感知·辨析·理解：例談立體幾何中

關鍵詞：立體幾何；直觀想象；核心素養

直觀想象是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標\"提出的六大核心素養之一，主要表現為：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.1數學核心素養的達成是學生自己“悟\"出來的，這一過程需要教師引導與啟發，鼓勵學生獨立思考或者多與他人交流，從而逐步建立起系統的思維模式和科學的研究方法.類似地，直觀想象是學生在思考的過程中逐步形成的思考能力和思想方法.[3在新課標中，直觀想象劃分為三個水平，高中畢業要求要達到水平一，高考要求要達到水平二，拓展性要求要達到水平三.然而，教學實踐觀察表明，當前多數教師的教和學生的學僅停留在水平一，缺乏直觀想象的理念和進階路徑，不利于學生核心素養的形成與發展.

本文將直觀想象水平劃分為“感知圖形”“辨析圖形”“理解圖形”三個層次，體現了學生思維從模糊到清晰、從隱性認識到顯性理解的認知發展軌跡.基于此，如何在課堂教學中以范例為載體，使學生在“悟\"的過程中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，增強數學知識理解的體驗性，進而形成和發展學生的直觀想象，具有重要意義.下面筆者以一道“二面角的平面角\"的試題為例，闡述自己的實踐與思考.

1試題呈現

題目如圖1所示，在四棱錐S-ABCD中，AD⊥CD ， AD//BC ， CS⊥DS ，平面 ABCD⊥ 平面 CSD，E 為BS的中點， ， ，CS=2AD=2. 求二面角 E/CD-A 的大小.

圖1

2教學目標及案例分析

新課標提出，立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能.同時，鼓勵學生靈活選擇運用向量方法和綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題.[4]二面角的平面角的試題考查遵循了“多思少算”的思路，較好地考查了學生的空間想象能力，要求學生將立體幾何問題進行平面化處理.[5]

2.1教學目標

（1）根據具體的立體幾何圖形，能用數學符號語言對圖形性質進行簡單的表述，能夠正確建立空間直角坐標系，能借助平面的法向量解決二面角的平面角的三角函數值問題，初步體會數形結合思想，

（2）通過對空間幾何圖形的位置關系的思考，能夠正確表達圖形的位置關系和性質，運用空間想象，使用綜合幾何方法解決二面角的平面角的三角函數值問題，能夠對向量法和綜合幾何法進行對比分析，感悟“多思少算”思想，形成數學模型.

（3）通過對試題解題思維過程的回顧與分析，能建立數學模型之間的關聯，能夠對向量法和綜合幾何法進行共性分析，把握問題本質，構建幾何直觀

2.2教學實踐

2.2.1感知圖形，體會數形結合

在新課標中，直觀想象素養劃分為三個水平，從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思等四個方面展開，其中在水平一中有這樣的描述：“能夠通過圖形直觀認識數學問題；能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合.\"6圖形直觀即圖形的基本特征和性質，點、線、面之間的位置關系，圖形與數量之間關系等；以空間幾何體為依托，形象感知其相關的位置關系、數量關系、度量關系、事物的形態和運動變化，并通過數形之間的聯系，有效解決問題.[感知圖形是通過圖形直觀了解圖形的基本特性，掌握點、線、面之間的位置關系，實現文字語言、符號語言、圖形語言三者之間的互相轉化，初步掌握圖形與圖形、圖形與數量之間的關系.

在立體幾何問題的分析過程中，首先需要系統梳理題目條件確立的直線與直線、直線與平面以及平面與平面之間的垂直與平行關系.基于給定的幾何數據，深人分析各參數間的內在邏輯關聯，通過嚴格的數學推導闡明從數量關系到空間形態的轉化依據.在此過程中，需要特別關注并論證幾何元素可能具備的基本性質，從而深刻理解并展現數形結合思想在幾何證明中的具體應用，

活動1：建立空間直角坐標系，求解二面角 E CD-A的大小.

解法1：因為 AD⊥CD，AD//BC ，所以BC⊥CD

因為平面ABCD」平面 CSD ，平面 ABCD∩ 平面 CSD=CD . BC? 平面 ABCD，BC⊥CD ，所以

BC⊥平面 CSD 0

又因為 CS? 平面 CSD ，所以 BC⊥CS

以點 c 為原點， CD 為 軸， CB 為 z 軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系.

