基于GeoGebra的圓錐曲線變式教學研究

通過運用GeoGebra軟件來輔助圓錐曲線的變式教學，教師可以動態展示方程參數變化對圖形的影響，從而更有效地滲透“數形結合\"的數學思想.這種教學方法有助于學生形象地把握知識的內在規律，促使學生在直觀的幾何圖形中領悟曲線與方程的內在聯系，從而培養他們的抽象思維能力以及直觀想象能力.此外，這種教學方式不僅能深化學生對數學概念的理解，還能培養其類比推理能力和問題解決能力，同時為教師構建高效的高中數學課堂教學模式提供了重要參考.

1創設問題情境，激發數學思維

在課堂教學中，教師要引導學生從被動接受知識轉變為主動建構知識.新課標強調，學生的學習過程不應局限于知識的被動接受、記憶、模仿和機械練習，而應通過積極參與教學互動實現主動建構.因此，教師在開展課堂教學時應構建適宜的問題情境.這一步驟對于激發學生的學習興趣、提升邏輯推理能力具有重要影響.這是因為生動有趣的教學情境能夠激發學生的學習興趣，促進師生良性互動，既有助于學生對知識的有效掌握，又能幫助其構建系統的知識體系，從而顯著提升課堂教學成效，

圓錐曲線在現實生活中具有廣泛的應用，如建筑中的橢圓形穹頂、發電站的雙曲線型冷卻塔以及橋梁設計中常見的拋物線結構等.因此在開展圓錐曲線教學時，教師應當創設與生活實際緊密聯系的教學情境，幫助學生理解數學概念的現實基礎，增強學習興趣，培養積極的數學情感.雖然學生在日常生活中對圓錐曲線有直觀感知，但普遍缺乏繪制曲線的實踐經驗，對其數學定義、標準方程及幾何性質也認識不足.這種認知差距恰恰激發了學生的探究欲，促使他們結合教材內容開展深人學習，從而深化對圓錐曲線概念的理解，強化對數學專業術語和符號的掌握.

2有效運用軟件，體現幾何直觀

信息技術融入數學教學已成普遍現象.在圓錐曲線等需要數形結合的教學內容中，GeoGebra等可視化工具的應用不僅能夠提升教學效能，更能為學生創設數學實驗環境，使其通過親身實踐經歷完整的知識探索過程.這種教學方式既能深化學生對數學概念的理解，又能激發其探究精神，培養創新能力.因此，教師應當熟練掌握GeoGebra等信息技術工具，為學生營造直觀、生動的學習情境，引導學生在觀察、研究和交流中掌握數學探究方法，理解數學概念本質，從而建立系統的知識體系.

在教學實踐中，GeoGebra軟件的有效運用能夠幫助教師實現數形結合的教學目標，將抽象的數學知識可視化、具體化，從而激發學生的學習興趣，提升其學習主動性.需要強調的是，教師應合理運用GeoGebra軟件輔助課堂教學，該軟件特別適用于呈現傳統教學手段難以有效展示的教學重點.在圓錐曲線教學中，教師可以借助GeoGebra工具動態演示橢圓離心率變化對其形態的影響，引導學生探究離心率與橢圓形狀之間的內在規律.當需要分析某點的運動軌跡時，教師也可利用GeoGebra開展可視化實驗，在直觀演示的同時，重點培養學生分析和解讀動態圖象的能力，從而激發學生的探究興趣，提升數學核心素養

3立足核心素養，夯實基礎知識

數學學科不僅在學生的學業發展中具有關鍵作用，更對其終身發展產生深遠影響.它不僅能夠塑造學生獨特的思維方式，還能通過數學核心素養的培養，促進其認知能力的發展.因此，要有效提升學生的數學核心素養，必須夯實數學基礎

GeoGebra軟件在圓錐曲線這一抽象數學概念的教學中展現出顯著優勢.相較于傳統黑板和粉筆等教具在圖形呈現上的局限性，GeoGebra能夠動態展示圓錐曲線的生成過程，幫助學生直觀理解抽象概念，有效培養其數學抽象思維與邏輯推理能力.特別是在離心率的教學中，通過實時調節離心率參數，學生可以直觀觀察曲線形態的變化規律.教師可結合多元教學策略，利用GeoGebra動態演示離心率變化對曲線的影響，并引導學生運用所學知識解決實際問題.這種教學方式不僅能強化學生的實踐應用能力，更能系統提升其邏輯思維能力.

