數學史融入數學概念教學的設計與思考

數學教育本質上是數學文化的傳承過程.數學史作為數學文化的重要載體，其融入課堂教學不僅能有效激發學生的學習動機和探究興趣，更有助于學生理解數學概念的演進過程，領悟數學思想方法的本質.基于此，筆者在近期優質課評比中，創新性地以數學史為主線，設計了“平方根\"概念課的教學案例.該課例憑借其獨特的教學設計理念和顯著的教學效果，獲得評審專家的一致認可.現將教學設計與實踐反思予以分享，供同行研討交流.

1教學內容分析

1.1從數學知識的關聯分析教材

“平方根\"是蘇科版《義務教育教科書數學八年級上冊》第2章第1節的內容.學生在前期已系統掌握有理數的概念與運算，初步接觸了勾股定理及 π 、0.010010001等無理數實例，為本節課學習平方根作好了鋪墊.從教材體系來看，八年級上冊第2章依次展開平方根、立方根與實數的教學，八年級下冊將在此基礎上介紹二次根式的相關概念與性質，九年級上冊進一步延伸至一元二次方程的理論與應用.因此，平方根的學習在數學認知發展中具有關鍵意義：既是數系從有理數到無理數的重要轉折點，又是連接代數運算與方程理論的重要橋梁

1.2從數學史的角度分析教材

本節課的教學中，教師可以從以下三個方面引入歷史背景.

（1）勾股定理的歷史背景.在勾股定理的教學中，當已知直角三角形兩邊的長度時，可以通過平方運算求出第三邊的長度.典型的整數勾股數（3，4，

5和5，12，13）以及小數形式的勾股數（0.6，0.8，1），其邊長均為有理數.作為數學史上的重大發現，古希臘數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）不僅證明了這一定理，還由此提出“萬物皆數\"的哲學思想，這一數學史值得在教學中引入.然而，當直角三角形的兩直角邊分別為5和6時，其斜邊長度無法用有理數表示，這一認知沖突揭示了有理數系的局限性，從而引出了平方根概念的學習需求.

（2）無理數發現的歷史背景.在本節課的教學中，可以引入希帕索斯（Hippasus）發現無理數的歷史故事：他為堅持真理獻出生命，最終促使無理數被納入數系.這一體現科學求真精神的典型案例，對培養學生科學嚴謹的數學學習精神尤為重要.

（3）根號符號演變的歷史背景.‘ ”表示 a 的算術平方根，也就是對 a 開平方后取非負值.然而，根號符號的演變經歷了漫長的歷史過程：早期數學家克里斯托夫·魯道夫在其著作中引入根號的早期形式\"√”，也有通過在數字上方畫橫線的方式表示平方根，直到17世紀，法國數學家笛卡爾（R.Descartes）將\"”與“—”結合，才形成現今通用的根號符號《 .在教學中引人這一符號演變史，既能增強學習的趣味性，又有助于學生掌握根號的規范書寫方法.

2教學設計與意圖說明

2.1聚焦數學史，引入概念

（1）2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標如圖1所示.該會標的設計靈感源自公元3世紀我國數學家趙爽的弦圖.[1]趙爽通過構造弦圖，并利用幾何圖形的面積關系，證明了《周髀算經》中記載的勾股定理.

的教學設計，既為實數體系的構建奠定認知基礎，又實現了情感態度與價值觀的教育目標.

2.2挖掘本質，形成概念

圖1

（2）畢達哥拉斯不僅發現并證明了勾股定理（在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”），還提出了“萬物皆數\"的哲學命題.他主張用數學原理闡釋自然現象，認為數是構成宇宙的基本元素，并強調數學研究的終極目標是揭示自然界的本質規律.

（3）畢達哥拉斯學派主張“萬物皆數”，認為世界上只存在整數和分數.然而，其弟子希帕索斯在研究邊長為1的正方形的對角線長度時，發現該長度既不是整數也不是分數，而是一個全新的數一一這實質上就是最早被發現的無理數 .這一發現動搖了畢達哥拉斯學派的數學根基，導致學派成員恐慌并試圖封鎖消息.據史料記載，希帕索斯因泄露這一發現而遭迫害致死.雖然無理數的出現引發了數學史上的第一次危機，但后世數學家在此基礎上嚴格定義了無理數，并建立了完整的無理數運算體系.