圖2

在 ΔBCS 中，因為 E 為BS中點， 所以

由勾股定理易知， BC=2 ，則 C（0，0，0），B（0，0，2） 業

在 RtΔCSD 中， ，由勾股定理知， ，則

在 RtΔCSD 中，過點 s 作 SG⊥CD

由 得， SG= ，則 所以

又因為 E 為 BS 的中點，所以

因為平面 CSD 上平面 ABCD ，所以 n₁=（1，0，0） 為平面 ACD 的一個法向量.

在平面 CDE 中，設 n₂=（x，y，z） 為其一個法向量

由 令 x= ，得 y=0，z=-1 ，所以

因為平面 CDE 與平面 ACD 的二面角的平面角為銳角，所以二面角 E-CD-A的大小為

反思：本題給出 \"AD⊥CD，AD//BC，CS⊥DS\" 等圖形的基本特征，學生由‘ ?AD⊥CD，AD//BC^， ’可以推出 BC⊥CD .結合在四棱錐S-ABCD中平面 ABCD⊥ 平面 CSD 的性質，容易得出 BC⊥ 平面 CSD 借助 BC⊥CS 和 ，能得出 BC= CS=2. 同理可以得出 .通過建立如圖2所示空間直角坐標系，進而解決問題

在上述過程中，通過活動1，學生將目標問題“求二面角 E -CD-A的大小\"分解為在直角梯形AB-C D，RtΔBCS . RtΔADS 以及 RtΔCSD 中進行幾何特征與數量關系的研究.在平面ABCD和平面CSD中，利用面面垂直的性質定理，得出 BC⊥ 平面CSD.該過程有利于學生將熟悉的問題進行平面化和圖形化研究，實現三種數學語言之間的互相轉化.通過此過程，學生能夠深入理解二面角的平面角的概念，強化數形結合思維能力，助力直觀想象能力進階，從而有效發展數學學科核心素養.

2.2.2辨析圖形，形成數學模型

在新課標中，直觀想象素養水平二的主要表現為“能夠通過直觀想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義.”[8辨析圖形是在感知圖形的基礎上，對幾何直觀進行更深層次的理解和識別，運用空間想象把握相關問題中不同事物之間的聯系，對其中的點、線、面之間的位置關系與變換展開空間想象，去探索數學規律，形成數學模型.9在立體幾何中，由于位置關系、圖形性質比較復雜，需要學生對空間圖形進行深入辨析與思考，厘清內部邏輯關聯，利用空間想象尋找問題解決的方法，將復雜問題圖形化，形成數學模型

活動2：用綜合幾何法求解二面角 E -CD-A的平面角大小.

解法2：利用三垂線定理，構造二面角的平面角，如圖3，在平面CSD中，過點 s 作 SG⊥CD 業

圖3

因為 SG? 平面 CSD ，平面CSD⊥平面 ABCD ，平面 CSD? 平面 ABCD=CD ，所以 SG 上平面 ABCD 連接 BG ，在 ΔBGS 中，過點 E 作 EM//SG

又因為 SG⊥ 平面ABCD，所以EM ⊥ 平面ABCD， SG⊥BG ，

在 ΔBGC 中，作 MH//BC ，易知MH為△BGC的中位線.

因為平面 CSD⊥ 平面 ABCD ，平面 CSD∩ 平面 ABCD=CD . BC? 平面ABCD， BC⊥CD .所以 BC⊥ 平面 CSD

又因為 CD? 平面 CSD ，所以 BC⊥CD 因為 MH//BC ，所以 MH⊥CD

因為 EM⊥ 平面 ABCD ， CD? 平面 ABCD 4所以 EM⊥CD

又因為 EM∩MH=M ，所以 CD 上平面EHM.

因為 HE? 平面 EHM ，所以 CD⊥HE

因為 HE⊥CD，MH⊥CD，HE? 平面 CDE ，MH? 平面 ABC ， HE∩MH=H ，所以 ∠EHM 為二面角 E-CD-A 的平面角.

在 RtΔBCS 中， E 為 BS 的中點， 所以

由勾股定理知， BC=2 ，則 MH=1 業在 ΔBGS 中，

因為 EM⊥ 平面ABCD， MH? 平面 ABCD .所以 EM⊥HM ，則 ΔEHM 是直角三角形.

