數學基礎知識教學動機溯源的幾點思考

我國著名數學教育家張奠宙教授指出，歷史經驗告訴我們，什么時候加強“雙基”，教學質量就提高；什么時候削弱\"雙基”，教學質量就下降.[經過長期研究和探索發現，數學基礎知識（含基本思想方法）教學的“本源價值\"（教學的根本出發點）將直接影響數學教學效率和學生的數學學習興趣.作為教育工作者，需要認真思考數學基礎知識與其所蘊含的基本思想方法之間的本質聯系.本文以數列教學為例，談談如何圍繞數列知識間的聯系進行數學基礎知識教學設計.

1要用創新意識重構概念教學

基礎和創新是數學教學辯證統一的兩個維度.2現代數學教育越來越重視創新意識的培養，但往往忽視了那些看似基礎卻蘊含創新要素的基本概念教學.教師應當充分認識到，數學概念的形成本質上是對實際問題的解決需求.因此，在教學過程中，需要引導學生通過真實情境來體會數學創新的本源動力.

案例1：“數列”概念的教學設計.

在人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》“數列\"中，原教學設計通過“ ① 王芳從1歲到17歲生日時的身高排列； ② 兩河流域發掘的一塊泥版所記錄的一列數；③－ 的 n 次冪依序排列所組成的一列數\"這三個例子作為情境引出“數列”概念，即按照確定的順序排列的一列數稱為數列.這樣的教學設計雖然直觀，但可能對本章開頭語“對數列的研究源于現實生產、生活的需要”這一教學初衷體現不足.為此，筆者進行了如下改進設計.

師：同學們，我們前面學習了很多數學知識，也明白用數學的眼光看世界會有意想不到的收獲，甚至帶來新的發現或創新.我曾經看過這樣一個例子“一位醫生和護士吵架，原因是護士把病人一周內每天的體溫數據雜亂地記錄在一張白紙上”，大家知道他們吵架的原因嗎？

生1（預設）：因為護士沒有將病人的體溫數據按照時間順序排列，醫生無法觀察病人的體溫變化規律，從而難以判斷病情發展，

師：這種情況在生活中常見嗎？

生2（預設）：很常見，如數學考試成績按時間順序排列，可以分析學習情況，調整學習計劃，

生3（預設）：中國與美國的GDP也需按年份順序排列，才能分析發展趨勢.

師：很好！既然大家都認同在很多情況下，我們需要將數按一定順序排列，以發現其中的規律，那么今天我們就深入探討這個問題.

教學反思：“數列”作為基本概念，屬于“大概念”，是后續“等差數列\"“等比數列\"等核心概念的基礎.然而，在實際教學中，這類基本概念常常被忽視，使其重要性未能充分體現.事實上，這些“原創性\"概念的引入，不僅能為后續學習奠定基礎，更能培養學生的創新思維.因此，教師應重視基本概念的教學，發揮其核心作用，助力學生數學素養的提升，

2要從實效角度優化命題學習

數學命題的學習是數學基礎知識學習的重要組成部分.除了為訓練學生數學思維而需要特別關注的假命題之外，在真命題中，需要依據數學標準篩選核心命題進行教學，以促進學生思維靈活性的發展，進而提升數學問題解決能力.具體而言，在真命題中，除了概念、定義這些“真命題”之外，教師還需要根據教學需求，選擇部分“數學基本事實”（公理）以及由公理衍生出的“基礎性真命題\"（定理、公式等），作為數學推理的工具箱.在“數列\"教學中，等差數列、等比數列的“通項公式”和“求和公式”是解決數列相關問題的“利器”，然而若缺乏對問題情境的辨識和分析，可能導致解題效率降低，甚至產生錯誤結論.

案例2：數列前 n 項和公式的應用

（1）等差數列 -10，-6，-2，2，…， 前多少項和分別是： ①-58;②249;③54？ （2）一個等比數列的前三項和為 ，首項為 求這個數列的通項公式.

在數列求和的教學過程中，教師往往利用等差數列通項公式 a_n=a₁+（n-1）d 推理得出求和結果 ，并將其作為“求和公式\"要求學生掌握.然而，教師往往忽略了對學生進行“本意教育”，即讓學生理解“為什么要學習這些公式”“這些公式的作用是什么”“這些公式適用于哪些情況”.例如，在案例2（1）中，對于 ①② ，學生只需注意到數列的前 n 項和公式“有下界”及數列各項“奇偶性”，即可判斷其無解，而不是機械地套用求和公式；只有 ③ 需要利用等差數列的求和公式進行判斷.在案例2（2）的解決過程中，如果直接套用等比數列的求和公式則需要討論公比 q 是否為1的情況，但如果直接列出 ，就可以避免因盲目套用公式而弄巧成拙.筆者曾在等差數列求和公式推導完成后，讓學生完成一些求和練習，結果有學生對 ?1+2+3+4^?， 這類簡單求和問題也套用求和公式計算，忽略了“求和公式\"的本質是提高計算效率，適用于項數較多的數列求和問題