4巧妙運用變式，促進知識內化

變式教學作為我國傳統教學的典型方法，其核心在于通過變換知識的非本質特征來揭示其本質屬性.這種教學方法能夠促進學生縱向深化知識理解，實現更深刻的概念解析，從而幫助學生全面把握知識的內在結構與本質規律.1教學模式的創新不僅能夠提升教師的教學效能，拓展教學內容的深度與廣度，還能有效促進學生核心素養的全面發展.

在高考數學中，圓錐曲線相關知識占據重要地位.2解決圓錐曲線問題時，參數方程作為重要工具具有廣泛的應用價值.然而，教學實踐表明，僅少數學生能夠自主運用這一解題策略.因此，教師在日常教學中應當系統培養學生運用參數方程解決圓錐曲線問題的能力.例如，可以對相似的習題進行分類與總結，并實施專題差異化指導，協助學生學會該策略的運用技能，提升其解題水平.通過多元教學策略開展題目研習，不僅能有效降低學生解題時的認知障礙，更能激發其對橢圓、雙曲線等圓錐曲線的探究興趣.這種教學方法有助于培養學生的知識遷移能力與創新思維，在提升其數學建模素養的同時，更能促進其形成系統化的數學思維模式.

5教學設計與說明

接下來，以人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中“圓錐曲線的方程”為例，選取“橢圓及其標準方程\"和“橢圓的基本幾何性質”兩個教學內容，共設計四個課時的詳細教案，

5.1創設情境，引入概念

在教材的104頁引言部分，闡明了如何利用一個平面切割一對頂點相對、底面平行的圓錐組合.通過對該平面的調整與轉動，可以得到不同的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）.教師借助GeoGebra動態演示了這一過程生成的各類截口曲線，其中，當截面與圓錐的軸垂直時，截口曲線是一個圓.

問題1調整截面與圓錐的軸所成角度后，會得到怎樣的曲線呢？

教學互動：教師借助GeoGebra軟件進行動態演示，引導學生觀察當截面與圓錐中軸線的夾角變化時，截口曲線從橢圓到拋物線再到雙曲線的連續演變過程

【設計意圖】激發學生的積極思考，喚起其對圓錐曲線知識的濃厚興趣，幫助學生全面掌握本單元的教學要點，并培養主動探究的學習態度.

教師系統講解圓錐曲線在工程實踐和日常生活中的應用實例，并梳理數學史上對圓錐曲線研究的演變過程，同時重點強調坐標系方法在分析圓錐曲線中的核心作用.在此基礎上，教師引導學生回顧直線方程與圓的方程的學習過程，通過坐標系方法重新審視這些基本幾何圖形的性質特征.

問題2請列舉幾個日常生活中經常遇到的橢圓形狀.橢圓應該怎樣繪制呢？

探究活動取一條定長細繩，將其兩端固定于黑板的同一位置，系上畫筆并拉緊細繩.當移動畫筆時，筆尖將繪出一個標準的圓形軌道.若將細繩兩端分別固定于兩個不同點 F₁，F₂ ，重復上述操作，此時畫筆將描繪出何種曲線？在此過程中，移動的筆尖（動點）需要滿足怎樣的幾何條件？

問題3你可以從數學角度描述橢圓生成過程中動點需滿足的幾何條件嗎？請闡述橢圓的定義.

橢圓的定義：平面內與兩個定點 F₁，F₂ 的距離之和等于常數（大于 ∣F₁F₂∣ ）的點的軌跡稱為橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

【設計意圖】通過親身實踐操作，加深對橢圓的幾何屬性理解，進而歸納出橢圓的定義.

5.2建立坐標系，推導方程

為了深入探索橢圓的幾何特征，教師可參照研究直線與圓的性質時所采用的方法，建立合適的平面直角坐標系.

問題4對于橢圓，我們應如何選取合適的坐標軸，以便更加便捷地探究其特征？

教學互動：通過幾何直觀，學生能夠理解橢圓的對稱特性，并據此建立適當的坐標系.用坐標 （x，y） 表示橢圓上的任意一點 M ，根據橢圓定義確定點集

P={M||MF₁|+|MF₂|=2a} .將這些幾何條件轉化為代數表達式，通過方程推導和化簡，最終得到橢圓的標準方程.在這個過程中，需要注意以下幾點.

