立足基本圖形 突出模型意識 直指數學本質

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱\"新課標\"指導下，教師應積極引導學生從復雜的圖形中分離出基本的幾何圖形，挖掘基本圖形的基本元素及相互關系，突出數學模型的意識.本文通過探究一道中考模擬試題，立足基本圖形，以拓寬學生思維路徑，培養數學核心素養.

1原題呈現及解讀

例題如圖1，在平面直角坐標系中，直線： 與 x 軸交于點 A ，且經過點 B（2，m） 0點 C（3，0） ：

（1）求直線 BC 的函數解析式.（2）在線段 BC 上找一點 D ，使得 ΔABO 與ΔABD 面積相等，求點 D 的坐標.（3）_y 軸上有一動點 P ，直線 BC 上有一動點 M =若 ΔAPM 是以線段 AM 為斜邊的等腰直角三角形，求出點 M 的坐標.（4）如圖2，點 E 為線段 AC 上一點，連接 BE ，一動點 F 從點 B 出發，沿線段 BE 以每秒1個單位運動到點 E ，再沿線段 EA 以每秒√2個單位運動到點 A 后停止，設點 F 在整個運動過程中所用時間為 Ψ_t ，求 Ψ_t 的最小值.

圖1

圖2

備用圖

這道中考模擬試題的四個問題循序漸進，環環相扣，難度呈螺旋式上升.第（1）問求直線的函數解析式，旨在引導學生回顧如何根據直線上點的坐標求直線的函數解析式.第（2）問要求在線段BC上確定點 D 的位置，使兩個三角形面積相等.該問題主要考查學生對平行線性質的理解以及求直線交點坐標的能力.第（3）問是在前兩問的基礎上，借助幾何直觀綜合分析問題，需要學生具備一定的模型思想，看到等腰直角三角形聯想到構造“K型全等模型”.第（4）問是典型的“胡不歸問題”，其解題思路為：首先建立運動時間的表達式，然后把系數不為1的項轉化為另一條線段的長度，最后利用垂線段最短的性質確定時間最優路徑.該問題綜合考查學生的運算推理能力、空間想象能力、直觀想象能力及數字轉化思想.綜合來看，這道題的綜合性較強，最后兩問具有一定的難度與區分度.筆者以此題為例，闡述如何識別題目中的基本圖形，構建數學模型，直指數學本質，實現解題突破.

2試題解法探究

第（1）問比較基礎，直線BC的解析式為： y= -3x+9 ；另外三問的思維含量比較高，解法比較豐富，需要學生借助幾何直觀，識別基本圖形或者基本數學模型，才能找到問題的突破口.下面針對剩余三個問題，給出幾種典型解法.

2.1常規思維切題，獲得自然解法

第（2）問的關鍵是 ΔABO 與△ABD面積相等，且這兩個三角形有公共邊 _AB ，而點 D 在線段 BC 上，點 o 在線段 AC 上，點 O，D 在 _AB 的同側，所以只需滿足 OD//AB 即可.

解法1：如圖3所示，因為直線 _AB 的解析式為 ，直線 OD 過原點，所以直線 OD 的解析式為 x.因為點D是直線OD與直線BC的交點，聯立 解得 所以點 D y=-3x+9，的坐標為

圖3

圖4

解法2：因為 ，所以S_ΔABD=3. 因為 2，所以S△ABD：S_ΔABC=2：5. 又因為 ΔABD 與 ΔABC 是同高的三角形，所以這兩個三角形的面積比等于底邊之比，即S_ΔABD：S_ΔABC=BD：BC=2：5. 如圖4所示，在RtΔBCG 中， BG=3，GC=1 ，所以 ，則 .因為點 D 在直線 y=-3x+9 上，所以設點 D 的坐標為 （a，-3a+9） .根據兩點間距離公式，得 ，解得 或 .又因為點 D 在線段 BC 上，所以 舍去，所以點 D 的坐標為

解法3：如圖5所示，因為 ΔABO 與 ΔABD 面積相等，所以 S_ΔAOD=S_ΔBOD ，所以 S_ΔBOC=S_ΔACD .又因為S△BOC= ，所以 過點D 作 DE⊥AC 于點 E ，因為 AC=2+3=5 ，所以 （205.把y 代人 y=-3x+9 ，得0所以點 D 的坐標為

圖5

圖6

上述問題為“面積存在性”問題，3種解法中的解法1\"平行線法\"是最常用、最普遍的一種解法.對于“面積存在性\"問題，可以歸納為這樣一個數學模型：如圖6所示，已知 ΔABC 的面積和直線 ξ_l 的方程，在直線 ξ_l 上找一點 D ，使 S_ΔABC=S_ΔABD ，求點 D 的坐標.解決此類問題有兩種方法：一是過點 c 作 CD₁// AB ，交直線 ξ_l 于點 D₁ ，先利用兩條直線平行的性質求得直線 CD₁ 的解析式，再求點 D₁ 的坐標；二是作點 C 關于點 A 的中心對稱點 C^′ ，再作 C^′D₂//AB ，交直線 ξ_l 于點 D₂ ，求得直線 C^′D₂ 的解析式后，與直線l 聯立即可求得 D₂ 的坐標.需要注意的是，數學模型中的“直線 l^* 也可以換成拋物線、雙曲線、拋物線的對稱軸 ?x 軸或 軸等.

