‘情境一問題一思維”視域下的函數(shù)概念教學(xué)研究

數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是認(rèn)識(shí)事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊(yùn)含著最豐富的創(chuàng)新教育素材.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、微積分等都與函數(shù)知識(shí)有著密不可分的關(guān)聯(lián).函數(shù)知識(shí)在自然科學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用，在解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，往往采用函數(shù)作為建模的基本工具.函數(shù)概念是函數(shù)學(xué)習(xí)中最重要的核心基礎(chǔ).理解函數(shù)概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生需要完成的一項(xiàng)重要學(xué)習(xí)任務(wù).函數(shù)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，其形式化、抽象化的特點(diǎn)使其成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在第四學(xué)段“學(xué)業(yè)質(zhì)量描述”中指出：“能從具體的生活與科技情境中，抽象出函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)表達(dá)形式，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉(zhuǎn)化為）數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實(shí)生活問題，給出數(shù)學(xué)描述和解釋.”2因此，“情境一問題一思維”視域下開展函數(shù)概念教學(xué)是幫助學(xué)生理解函數(shù)概念、領(lǐng)悟函數(shù)思想的有效途徑.

1內(nèi)容分析

函數(shù)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)變量數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)的核心概念，也是從常量數(shù)學(xué)邁向變量數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.初中階段是學(xué)生身心發(fā)育最為迅速的階段，也是形成基本觀念的重要階段.此時(shí)，學(xué)生的思維發(fā)展雖然開始進(jìn)入形式運(yùn)算階段，但是面對(duì)抽象的函數(shù)概念，仍會(huì)感到較大困惑.究其原因，部分學(xué)生受到常量數(shù)學(xué)思維定式的影響，不善于從運(yùn)動(dòng)、變化的角度思考問題，這既涉及數(shù)學(xué)抽象能力的提升，也涉及辯證思維能力的發(fā)展.函數(shù)概念的學(xué)習(xí)必須通過豐富的實(shí)例，以概念形成的方式讓學(xué)生建構(gòu)對(duì)變量及函數(shù)本質(zhì)的理解.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中量與量之間關(guān)系的理解，從靜態(tài)分析走向動(dòng)態(tài)思考.在此過程中，要讓學(xué)生在聯(lián)系與變化中體會(huì)兩個(gè)變量間的“對(duì)應(yīng)”，從而形成基于“變量說\"的函數(shù)概念，并透過多元表征理解其作為揭示變化規(guī)律的有效手段和研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型.最終，引導(dǎo)學(xué)生在反思與審視中實(shí)現(xiàn)從工具性理解向關(guān)系性理解和形式性理解的飛躍.

2教學(xué)過程

2.1在情境思考中辨析常量與變量

活動(dòng)1尋找生活中的變量與常量.

（1）汽車以 100km/h 的速度行駛，其行駛的路程 s 隨行駛時(shí)間 Ψ_t 變化而變化.

（2）水滴在水面激起的波紋可以看成一個(gè)不斷向外擴(kuò)展的圓，它的面積 s 隨著半徑 r 的變化而變化.

請(qǐng)指出上述現(xiàn)實(shí)情境中的變量與常量，并舉出生活中類似的例子加以說明.

活動(dòng)2辨析數(shù)學(xué)中的變量與常量.

已知 ΔABC 的底邊 BC 為 _a，BC 上的高為 h ，三角形的面積為S.在下面三種情況中，分別說出其中的常量和變量： ①s 一定； ②a 一定； ③h 一定

師： ΔABC 的底邊 BC 為 _a，BC 上的高為 h ，三角形的面積 S=10cm² ，試說出其中的常量和變量.

生1：常量是 s ，變量是 a 和 h 師：你是如何判斷的？

生1：根據(jù) ah，因?yàn)镾為定值，a和h的值不確定，當(dāng) a 的值變化時(shí)， h 的值也會(huì)變化.

師：如果 ΔABC 的底邊 BC 為 a=5cm，BC 上的高為 h ，三角形的面積為 s ，試說出其中的常量和變量.

生2：常量是 a ，變量是 h 和 s

師：你能否對(duì)這道題進(jìn)行適當(dāng)改編，使 h 為常量， a 和 s 為變量.