（1）以過兩個焦點 F₁F₂ 的直線為 x 軸、線段F₁F₂ 的垂直平分線為 y 軸，建立平面直角坐標系，則焦點 F₁（-c，0），F₂（c，0） ，橢圓上的點 M（x，y） 與兩個焦點的距離之和為 2a ·

（2）橢圓上的點 M 滿足 ∣MF₁∣+∣MF₂∣=2a .轉化為代數式則為 +

（3）化簡方程 冏十 時，要注意根號對化簡過程的影響，化簡到 （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²） 時，將方程兩邊同時除以 a²（a²-c²） ，進一步簡化整理為 的形式，接下來探尋 的幾何意義，并繼續化簡方程，得到最簡形式

經過以上探究活動和推導過程可知，焦點在 x 軸上時，橢圓的標準方程為 ，其中 c²=a²-b² ·

問題5你能推出焦點在 軸時橢圓的標準方程嗎？

教學活動：基于前述推導過程，教師可根據實際教學情況，安排學生自主探究.實踐表明，多數學生能夠獨立完成焦點在 y 軸上的橢圓標準方程的推導，得到方程為

【設計意圖】確立研究曲線方程的基本方法，關鍵在于建立合適的平面直角坐標系.通過對橢圓標準方程的推導，學生能夠深入理解求解各類曲線方程的一般思路，從而系統構建并深化對橢圓及其標準方程概念的認知.

5.3鞏固新知，熟練運用

例1已知橢圓的兩個焦點為（一2，0）和（2，0），且經過點 ，求該橢圓的標準方程.

解析：由于給了焦點坐標，便知其焦點在 x 軸上，此時直接將已知點代人其標準方程 1中，求出參數 Π_a，b 的值，便可得到橢圓的標準方程.

【設計意圖】通過例1的練習，幫助學生深入理解橢圓的定義及其標準方程，并掌握其基本應用方法.

例2如圖1所示，在圓 x²+y²=4 上任取一點P ，過點 P 作 x 軸的垂線段 PD，D 為垂足.當點 P 在圓上運動時，線段 PD 的中點 M 的軌跡是什么？

圖1

互動環節：目標是確定動點運動軌跡的方程，即建立軌跡上任意點 M（x，y） 所需滿足的幾何條件.具體而言，需要將動點的位置參數與已知軌跡上點的位置參數建立關聯，從而利用已有軌跡方程進行求解.

解析：設點 M 的坐標為 （x，y） ，點 P 的坐標為 （x₀，y₀） ，則點 D 的坐標為 （x₀，0） ，由于點 M 是線段 PD 的中點，則有 x₀=x，y₀=2y

點 P 是圓 x²+y²=4 上的點，所以 x₀²+y₀²=4

將 x₀=x，y₀=2y 代入上式，可得 x²+4y²=4 整理得 +y2=1，所以點M的軌跡是橢圓.

變式如果在線段 PD 上存在點 M ，其位置不處于中點且滿足比例關系 PM：PD=k（02+y²=4 上運動時，點 M 的運動軌跡是否為橢圓？

采用GeoGebra軟件進行動態驗證可以發現，改變 k 的大小，會改變橢圓的形狀，隨著 k 的增大，橢圓變得越來越扁，如圖2所示.

【設計意圖】增進學生思維的探究性，激發學生學習熱情，幫助學生領會橢圓與圓之間的聯系.

6結語

基于GeoGebra的圓錐曲線變式教學實踐表明，這種創新教學方法能有效激發學生的求知欲和探究動機.與傳統教學方式相比，學生表現出更高的參與度和學習興趣.他們通過直接操作軟件進行交互式學習，不僅加深了對知識要點的理解，更增強了對抽象數學概念的直觀認知能力.信息技術提供了一個將“數”“形”緊密結合的平臺，這不僅降低了學生在學習過程中的心理負擔，而且有利于他們牢固掌握數學知識，并培養他們的數學核心素養.

參考文獻

[1]焦佳鵬，任琛琛.助力學生多角度思考的數學問題變式教學—以“圓錐曲線的面積（周長）問題”為例[J」.高中數學教與學，2025（4）：51-53+57.

[2]李琴.高中數學變式教學應用析談—以“圓錐曲線的方程”為例[J].考試周刊，2023（31）：76-80.

圖2