大概念統攝與思維進階的融合路徑

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實.\"這表明，基于大概念的學科教學聚焦具體知識背后所蘊含的本質特征、核心思想方法和關鍵素養等.這種范式不僅實現了對章節知識的系統整合與結構化重組，更是對事物本質特征及其內在聯系的高度概括.[2本文以蘇教版《普通高中教科書數學必修第一冊》“函數的概念和圖象”為例，探討在大概念統攝下促進學生思維進階的教學實踐.

1內容分析

1.1單元內容分析

函數是高中數學學習的基礎，貫穿數學學習的始終.它不僅為方程、不等式、數列、導數等內容的學習提供重要工具和理論基礎，同時在物理、化學、生物等其他領域也有廣泛的應用價值，

從高中數學課程體系的視角出發，基于函數大單元的結構化分析可知，該單元包含函數的定義與表示、函數的性質、基本初等函數、函數的運算與變換、函數與方程和不等式等核心內容.函數大單元蘊含的“大概念”主要有以下幾個方面：函數是描述現實世界中動態變化的數學模型，體現了變量間的動態關系；函數解析式與圖象的雙向轉化，體現了數形結合思想；函數對實際問題的抽象過程體現了模型思想，為物理和經濟學等學科的函數建模打下基礎；根據函數類型選擇不同的分析方法，體現了分類與化歸的思想.

1.2課時內容分析

德國數學家克萊因（F.Klein）曾經說過：“函數的概念應該成為數學思維的心臟和靈魂，滲透到數學課程的每一個部分.”在函數概念教學中，函數思想是非常重要的數學思想.在實際教學中，筆者給出了解析式、表格、圖象三種表示形式，體現了數形結合思想，同時梳理函數與不等式、方程之間的相互轉化關系，也體現了等價轉化的思想.

“函數的概念和圖象”是蘇教版《普通高中教科書數學必修第一冊》第5章第1節的核心內容.作為初中函數概念的延伸與深化，本節是在用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上用集合的語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用，進而讓學生完成由“變量說”到“集合一對應說”的概念提升[3，從而使學生經歷完整的函數概念學習過程.本節內容也為后面繼續學習函數性質、指數函數、對數函數打下基礎，起著承上啟下的作用.

1.3課時教學目標及重難點分析

“函數的概念和圖象\"的課時教學目標如下.

（1）經歷從實際問題中抽象出函數概念的過程，學會用集合的語言和對應關系刻畫函數.

（2）了解構成函數的要素，理解函數的定義，（3）體會數學抽象的過程，提升數學抽象的核心素養.（4）回顧函數概念的發展史，提升文化素養，“函數的概念和圖象\"的教學重難點如下.（1）教學重點：函數的概念.（2）教學難點：對抽象符號“ y=f（x） ”的理解.

2學情分析

學生在初中階段已經初步學習了函數概念，掌握了判斷兩個變量間是否存在函數關系的基本方法，并具備了一定的數學抽象能力和語言概括能力.然而，從初中基于“變量說”的函數定義過渡到高中基于“集合一對應說”的嚴格定義，這一概念升級過程具有較高的抽象性，學生在理解上往往存在較大困難.

3教學過程設計

3.1生活情境，引入新課

師：“十一\"假期期間，岱湖公園組織了一場音樂噴泉秀，我用手機拍下了一段視頻，讓我們共同欣賞一下.（播放視頻）

師：翩翩起舞的音樂噴泉不僅讓我們感受到科技之美，更讓我們從心底里發出“生活多么美好”的贊嘆.如果我們用數學的眼光觀察它，會發現很多數學問題.例如，噴泉的出水量隨著時間變化呈現規律性波動，這實際上反映了一種典型的函數關系.現實生活中類似的函數關系比比皆是，你們能舉出一些例子嗎？

生1：投籃時，籃球與地面的距離隨時間變化，這是時間的函數.

生2：購買鋼筆的總花費取決于購買的數量，這是數量的函數.

師：同學們列舉的例子都很準確且貼合實際.今天我們將進一步深入研究函數，共同探討函數概念的本質內涵.