2.2抓住基本圖形，探尋數學本質

如圖7所示，第（3）小題的關鍵條件是點 M 在直線 BC 上，點 P 在 軸上， ΔAPM 是以 AM 為斜邊的等腰直角三角形，所以∠PAM=45°A根據這些條件展開模型聯想，可以獲得以下解法.

圖7

解法1：構造“K型全等三角形”.

如圖8所示，當點 P 在 軸正半軸時，即 mgt;0 業過點 P 作 EF//x 軸，過點 ^A，M 分別作 AE⊥EF 于點 E，MF⊥EF 于點 F 設點 P 的坐標為 （0，m） ，根據同角的余角相等，得 ∠EAP=∠MPF. 因為 ∠E= ∠F=90^° ， AP=PM ，所以 ΔAEP?ΔPFM （AAS）.因為 AE=PO=m ， EP=AO=2 ，所以PF=AE=m . FM=EP=2 ，所以點 M 的坐標為（m，m-2） .因為點 M 在直線 BC 上，所以把點 M （m，m-2） 代人 y=-3x+9 ，得 0解得 ，所以點M的坐標為（

如圖9所示，當點 P 在 軸的負半軸時，即 mlt;

0，此時仍有 ΔAEP?ΔPFM （AAS）.因為 AE= PO=-m EP=AO=2 ，所以 PF=AE=-m ，FM=EP=2 ，所以點 M 的坐標為 （-m，m+2） ：因為點 M 在 BC 上，所以把點 M（-m，m+2） 代人（204號 y=-3x+9 ，得 m+2=3m+9 ，解得 所以點 M 的坐標為

綜上，符合題意的點有兩個，即

圖8

圖9

解法2：如圖10所示，當點 P 在 y 軸的正半軸上

時，以線段 AM 為直角邊向上構造等腰直角三角形

AMG ，過點 M 作 ME⊥AC 于點 E ，過點 G 作 GF⊥

ME 于點 F .根據同角的余角相等，得 ∠MAE=

∠GMF .因為 ∠F=∠AEM=90^° AM=GM ，所

以 ΔAEM?ΔMFG（AAS） ，所以 AE=MF ME=

GF .當 AG 的中點 P 剛好在 y 軸正半軸，點 M 在直

線 BC：y=-3x+9 上時，設點 M 的坐標為 （a .

-3a+9） ，則點 G 的坐標為 （4a-9，-2a+11） ，

所以 AG 的中點 P 的坐標為

因為點 P 在 y 軸上，所以 ，解得 .

所以點 M 的坐標為 中

如圖11所示，當點 P 在 y 軸的負半軸上時，以 AM 為直角邊向下構造等腰直角三角形AMG，仍有 ?ΔAEM?ΔMFG（AAS） ，所以 AE=MF ME= GF .當 AG 的中點 P 剛好在 y 軸負半軸，點 M 在直線 BC：y=-3x+9 上時，設點 M 的坐標為 （a ，-3a+9） ，則點 G 的坐標為 （-2a+9，-4a+7） .所以 AG 的中點 P 的坐標為 因為點 P 在 y 軸上，所以 =0，解得a= 中所以點 M 的坐標為

綜上，符合題意的點有兩個，即

圖10

圖11

解法3：“捆綁變換\"模型，

可以把點 P 看作是主動點，點 M 是從動點，點M 是由線段 AP 先繞點 A 順時針或逆時針旋轉 45^° 然后再放大到原來的√2倍得到線段 AM ，而點 M 在運動過程中也形成運動軌跡.由“捆綁變換\"原理知，當點 P 在直線上運動時，點 M 的運動軌跡也是一條直線，求出點 M 運動時所在的直線與直線 BC 的交點就是符合題意的點 M

如圖12所示，當點 P 在 y 軸正半軸時，線段 AP 繞點 A 按順時針方向旋轉 45^° 并放大 倍得到 AM 所以點 M 的運動軌跡為直線 y=x-2. 聯立_（y=x-2 ， 得 所以點 M 的坐標∣_y=-3x+9 ，為

圖12

圖13

如圖13所示，當點 P 在 y 軸負半軸時，線段 AP 按逆時針方向旋轉 45^° 并放大到原來的 倍，得到點M 的運動軌跡為直線 聯立 得 所以點 M 的坐標

為

對于第（3問，還可以把點 M 作為主動點，點 P 看作從動點，即點 M 繞點 A 按順時針或逆時針旋轉 45^° 并縮小到原來 倍得到點 P. 先求得點 P 的運動軌跡，確定點 P 的坐標，再利用全等三角形得點 M 的坐標.