生3：可以改編為 ΔABC 的底邊BC為 _a，BC 上的高為 h=5cm ，三角形的面積為 S

師：通過以上分析，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：變量與常量是相對(duì)而言的，此問題中的常量可能是另一個(gè)問題中的變量.

生5：?jiǎn)栴}中的兩個(gè)變量之間存在一定的聯(lián)系，當(dāng)一個(gè)變量的值變化時(shí)，另一個(gè)變量的值也隨之變化；當(dāng)一個(gè)變量的值確定時(shí)，另一個(gè)變量的值也隨之確定.

教學(xué)分析：以學(xué)生熟悉的生活情境引人思考，讓學(xué)生直觀感知事物變化中的變量與常量，并通過讓學(xué)生舉出類似例子的活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)概念的理解從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)思考；結(jié)合活動(dòng)2的辨析，讓學(xué)生理解變量與常量的相對(duì)性，發(fā)展辯證思維

2.2在動(dòng)態(tài)探索中生成函數(shù)概念

活動(dòng)3用一根長(zhǎng)為 2m 的鐵絲圍成一個(gè)矩形，當(dāng)其中一邊的長(zhǎng) x 確定時(shí)，求相鄰的另一邊的長(zhǎng) 將計(jì)算結(jié)果填入下表.

思考上述變化過程中有幾個(gè)變量.當(dāng) x 的值變化時(shí)， y 的值是否變化？當(dāng) x 的值確定時(shí)， y 的值是否確定？

活動(dòng)4觀察下圖，當(dāng)小魚的條數(shù) s 變化時(shí)，所需火柴棒的根數(shù) n 是否變化？當(dāng)小魚的條數(shù) s 確定時(shí)，所需火柴棒的根數(shù) n 是否確定？

活動(dòng)5上述變化過程中，變量間有怎樣的關(guān)系？你能舉出類似的例子嗎？

師：用一根長(zhǎng)為 2m 的鐵絲圍成一個(gè)矩形，那么在這個(gè)矩形的相鄰兩條邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)中，常量和變量分別是什么？

生6：矩形的周長(zhǎng)是常量，矩形的相鄰兩條邊長(zhǎng)是變量.

師：在事物變化過程中變量之間往往存在著一定的關(guān)聯(lián).本題中矩形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度有怎樣的聯(lián)系？

生7：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形一邊的長(zhǎng) x 值確定時(shí)，相鄰另一邊的長(zhǎng) 值也就確定了.

生8：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形一邊的長(zhǎng) x 值變化時(shí)，相鄰另一邊的長(zhǎng) y 值也會(huì)變化.

生9：如果矩形一邊的長(zhǎng) x 值增大時(shí)，相鄰另一邊的長(zhǎng) y 值會(huì)減小；反之亦然.

師：你能解釋其中的原因嗎？

生9：因?yàn)?x+y=1 ，所以當(dāng) x 的值變化時(shí)， y 的值一定會(huì)隨之變化.

師：很好！我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形一邊的長(zhǎng) x 變化時(shí)，相鄰另一邊的長(zhǎng) y 就隨之變化；當(dāng)矩形一邊的長(zhǎng) x 確定時(shí)，相鄰另一邊的長(zhǎng) 就有唯一的值與之對(duì)應(yīng)這種“一一對(duì)應(yīng)\"的變化關(guān)系，我們稱為函數(shù)關(guān)系.

教學(xué)分析：活動(dòng)3是基于學(xué)生易于理解的問題情境，從運(yùn)動(dòng)變化角度分析變量間的關(guān)系，從具體數(shù)值計(jì)算到一般性關(guān)系分析，在直觀中體會(huì)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在歸納中生成對(duì)函數(shù)的抽象認(rèn)知.再結(jié)合活動(dòng)4的數(shù)形結(jié)合，從不同維度理解“對(duì)于 x 的每一個(gè)值， y 都有唯一值與它對(duì)應(yīng)\"的含義，并通過讓學(xué)生舉例說明的過程，在辨析和運(yùn)用中深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解與掌握.