2.2.1利用互逆關系，感受開平方運算的特征出示例題，快速求解.

問題如何求得腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長呢？

例題 （1）x²=16 x= 0 x= ： （3）x²=0.49，x= ；（4）x2= 9 100x

根據勾股定理，得 x²=1²+1²=2 ，所以當 x= 1.5時， x²=2.25 ；當 x=1.4 時， x²=1.96 ，所以 x 在1.4與1.5之間.當 x=1.41 時， x²=1.9881 ；當x=1.42 時， x²=2，0164 ，所以 x 在1.41到1.42之間.當 x=1，411 時， x²=1.990921 ；當 x=1.415 時，x²=2.002225 ，所以 x 在1.411到1.415之間…

【設計意圖】通過趙爽弦圖、畢達哥拉斯學派與希帕索斯的相關數學史料，引導學生探究無理數的形成過程：一方面，通過希帕索斯為堅持真理而獻身科學的歷史案例，培養學生的科學精神；另一方面，借助腰長為1的等腰直角三角形的斜邊計算，理解無理數的客觀存在.這種融合了數學史與探究活動

答案預設：（1）因為 4²=16，（-4）²=16 ，所以

x=4 或一4；（2）因為 25，所

以 或一 ；（3）因為0.72=0.49，（-0.7）2=

0.49，所以 x=0.7 或一0.7；（4）因為 0

，所以 ，

追問通過以上四個問題的解答，你有什么發現？

答案預設：平方結果為正數且相等的兩個數，它們互為相反數.

【設計意圖】通過上述四個問題，幫助學生理解平方與開平方的互逆關系.借助平方運算可以推導平方根，進而發現正數的平方根具有互為相反數的特性.從運算本質來看，開平方運算實際上是已知冪和指數求底數的過程，這一原理構成了開平方運算的數學本質特征.

2.2.2追問促進深思，引入數學史生成概念在上述四個小題的基礎上，拋出以下兩個問題（1） x²=0 x= ； （2）x²=-10 x= 答案預設： （1）x=0 ；（2）此題無解.

追問1通過上述兩個計算，你有什么發現？若把右邊的數字用字母代替，則可表述為

答案預設：任何一個數的平方一定是非負數，即x²=a（a?0） .如果 x²=a（a?0） ，那么 x 叫作 a 的平方根.

追問2如果 x²=5 ，那么 x 等于多少？

答案預設： x 等于5的平方根，它不是整數也不是分數，而是一個無理數

當學生無法表示5的平方根這個無理數時，教師可以引入平方根符號“ √ ”的演變歷史：在歷史發展過程中數學家們所用的符號千差萬別，其中最具代表性且影響較大是\"R\"\"l\"\"”意大利數學家斐波那契（L.Fibonacci）首次使用“R\"表示方根，它是平方根拉丁文“radix\"的首字母加上一點組成.羅馬學者尼普薩斯用拉丁語\"latus\"來表示平方根，它是正方形的邊的意思，于是使用它的首字母“T”來表示方根.1525年奧地利數學家克里斯托夫·魯道夫首次引入了“√\"表示平方根，它的缺陷是當被開方數是一個多項式時符號的意義不好區分，于是1637年笛卡爾將\"”與\"—\"結合起來，就是現在我們普遍使用的“

追問3根據勾股定理，畫出“√5\"在數軸上的位置，并用科學計算器計算√5的值.

答案預設：如圖2、圖3所示.

圖2

圖3

【設計意圖】為了幫助學生理解平方根的概念及其符號表示，教師通過拋出“0和負數的平方根是否存在\"這一問題引發學生思考，借助追問1引導學生從特殊數字的平方根逐步抽象出一般性的平方根概念；再通過追問2讓學生意識到引入新運算符號的必要性，從而引出根號符號的演變歷史并規范其書寫方式；同時通過在數軸上繪制√5實現概念可視化，并配合計算器展示√5的運算結果，以增強學生對無理數的直觀感受，最終達到培養學生數形結合能力的教學目標，

2.3整理歸類探究，獲得平方根的性質

問題1請同學們分別寫出下列各數的平方根：

答案預設：4的平方根是2和一2；64的平方根是8和-8； 的平方根是 和一 ；0.81的平方根是0.9和一0.9;6的平方根是 和一6；0的平方根是 0;-11 沒有平方根，

問題2通過上述問題，你有什么發現呢？

師生活動：教師安排學生先獨立思考，然后在小組內交流討論，接著小組派代表回答問題.最后教師小結，并在黑板上板書.平方根的性質為“一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根”.開平方運算的定義是“求一個數平方根的運算，叫作開平方，開平方與平方互為逆運算”.