【設計意圖】通過組織學生觀看“音樂噴泉”的視頻，引導他們觀察水量隨時間變化的規律，并鼓勵其列舉生活中的類似實例.這一設計旨在幫助學生直觀感知現實生活中普遍存在的函數關系 一一個量隨另一個量變化的對應關系，從而自然引出新課內容，

3.2實際情境，初步探究

提問1 初中我們學過哪些函數？

全體學生：一次函數、二次函數、反比例函數.

提問2函數的定義是什么？初中時我們知道，在一個變化過程中有兩個變量 x 和 y ，如果對于變量x 的每一個值，變量 都有唯一確定的值和它對應，那么 就是 x 的函數，其中 x 是自變量， 是因變量.

【設計意圖通過初中所講的函數定義，強調任意的 x 和唯一的 對應，為后面判斷實際情境中是否為函數模型作鋪墊.

師：我們繼續看下面幾個小例子，

例1假如你和幾個同學周日決定一起騎自行車去南京老山郊游，速度勻速保持在15千米/時，從學校出發大約1小時能到達.請問你們騎行的路程 y （千米）是時間 Ψ_t （時）的函數嗎？你能說出 和 Ψ_tΨ_t 的關系式嗎？

生3：是，因為每一個 Ψ_t 都有唯一的 y 和它對應

生 4：y=15t

師：假如 Ψ_t 組成集合 A₁，y 組成集合 B₁ ，你能說出 Ψ_t 和 y 的取值范圍嗎？

生 5：A₁={t|0?t?1}，B₁={y|0?y?15}.

師：從集合 A₁ 到集合 B₁ 存在著一個對應關系，這個對應關系是什么呢？

全體學生： y=15t

師：集合是作為一門語言存在的，可以用集合的語言表述這種函數關系，即集合 A₁ 中的每一個數按照 _y=15t ”的對應關系，在集合 B₁ 中都有唯一確定的數和它對應.

例2下表是2020年3月某市連續10天的新增病毒感染人數，問新增病毒感染人數 是天數 n 的函數嗎？

生6：是，每一個 n 都有唯一的 y 和它對應

師：仿照例 ^1，n 組成集合 A₂，y 組成集合 B₂ ，你能說出 n 和 y 的取值范圍嗎？

生 7_：A₂={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B₂= 010，6，4，3，1，0}

師：從集合 A₂ 到集合 B₂ 存在著某種對應關系，只不過這種對應關系是用表格的形式表示的，下面咱們共同用集合的語言表述這種函數關系.

全體學生：集合 A₂ 中的每一個數按照某種對應關系，在集合 B₂ 中都有唯一確定的數和它對應

例3下圖為淮北市某一天的溫度 T 隨著時間Ψ_tΨ_t 變化的圖象，問溫度 T 是時間 Ψ_tΨ_Ψ 的函數嗎？

生8：是，每一個 Ψ_t 都有唯一的 T 和它對應

師：仿照例1、例 ^2，t 組成集合 A₃ . T 組成集合B₃ ，說出 Ψ_t 和 T 的取值范圍.

生9：它們的取值范圍分別是 A₃={t∣0?t? 24}，B₃={T|12

師：從集合 A₃ 到集合 B₃ 也存在著對應關系，這種對應關系以圖象的形式表示.仿照例1和例2，你能用集合的語言表述嗎？

生10：集合 A₃ 中的每一個數按照某種對應關系，在集合 B₃ 中都有唯一確定的數和它對應

【設計意圖】通過實際案例的教學設計，教師不僅需要強調函數定義的核心特征一對于自變量的每一個取值，因變量都有唯一的對應值，更重要的是引導學生運用集合語言準確表述函數關系，為后續概括函數概念打下基礎，

3.3數學抽象，深入探究

師：通過對前面三個實例的分析，同學們已經完成了從實際問題到數學問題的抽象過程，即首先識別出兩個相關集合 A 和集合 B ，繼而運用集合語言準確描述它們之間的函數關系.現在，請同學們基于初中所學的函數概念，嘗試運用集合語言，從這些具體案例中概括出更為一般的函數定義.

生11：集合 A 中的每一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應

師：集合 A 和集合 B 是什么集合？

全體學生：非空數集.

師：所以我們還要再加上兩個非空數集，從集合A 中的每一個數 x 怎樣對應到集合 B 呢？

生12：通過某種對應關系.

師：這種對應關系是什么呢？

生13：這種對應關系就是函數，師：很好，我們再找一個同學把概念總結一下.