美籍匈牙利數學家波利亞（G.Polya）在《怎樣解題：數學思維的新方法》中指出，當問題的求解比較困難時，我們可以把問題拆解為幾個小問題，進而通過逐一解決小問題，實現大問題突破.[因此，在研究幾何問題受阻時，學生可以仔細分析題目的條件，探尋基本圖形的關聯，通過獲取基本圖形的相關結論及隱含的線索建立模型，直指數學本質，實現問題的突破

2.3發現數學模型，探索特殊解法

通過對題目進行分析可以發現第（4）問是一道典型的\"胡不歸問題”.如圖14所示，過點 A 作射線AG ，使 ∠CAG=45^° ，再過點 E 作 EH⊥AG ，則 ，所以 t=BE+EH 由圖可知，當點 ^B，E 0H 三點共線時， BH 最小，即當 BH⊥AG 時， t 取得最小值.那么接下來的目標就是如何求得線段 BH 的值，根據上述分析，得到以下解法，

圖14

解法1：如圖15所示，作 BK⊥AC. 因為 EH⊥

AG ，且 ∠CAG=45^° ，所以△AEH和△BEK都是等

腰直角三角形.因為 EK=BK=3 AE=AK-

，所以 ， 2，所以 （204號

（20所以 t 的最小值為

圖15

圖16

解法2：如圖16所示，作 MB//y 軸交 AG 于點M 因為 ∠CAM=∠AMB=45^° ， BH⊥AG ，所以ΔBHM 和 ΔAMN 均為等腰直角三角形.因為AN=MN=4 0 ON=2 ，所以點 M 的坐標為（2，-4） ，所以 BM=7 ，所以 ，所以 Ψ_t 的最小值為

解法3：由 ∠CAG=45^° OA=2 ，得直線 AG 的函數解析式為 y=-x-2. 因為 BH⊥AG ，所以直線 2，BE的函數解析式為 y=x+1. 聯立 得3X 2，所以點 H 的坐標為 根據兩 點間距離公式，得 所以 χ_t 的最小值為

波利亞在《怎樣解題：數學思維的新方法》中還指出，模型化思想是解決問題的有效路徑，在解題時，我們可以將一些常見且重要的基本模型加以歸納、總結與遷移，往往能獲得“柳暗花明又一村\"的效果，如手拉手模型、雙平模型、將軍飲馬模型等.[2模型思想是直觀想象素養培養的重要途徑.因此，在解題中有意識地構建模型，不僅能橫向拓寬思維路徑，還能縱向深化思維創新.

3試題反思

3.1培養模型意識，促成多元解法

本題的四個問題以學生最為熟悉的“面積存在性問題”為切入點，不論是作平行線、定積轉化，還是運用“K型全等三角形\"\"捆綁變換\"以及\"胡不歸問題\"等解題方法，都滲透著數學模型思想.模型思想可以有效縮短思維路徑，快速生成多元解法.在本題中具體現為：通過構造“K型全等三角形”，將點的坐標問題轉化為全等三角形問題；通過構造45角，把求線段和的最小值問題轉化為解直角三角形問題.因此，教師在教學中要善于立足基本圖形，突出基本模型；滲透模型思想，通過多元解法拓寬學生的思維路徑；培養學生的創新性思維，進而提高學生發現、分析與解決問題的能力.[3]

3.2培養直觀想象，提高核心素養

直觀想象是初中數學核心素養的重要維度.第（3）、（4）兩問的解答過程以及衍生的多元解法，都是直觀想象的重要體現：由等腰直角三角形聯想到“K型全等三角形\"的構造，由線段和的最小值問題類比“胡不歸問題\"的解題模型.研究表明，直觀想象能夠為解題確立方向，使學生感知圖形的形態與變化，并構建解決幾何問題的直觀模型，從而在層層遞進的思維過程中，實現問題的突破.[4]

4結語

在新課標背景下，幾何教學應注重培養學生的直觀想象素養.解題時，教師應引導學生把握圖形特征，運用幾何直觀與空間觀念，建立與題目關聯的基本模型.這一教學方法不僅能提高學生的解題能力，還能有效培養學生思維的靈活性，發展學生的數學核心素養.

參考文獻

[1]

[2]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2018.

[3]雷珮瑛.發展初中學生直觀想象素養的四種方法[J].中學數學研究（華南師范大學版），2024（22）：7-8.

[4]徐杰.例談初中幾何教學中模型意識的培養[J].中小學數學（初中版），2016（6）：10—11.