWM共模電壓通用解析表達式，根據解析表達式進行對比分析，得出兩種SVPWM共模電壓諧波幅值和頻譜的特點，仿真與實驗結果驗證了理論推導結果的正確性和有效性。這些分析對共模濾波器和共模電壓抑制策略的設計具有重要意義，并為其他PWM共模電壓分析提供了重要參考。后續將這些理論分析進一步推廣至多電平逆變器。

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[責任編輯：魏強]

Abstract：To suppress the common-mode voltages generated by the inverters using Space Vector Pulse Width Modulation （SVPWM），the mathematical analyses of common-mode voltages are required. The mathematical analysis method of double Fourier series is used to analyze thecommon-modevoltage harmonics and spectra of seven-sector SVPWM and five-sector SVPWM. First，the double Fourier coeffcients of the device terminal voltage acrossthe bridge arm are derived. Subsequently，the double Fourier expression for the output phase voltage is obtained.Based on this，the harmonic expresion for the common-mode voltage is derived. The harmonic characteristics of the two SVPWM common-mode voltages are summarized by comparative analyses. Simulation experiments are carried out in the inverter-driven motor system，and the results are in good agreement with the calculation results，verifying the correctness and effctiveness of the mathematical analyses.Based on these analyses，a more in-depth study of common-mode voltage suppression can be caried out.

Key words：double Fourier series ; SVPWM; common-mode voltage; inverter; permanent magnet motor