生14：兩個非空數集 A 和 B ，如果存在一個對應關系，使對于集合 A 中的每一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 和它對應，我們就把這種對應關

系稱為函數.

師：這位同學總結的不錯.現在讓我們參照教材上的規范定義來進一步完善.給定實數集R中的兩個非空數集 A 和 B ，如果存在一個對應關系 f ，使對于集合 A 中的每一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 和它對應，我們就把對應關系 f 稱為從集合 A 到集合 B 的一個函數

師：請同學們閱讀函數概念，完成以下練習題練習1請指出函數概念中的關鍵詞.

練習2根據函數概念，下列集合 A 與集合 B 的對應中是函數關系的是

生15：關鍵詞是非空數集、每一個數、唯一確定、對應關系.

生16：是函數關系的是 ①②③ ，第 ④ 個不符合集合 B 中有唯一確定的數和它對應，第 ⑤ 個不符合集合 A 中的每一個數，第 ⑥ 個不符合非空數集間的對應.

師：函數概念中有一個詞“對應關系”，大家能結合練習題和前面三個實例談談你對“對應關系”的理解嗎？

生17：練習2中的第 ① 個對應關系是取倒數，第② 個對應關系是取平方.

師：如果集合 A 中的元素記作 x ，集合 B 中的元素記作 ，那么第 ① 個的對應關系是 ，也可以寫成 第 ② 個的對應關系是什么呢？

生 18：f（x）=x²

生19：例1中的對應關系是解析式 f（t）=15t .例2中的對應關系是表格的形式，例3中的對應關系是圖象的形式.

師：我們把函數記作 f=f（x），x∈A ，集合 A 稱為函數的定義域， x 稱為自變量.與 x 值對應的 y 值稱為函數值，集合 {f（x）|x∈A} 稱為函數的值域.我們再來看看前面三個實例中定義域和值域分別是什么.

全體學生：例1中定義域是集合 A₁ ，值域是集合B₁ ；例2中定義域是集合 A₂ ，值域是集合 B₂ ；例3中定義域是集合 A₃ ，值域是集合 B₃

生20：例3中的值域不是集合 B₃ 生21：例3中的值域是集合 B₃ 的子集

師：是的，同學們要注意與 x 對應的 y 構成的集合才是值域.對有具體解析式的函數定義域，又該怎樣求呢？

3.4習題創設，辨析概念

練習求下列函數的定義域.

師：這四個函數有具體的解析式，求它們的定義域其實就是求什么呢？

全體學生：求使函數有意義的 x 的取值范圍構成的集合.

師：在解決實際問題時，函數的定義域必須符合實際情境的約束條件.請同學們系統回顧函數概念的核心內容，思考并回答“構成函數概念的三個基本要素是什么”.

全體學生：定義域、對應關系、值域師：這三個要素間的關系是怎樣的呢？

生22：定義域和對應關系決定著值域

師：如果兩個函數定義域和對應關系一樣，那么值域一定一樣，所以我們看兩個函數是不是同一函數，只需要看什么呢？

全體學生：只需看定義域和對應關系.

師：請同學們判斷下列各組中的兩個函數是否為同一函數.

（3）f（x）=x²，g（x）=（x+1）².

【設計意圖】通過前面三個實例的鋪墊，讓學生用集合的語言概括函數的定義順理成章；再結合幾個練習和前面的實例，引導學生對關鍵詞進行解釋，幫助學生理解定義，加深學生對函數概念的本質和三要素的理解.

3.5歸納整理，小結提升

師：同學們今天學習了什么？

生23：今天學了函數的概念，即實數集 中的兩個非空數集 A 和 B ，如果存在一個對應關系 f 使對于集合A中的每一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數 和它對應，我們就把對應關系 f 稱為從集合 A 到集合 B 的一個函數

師：函數概念中三要素是什么？

生24：定義域、對應關系、值域

師：請同學們回憶一下為了得到這個概念，我們經歷了怎樣的探究過程

生25：剛開始復習了初中函數的概念，接著列舉了三個實例，啟發我們用集合的語言表述函數關系，然后由特殊到一般概括了函數的概念，最后通過一些習題對函數的概念加以分析.