案例3：一次數列求和公式教學的意外收獲

在一次數列求和的小結課上，筆者布置了題目“求數列 {3n+1} 的前 n 項和 S_n ”，沒想到一位學生直接寫出答案 這位學生解釋道：“我

發現了等差數列的求和公式是項數 n 的二次函數且常數項為0，它的二次項系數是公差的一半，而通項公式則是項數 n 的一次函數，它的一次項系數就是公差且 S₁=a₁ .\"其實，這位學生將等差數列的通項公式及前 n 項和從函數的視角改寫成 a_n=nd+ 將等差數列的 S_n 與 a_n 分別視為二次函數和一次函數，這一視角令人耳目一新.類似地，等比數列的前 n 項和 S_n 及通項公式 a_n 也有類似的\"真命題”：首項為 a₁ ，公比為 q 的等比數列前 n 項和 .學生知道這個“真命題\"之后，就可以快速解決“等比數列 {a_n} 的前 n 項和 S_n= 3ⁿ+a ，求實數 a 的值”\"數列 {a_n} 的前 n 項和為 S_n 且滿足 S_n=5a_n-4 ，求數列的通項公式”等問題

教學反思：高中數學教材中的每個章節都蘊含著很多可以幫助學生解題的真命題，但通常不會以“公式”“定理”等形式明確標注，而是將其分散在知識體系中.這種設計的目的是讓學生通過自主探索發現規律，培養其觀察與總結的能力.在教學過程中，教師首先應保持耐心，避免過度干預學生的探究過程；其次，需要制定科學的教學策略，優化教學素材的使用效能

3要以反省視角深化方法掌握

數學基礎知識離不開數學思想方法，在“四基”提出之前，“雙基\"中的“基礎知識\"已包含“基本思想方法”[3]教師在進行概念、命題教學時，不僅要把握知識本質，還需深入理解教材蘊含的數學思想方法，切實培養學生的數學應用及創新能力.多數教師在等差數列、等比數列的求和公式推導教學中產生“這些經典推導方法固然精妙，但如何設計教學才能讓學生自然理解并真正掌握”的思考.筆者認為，首先需要轉變觀念，重新審視那些看似“自然”的數學推理方式.在傳統數學教育中，將推理分為“演繹推理”與“合情推理”.演繹推理具有嚴格的邏輯順序，重在培養形式化推理能力；合情推理則是基于經驗的推理方式，包括歸納、類比、實驗、猜想、觀察等.當前數學教育對演繹推理有著清晰的認識，但對合情推理的研究相對不足.學生在運用歸納、類比等方法時往往處于“下意識\"狀態，對于如何系統培養合情推理能力，以及何時該采用何種推理方法等問題，仍需深入探討.

案例4：等差數列求和公式的推導.

人教A版教材先以高斯小時候的求和 ¹⁺²⁺ 3+…+100 的故事為例，并將其推廣得到 ¹⁺²⁺ ;然后將高斯發現的規律“倒置求和法”用于一般等差數列，從而得到等差數列的求 （204號和公式 ；最后將等差數列的通項公式 a_n=a₁+（n-1）d 代入就得到了 S_n=na₁+ 筆者發現，數學教師普遍沿用這種教學方式.雖然高斯的故事具有教育意義，但其蘊含的數學思想方法并未得到充分挖掘，

首先，為什么要對 1，2，3，…，100 進行求和？需要從實際問題出發給予直觀說明.筆者詢問一位學生“你知道5050這個數的含義嗎”，他脫口而出“就是 1+2+3+…+100⁹ .但當問到“那5151這個數呢”，學生卻表示不知道.這說明學生對求和的理解往往停留在機械記憶層面.因此，建議將教材的情境設計為“圖1是一個鉛筆槽，最底層是1根鉛筆，每一層鉛筆數量比下一層多1根，共100層.請問這個鉛筆槽共有多少根鉛筆”.這樣的實際問題既能自然引入高斯求和的故事，又能體現數學的實用價值，使教學生動有趣且富有意義.

圖1

其次，學生要學會如何站在巨人的肩膀上.高斯使用的“倒置求和法”一直被廣泛使用，但學生更應關注的是“如何站在巨人的肩膀上”.從方法上分析，主要有兩條途徑： ① 借助或參考“巨人\"使用的方法；② 從“巨人\"得到的結果出發.教材采用了“巨人”使用的方法，但沒有充分利用得出的結論.在教學中，教師可以借用 2這一結 （202果，推導 S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+（a₁+ （20A）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]=na₁+[1+ 2+3+…+（n-1）]·d=na+n（n-1） 通過這種方式，學生可以記住公式S=na+n（n-1）因此，教材提供的等差數列求和公式，正是“如何站在巨人的肩膀上\"的兩條途徑的體現.如果學生能同時體驗并掌握這兩條途徑，那么記憶和應用求和公式也會變得輕而易舉.