2.3從數(shù)學(xué)文化解讀中探知函數(shù)內(nèi)涵

函數(shù)概念發(fā)展的歷程：1673年德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz）最早提出“函數(shù)\"（Function）一詞，用來表示任意一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量.1718年瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（J.Bernoulli）把函數(shù)定義為“凡是由變量 x 和常量構(gòu)成的式子都叫作 x 的函數(shù)”，并首次使用“變量”一詞.1755年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）首次給出了函數(shù)的變量定義“如果某變量以如下方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些變量是后一些變量的函數(shù)”.在此之后的百余年里，經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家的努力，又分別形成了更為嚴(yán)格的“對(duì)應(yīng)說”和“關(guān)系說\"等現(xiàn)代函數(shù)定義.[3]

函數(shù)概念的內(nèi)涵解讀：我國近代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書時(shí)，把“Function\"譯作“函數(shù)”，并沿用至今，書中提到“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.這里“函”是包含的意思（函的古義即信封），故函數(shù)意指 由 x 決定

函數(shù)概念的教學(xué)分析：數(shù)學(xué)是一種獨(dú)特的文化存在，數(shù)學(xué)文化不但包含數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、語言及其形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值，通過對(duì)相關(guān)函數(shù)文化的解讀，讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展脈絡(luò)和文本內(nèi)涵，深入理解其核心意蘊(yùn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化育人價(jià)值.

2.4在反思評(píng)價(jià)中完成知識(shí)建構(gòu)

活動(dòng)6下圖是某地一天的氣溫變化情況，請(qǐng)問這一天的溫度 T（^°C） 與時(shí)間 t（h） 是函數(shù)關(guān)系嗎？

變式思考下列曲線不能表示 是 x 的函數(shù)的是.

活動(dòng)7根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)可以用哪些不同的形式表示變量間的函數(shù)關(guān)系？你能否舉出一些具有函數(shù)關(guān)系的實(shí)際例子？

活動(dòng)8結(jié)合學(xué)習(xí)過程，自主完成“函數(shù)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表”

教學(xué)分析：學(xué)習(xí)的目的不僅是掌握學(xué)科知識(shí)和方法，更是學(xué)習(xí)解決問題的策略，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目標(biāo).因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生主動(dòng)的思維參與和積極的學(xué)習(xí)反思，通過對(duì)函數(shù)概念教學(xué)中“是何、為何、如何”的審視與思辨，在自評(píng)、互評(píng)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)、素養(yǎng)提升和元認(rèn)知能力發(fā)展

3教學(xué)思考

3.1創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

函數(shù)是中學(xué)階段非常重要的抽象概念，具有內(nèi)容概括性、符號(hào)抽象性、形式多樣性等特點(diǎn)，使得學(xué)生理解存在較大困難.因此，在函數(shù)概念教學(xué)中，教師要提供豐富的具體情境，讓學(xué)生在問題思考中經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、形式化的過程，實(shí)現(xiàn)從具象理解到抽象提升的跨越.為此，問題情境設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)真實(shí)性、簡(jiǎn)潔性和數(shù)學(xué)性的特點(diǎn).情境的真實(shí)性是指情境應(yīng)源于生活實(shí)際和科學(xué)現(xiàn)象，表現(xiàn)為生活情境、科學(xué)情境和數(shù)學(xué)情境等；情境的簡(jiǎn)潔性是基于課堂教學(xué)需要，內(nèi)容呈現(xiàn)要簡(jiǎn)單明了，排除冗余干擾信息，讓學(xué)生在信息解讀中理解問題核心；情境的數(shù)學(xué)性是指情境的設(shè)計(jì)在于引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在信息處理中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，以開展基于數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)的探索活動(dòng).