師：這位同學很清晰地梳理了咱們今天的探究過程，通過這一系列的學習，大家有什么感悟和收獲？

生26：從這節課我知道了如果處處留心、善于思考，會發現我們所生活的世界其實暗含著很多數學問題，其中從特殊到一般是一個很重要的分析問題的方法.

【設計意圖】課堂小結應當實現“知識要點梳理、思想方法提煉、知識生成過程回顧”的三維目標，并通過系統的反思指導和策略培養，最終促進學生形成自主總結、深度學習的能力

3.6回本溯源，深化認識

師：同學們，初中函數概念強調的是在變化過程中兩個變量的變化關系，而高中函數概念強調的是兩個數集的對應關系，但是本質上是一樣的.其實函數概念發展到今天我們學到的概念，歷經幾百年，請同學們觀看微課“函數概念的起源”

【設計意圖】讓學生領會由初中的“變量說\"到高中的“集合一對應說\"的變化，同時帶領學生觀看微課\"函數概念的起源”，豐富學生的文化知識，提升其文化素養.

3.7作業布置，延伸課外

書面作業：課本第106頁練習.

研究性作業：請同學們課后上網搜索“函數概念的發展”相關內容，體會函數概念的發展過程

4教學反思

函數主線是初中數學“數與代數”部分的延續，是貫穿高中數學的四大主線之一，蘊含于高中數學教材的預備知識、必修部分、選擇性必修部分的章節之中.函數概念是函數主線中的核心概念，體現數學學科的本質特征，是與函數相關的課程內容的聚焦點.函數概念的教學是函數教學的重中之重，對提高學生的學科素養、培養學生的數學能力、促進學生思維進階至關重要.

4.1基于生活中的實際情境，帶領學生用數學的眼光觀察世界

在課堂最開始的情境引入時，筆者使用了手機拍攝的音樂噴泉視頻，后續的三個實例也貼近生活.這樣設計的目的是讓學生意識到生活中蘊含著許多數學問題，引導他們用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界.

4.2借助問題串的形式，教會學生用集合的語言描述概念

從初中函數概念的“變量說”過渡到高中函數概念的“集合一對應說”，學生需要突破的關鍵點在于學會用集合的語言進行表述.為此，筆者設計了三個實例，每個實例都圍繞以下問題展開： ①y 是 x 的函數嗎？ ② 為什么 y 是 x 的函數？ ③x 組成集合 A，y 所在集合為 B，x，y 取值范圍分別是什么？ ④ 從集合 A 到集合 B 存在著某種對應關系，你能借助集合的語言表述嗎？在第 ④ 個問題的處理上，例1由教師講解，學生傾聽；例2由師生共同討論；例3則由學生獨立表述.通過這一過程，學生逐漸學會了用集合的語言表述這三個具體的函數關系，也為后續由具體到一般得到函數概念打下堅實的基礎.

4.3通過不同練習、多種學生活動，突出重點，突破難點

為了讓學生能夠自主運用集合語言概括函數概念，在三個實例講解后，筆者大膽放手，讓學生通過自主討論歸納出函數概念.雖然學生的表述不夠簡潔、嚴謹，但他們通過將自己的定義與教材定義進行對比，能夠獲得更深刻的理解.

在幫助學生理解函數概念的過程中，筆者采用了多元化的教學方法：引導學生找出概念中的關鍵詞、Venn圖的練習、重新審視實例，并輔以求解定義域和判斷兩個函數是否相同等練習.在教學活動設計上，綜合運用了獨立思考、小組討論、個別提問、集體回答以及學生板演等多種方式，有效提升了學生的課堂參與度.

在處理函數三要素的教學環節中，一位學生提出了“加工機”的生動比喻，這個富有創意的例子超出了筆者的預期.這個比喻不僅形象地詮釋了三要素之間的關系，更表明該學生真正理解了函數概念的本質.

4.4通過小微課，回顧函數概念發展史

在數學教學中，滲透數學史是百利而無一弊的.在本節課的總結環節，筆者設計了一個一分鐘的微課，向學生簡要介紹了函數概念的起源與發展.這一教學設計具有雙重意義：一方面，拓展了學生的眼界，提升了學生的文化素養；另一方面，激發了學生在課后通過互聯網、書籍等手段進一步學習函數發展史的興趣

參考文獻

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