在 RtΔEHM 中， ，且 ∠EHM∈（0，π） ，所以 ·

反思：學生形成直觀想象的過程可以劃分為三個階段，即形成數學直感、形成數學概念以及完善數學概念.[10]學生在運用綜合幾何方法構造二面角 E/CD-A 的平面角時，需系統分析幾何圖形的位置關系與性質特征，通過空間想象將已有認知結構中基于三垂線定理的二面角的平面角幾何直觀進行對比分析，形成即時認知反饋以建立數學直覺.隨后，學生需通過二面角的平面角的文字定義、圖形表示及符號表征等多重形式進行認知驗證，若發現構造存在偏差，則需進行迭代修正，直至獲得正確的二面角的平面角構造方案，最終完成數學模型的建立.在此建模過程中，學生逐步發展出問題發現、問題提出、問題分析與問題解決的系統性思維能力，從而促進其直觀想象能力的層級遞進，實現數學核心素養的有效提升.

活動3：利用BC」平面CSD，探索構造二面角E? -CD-A的平面角新思路.

思考：思考二面角 E -CD-S的平面角與二面角 E -CD-A的平面角的關系.

解法3：利用“余角\"思想，構造二面角的平面角.

如圖4，在 RtΔBCS 中，過 E 作 EF⊥CS ，交 CS 于點 F ，在 RtΔCSD 中，過點 F 作 FG⊥CD ，交 CD 于點 G ，連接 EG

易知 ∠EGF 為二面角 E/CD-S 的平面角，記為 θ ，則二面角 E -CD-A的平面角大小為

圖4

在 RtΔEFG 中， 易證 ΔCGF～ΔCSD ，所以 A在 RtΔCSD 中， ，所以 在 RtΔFEG 中， ，可得

故所求二面角 E -CD-A的平面角大小

為 中

反思：由于每次數學活動的情境各有不同，若在不同的情境中反復思考同一數學概念，便會加深對概念的理解.[11]在構造二面角 E/CD-A 的平面角的過程中，學生需要從多維視角進行系統性思考，通過對幾何圖形的空間結構及位置關系的深入觀察、分析與認知，在對比研究、解構剖析與歸納總結中逐步積累數學基礎知識、掌握核心思想方法、培養關鍵技能并獲得基本活動經驗.通過本問題的拓展性探究，不僅拓寬了學生的數學視野，更為其開辟了全新的認知領域.在此過程中，學生通過自主思考與合作交流實現認知的“生長”，最終建立完善的數學模型，從而顯著提升其直觀想象素養.

2.2.3理解圖形，把握問題本質

在新課標中直觀想象素養水平三的主要表現為“能夠通過想象對復雜的數學問題進行直觀表達，反映數學問題的本質，形成解決問題的思路.”[12]理解圖形是通過對立體圖形的拆解和組合，對幾何表象進行整合，分析它們兩兩之間的關聯，形成邏輯體系，揭示幾何直觀，把握數學問題本質.在立體幾何中，試題解法呈現出幾何表象的多樣性.學生能理解不同的幾何表象，卻不能對幾何表象之間邏輯關系進行整合、聯結、提煉，抓住問題本質，形成通性通法.從理解圖形視角，對不同解法呈現的幾何表象進行加工與分析，培養了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，構建理論框架的可視化表達，把握問題本質，形成數學直觀

解法1通過直接建系求解二面角的平面角，最后法向量之間夾角與二面角 E/CD-A 的平面角是相等或互補的關系確定二面角的大小.在建系求角的過程得到 SG⊥CD ，從這條線索進一步思考，突破二面角 E/CD-A 的平面角構造的障礙，從而得到解法2.在解法2探索過程中，通過二面角 E-CD-A 的平面角的直接構造，揭開了二面角的平面角的本質.在直接構造法的基礎上，提出構造二面角 E-CD-A 的平面角的其他思路，引導學生思考特殊的位置關系，觀察圖形的結構，從“余角”方向去思考，積累了思考問題的多視角經驗，