案例5：等比數列求和公式的推導.

相較于等差數列求和公式的推導，等比數列求和公式的推導往往使教師面臨更大的教學困境—如何使學生理解該推導過程的邏輯必然性？盡管教師進行了多種教學嘗試，但最終仍普遍回歸直接講授的教學模式.這一現象引發了兩個層面的教育反思：其一，數學思想方法的教學設計是否必須完全追求自然連貫的呈現方式？其二，這種追求是否反映了某種教學理念上的認知偏差？通過跨學科的對比研究發現，數學思想方法的有效傳授需要實現兩個維度的融合：既要通過合理的邏輯推演使學生感知其自然性，又需要綜合運用“告知式”與“反思式”的教學策略，其中后者構成關鍵的教學環節.需要特別指出的是，除探究式教學外，特定教學情境下的直接講授法同樣具有獨特的教學價值，其必要性主要體現在以下兩個方面： ① 部分數學思想方法具有跳躍性特征，難以完全通過合情推理的路徑實現教學引導； ② 數學教學必須包含解題技巧的系統傳授.值得深入探討的是“數學教育中是否存在某些難以通過語言完整傳遞的認知要素”.觀察發現，學生通過實驗探索、試錯過程乃至突發性靈感獲得的數學認知，往往未能得到教師的充分重視.然而實證研究表明，這類非線性的認知過程構成了當前學生解決數學問題的主要途徑.

在等比數列求和公式的推導過程中，先將 S_n= a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1① 兩邊乘 q 得到 qS_n= a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁qⁿ②， 然后將① 與 ② 相減.這種技巧不是容易想到的，也就是說，“兩邊乘 q ”是本節課的一個難點.要突破這一難點，教師需要給予學生充足的探索時間，允許他們在嘗試中經歷“頓悟”的過程.然而現實中，因課時限制，教師往往直接采用引導式教學法.部分教師在成功推導公式后，就終止了對于“錯位求和\"方法的探討，未能充分挖掘其價值與意義.以下是筆者關于“錯位求和”方法的教學設計.

師：我們先將等比數列（公比 q≠1? 前 n 項和寫成 ① ，然后兩邊乘 q 得到 ② ，最后將它們相減得到等比數列的前n項和公式S= ，這種方法給我們什么啟發？

生4（預設）：老師，等式 ① 兩邊乘 q ，確實想不到！不過，知道了這個技巧之后，我知道可以先對等式 ① 兩邊除以 q ，然后將得到的等式與原來的式子相減，同樣可以得到等比數列的前 n 項和公式.

生5（預設）：我發現對等式 ① 兩邊乘 （1-q） ，仍然可以得到結論.因為 （1+q+q²+q³+…+q^n-1） ·（1-q）=1-qⁿ"，利用這個式子就可以得出等比數列的求和公式.

生6（預設）：我發現 S_n=a₁+qS_n-1"，這樣就可以與 S_n=S_n-1+a_n"聯立得出 S_n

生7（預設）：老師，能不能通過前幾項的觀察而得出等比數列的求和公式？

教學反思：以上是筆者在歷年授課時，根據學生提出的幾個想法整理的教學設計預設方案.雖然某些數學方法在初學階段難以自然領悟，但若能通過合適的情境創設引導學生反思，往往能取得超出預期的教學效果.

4結語

數學教育最初僅以“數學知識\"的形式呈現給學生.隨著教育研究的深入，人們逐漸認識到數學的教育功能具有多維價值，“數學技能”“數學思想方法”“數學活動經驗”“數學能力”“數學核心素養”“數學審美”“數學精神”“數學創新”等維度相繼被納入數學教育功能的開發體系.盡管如此，基礎性的數學知識傳授仍是數學教育不可或缺的組成部分.教師在開展數學知識教學時，應當立足教育本質進行三重反思： ① 教學目標反思.深人挖掘知識背后的教育功能. ② 教學準備反思.為后續教育功能開發做好系統鋪墊. ③ 教學溯源反思.關注數學知識的動機溯源.通過全方位的教學反思，能夠更有效地落實人才培養需求，實現數學教育從知識傳遞到素養培育的轉型.

參考文獻

[1]

[2]張奠宙.數學“雙基\"教學的理論與實踐[M.南寧：廣西教育出版社，2008.

[3]趙振威.中學數學教材教法[M].上海：華東師范大學出版社，2005.