2.4通過例題教學，培養運用概念的能力

例1求出下列各數的平方根： ①121;②33 ：

答案預設： ①121 的平方根是11和—11； ②33 的平方根是 和一 的平方根是和一④（-13）2=169，169的平方根是13和-13;⑤（-4）³=-64，-64 沒有平方根.

例2判斷下列說法是否正確，并說明為什么：①0.25 的平方根是 0.5;② 只有正數才有平方根； ③ 0 的平方根是 是49的一個平方根.

答案預設： ① 說法錯誤，因為一個正數有兩個平方根，且互為相反數； ② 說法錯誤，因為0的平方根是0，正數與0都有平方根； ③ 說法正確，因為=25，它有兩個平方根，分別為和- 5；④說法正確，因為49有兩個平方根，分別是7和一7，-7 是其中一個.

【設計意圖】求33的平方根是為了讓學生學會用根號表示一個數的平方根，深化對無理數的認識；帶分數的平方根要求學生先把帶分數化成假分數，再進行計算；對于含平方數的被開方數，則要求學生化簡后再求解.辨析平方根說法正誤，是為了讓學生進一步體會平方根的性質，包括正數具有兩個互為相反數的平方根、0的平方根是其本身以及負數在實數范圍內沒有平方根等重要概念，

2.5通過當堂訓練，鞏固概念與概念的性質（1）0.0016的平方根是（2）下列說法正確的是（ ）.

A.-9的平方根是 ±3B. -a² 一定沒有平方根C.64的平方根是8D.8是64的一個平方根

（3）如果正數 a 的兩個平方根分別是 2m-3 和5-m ，那么 ψ_m 的值是多少？a的值是多少？

【設計意圖】通過課堂訓練，幫助學生進一步鞏固平方根的概念和性質，

3教學設計思考

3.1借助數學史，創設數學概念產生的情境在教材的設計中，由于無理數、平方根與根號的呈現較為直接，使學生對概念的理解容易出現斷層，雖然能夠掌握基本運算方法，卻未能深入理解其本質內涵.事實上，任何數學概念、公式定理都并非憑空產生，都有其發生和發展的歷程.教師可以融入趙爽、畢達哥拉斯與希帕索斯等數學家的歷史案例創設真實情境，這不僅能幫助學生直觀認識無理數的客觀存在性、理解開平方運算的必然性，還能通過展示根號書寫形式的演變歷程使學生掌握規范書寫方式，同時感悟數學家的科學探究精神.這種基于數學史的教學設計既符合初中生的認知發展規律，又能促進知識的自然生成，在建構概念過程中有效培養學生的數學核心素養和正確的數學觀

3.2借助數學史，形成知識體系的有效鏈條

在數學概念教學中，通過讓學生了解平方根這一數系發展轉折點的歷史起源與知識脈絡，不僅能完善初中階段六種運算的完整體系，還能拓展無理數的認知范疇.教師利用希帕索斯發現無理數的歷史典故和根號書寫形式的演變過程，使學生深刻認識到數學發展曾經歷的危機與突破，理解數學符號確立的漫長過程.同時，通過用數軸表示√5在數軸上的位置和計算器展示√5的近似值，有效融入了數形結合的思想，即“形是數的直觀表現，數是形的精準表達”.

3.3借助數學史，發展學生的數學核心素養

初中數學核心素養包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，即“三會”[2其中，“三會\"對初中數學教學具有重要的指導意義，因為數學概念作為數學知識的基礎，其教學過程本質上就是培養學生用數學的眼光去觀察現實世界（求直角三角形邊長與感受互逆運算）、用數學的思維去思考現實世界（數軸畫√5和用計算器計算 體現了數形結合思想）、用數學的語言去表達現實世界（在數學史探究活動中從具體數例抽象出平方根概念）的系統過程本節課正是通過這三個維度的教學設計，全方位發展學生的數學核心素養

參考文獻

[1]丁益民.《基本不等式》教學中幾個環節的思考[J].數學通訊，2011（12）：18-20.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M.北京：北京師范大學出版社，2022.