在課堂教學中對于本試題的探究，引導學生發現了3種求解二面角的平面角的方法.首先從學生既有認知出發，順應學生的思維習慣，學生容易想到建立空間直角坐標系去解決問題，這種方法思維量較少但運算量較大，但學生最容易接受.在上述解法的基礎上，借助特殊的位置關系去分析解決路徑，引導學生聯想二面角的平面角的定義和圖形結構之間的關系，激發學生深入思考，讓學生學會充分利用空間圖形的結構特征去探尋解題的突破口，培養學生空間想象力、推理論證與運算分析等能力.教師又進一步深挖例題，提出逆向求余角方法，讓學生對概念有更深入的理解，此時學生思路已經較為清晰，即圍繞\"二面角的平面角的定義”去思考.以上分析揭示出3種解法之間內在聯系，指出問題的本質即二面角的平面角的定義，指明了學生研究二面角的平面角問題的思考方向.教師通過對不同解法的幾何表象比較分析，讓學生在“真情境\"中觀察、分析、想象、歸納、提煉，運用所學知識建立已知與未知之間聯系、感悟不同解法之間內在聯系，驅動學生學會在問題中基于核心概念并利用特殊條件思考問題，借助已有的數學活動經驗研究數學問題，提升幾何直觀能力，進而理解圖形，把握問題本質，明確了直觀想象的思考方向，

3思考與總結

3.1感知圖形，實現直觀想象進階

數學的眼光就是數學抽象，直觀想象是實現數學抽象的思維基礎.[13]新課標提出：“通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質.\"[14]感知圖形是通過感官識記圖形的位置關系、圖形性質、度量關系，實現由增強知覺向幾何直觀過渡.因此，感知圖形，體會數形結合，在三維問題二維化的過程中能夠實現直觀想象進階.例如，在解法1中，坐標系的建立與各點坐標的確定，以及二面角 E -CD-A平面角與相應法向量n₁，n₂"之間夾角關系的探究過程，都是將空間問題平面化處理，降維分析立體幾何問題，體現了化歸思想，實現直觀想象的進階.

3.2辨析圖形，實現直觀想象進階

數學的語言就是數學模型，數學語言的表達除了包括文字、圖形、符號等外主要就是數學模型.[15]辨析圖形是在感知圖形的基礎上，對幾何直觀進行更深層次的理解和識別，運用空間想象把握相關問題中不同事物之間的聯系，對其中的點、線、面之間的位置關系與變換展開空間想象，去探索數學規律，形成數學模型.[16例如，解法2通過線面間的位置關系構造二面角的平面角；解法3利用“余角”思想，構造二面角的平面角.在以上解法中，需要通過建立二面角 E-CD-A 的平面角與圖形條件之間的內在關聯.圖形條件包括給出的已知條件以及由已知條件推導出的隱含條件；需深挖隱含條件，鎖定求二面角的平面角的目標，建立隱含條件與目標之間的關聯，使隱含條件與目標之間關系更加清晰、直觀.此過程訓練了學生的逆向思維、割補思想以及遷移運用的能力，有助于學生拓展解題思路，探索解決問題的新方法

3.3理解圖形，實現直觀想象進階

數學的思維就是邏輯推理.[1理解圖形是通過對立體圖形的拆解和組合，對幾何表象進行整合，分析它們兩兩之間的關聯，形成邏輯體系，揭示幾何直觀，把握數學問題的本質.在整合、分析、聯結、總結等過程中，需要對3種不同解法所呈現的幾何表象進行共性分析，探索它們之間的內在關聯，把握數學本質.在對3種解法的比較、分析、提煉的過程中，學生通過現象看到本質，使其以后在解決類似問題時，實現直觀想象的“有依可尋”

4結語

“直觀想象”中的“直觀”是較簡單的、低級的、感性的，更多體現為工具，而想象是偏復雜的、高級的、理性的，更強調直覺和悟性.在課堂教學中，教師應引導學生掌握圖形的基本性質，利用實物和數學軟件（幾何畫板、GeoGebra），幫助學生認識空間圖形的結構特征和位置關系，使其體會數形結合思想，促進直觀想象進階；借助教材習題、高考試題、數學探究活動等載體，提出關鍵問題，進行直觀想象訓練，實現直觀想象進階；通過對表象的整合、分析、聯結、總結等過程，理解圖形，把握問題本質，使學生在“悟”中形成直觀想象素養，改善其數學思維品質.

參考文獻

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