3.2關(guān)注核心內(nèi)涵，開展深度學(xué)習(xí)

在函數(shù)概念教學(xué)中，教師需要關(guān)注以下幾個(gè)方面：首先，要讓學(xué)生明確為什么學(xué)習(xí)函數(shù).教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生思考生活實(shí)例，讓學(xué)生了解客觀世界中量與量之間聯(lián)系的多樣性.當(dāng)面對(duì)多樣、復(fù)雜的量與量的關(guān)系時(shí)，應(yīng)如何處理呢？人們往往從最簡(jiǎn)單的兩個(gè)量之間特殊關(guān)系開始研究，以退為進(jìn)、從特殊到一般，這也是人們解決復(fù)雜問題時(shí)的一般策略.其次，要讓學(xué)生知道如何學(xué)習(xí)函數(shù).函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、聯(lián)系的.因此，函數(shù)概念的教學(xué)要注重從運(yùn)動(dòng)變化的視角觀察問題、分析問題，在“動(dòng)\"與“靜\"的辯證統(tǒng)一中形成基于“變量說\"的函數(shù)概念解讀.最后，要遵循概念教學(xué)基本環(huán)節(jié)，即概念引入、概念形成、概念明確、概念表示、概念應(yīng)用.此外，教師還要關(guān)注兩個(gè)方面：一是注重提供充分正例，如代數(shù)、幾何等不同方面的情境，結(jié)合解析式、列表法、圖象法等多元表達(dá)方式，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)核心內(nèi)涵的理解.二是需要提供必要的反例，讓學(xué)生在正反例的辨析中，剔除概念非本質(zhì)特征的干擾，明確概念的外延，建構(gòu)完整認(rèn)知體系，

3.3注重思想滲透，統(tǒng)領(lǐng)整體教學(xué)

函數(shù)思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)的主線，貫穿代數(shù)式、方程和不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，具有統(tǒng)帥作用.教學(xué)中要注重體現(xiàn)函數(shù)思想的統(tǒng)領(lǐng)作用.其中，變化與對(duì)應(yīng)是函數(shù)思想的核心內(nèi)容，而變量思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ)，因此從用字母表示數(shù)到代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容，以及幾何圖形的學(xué)習(xí)，都要不斷滲透變量思想，在“變”與“不變\"的辯證思考中培養(yǎng)變量意識(shí).例如，用變量思維審視幾何圖形的變化，在形與數(shù)、特殊與一般的關(guān)聯(lián)思辨中，深化對(duì)幾何圖形性質(zhì)與判定方法的理解.此外，應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.函數(shù)概念的理解既需要基于“數(shù)”的思考，也需要關(guān)于“形\"的思考，在“形”與“數(shù)”的互動(dòng)中，形動(dòng)則數(shù)變、數(shù)形關(guān)聯(lián)，才能深度理解函數(shù)概念的內(nèi)涵.不論是一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，還是二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，只有通過“由數(shù)構(gòu)形”“由形聯(lián)數(shù)”的關(guān)聯(lián)分析，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)知識(shí)的整體建構(gòu)和高通路遷移.

3.4指向素養(yǎng)提升，實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的不僅在于使學(xué)生掌握書本知識(shí)，更在于體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，學(xué)會(huì)運(yùn)用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力.4因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要以學(xué)生思維發(fā)展為指向，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境思考中參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)，通過抽象、推理和模型等一系列的數(shù)學(xué)化過程，在概念發(fā)生、發(fā)展過程中借助直觀與抽象、變式與對(duì)比等揭示概念的本質(zhì)屬性.結(jié)合思維定向、內(nèi)化與外顯等活動(dòng)環(huán)節(jié)的開展，在積極的評(píng)價(jià)與反思中，完成對(duì)概念的多元表征和深度凝練，并積極引領(lǐng)學(xué)生從具體方法和策略的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向一般性思維策略的提升，在\"學(xué)什么、為何學(xué)、如何學(xué)、學(xué)到什么程度\"的理性思辨中讓學(xué)習(xí)發(fā)生、讓思維可見，逐步養(yǎng)成理性的思維習(xí)慣.[5]

參考文獻(xiàn)

[1][4]章建躍，陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程—“平面向量的概念”的教學(xué)與反思[J.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（1）：25一29+33.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]史寧中，濮安山.中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的函數(shù)及其思想—數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問題系列訪談錄之三J」課程·教材·教法，2007（4）：36-40.

[5]胡連成.初中數(shù)學(xué)“情境—問題—思維”教學(xué)模式建構(gòu)[J].教學(xué)與管理，2024（1）：41-45.