基于核心素養的聯合探究教學設計研究

教育部頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，高中數學教學要注重發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等數學學科核心素養.[這標志著數學教育正式邁入了以核心素養為引領的新時代，數學教學突破了知識傳授為主的教學范式，而更加注重學生數學核心素養的培養.正余弦定理作為高中數學教學中的重要內容，不僅是解三角形的基礎，也是連接幾何與代數、理論與實踐的橋梁.然而，在傳統的教學模式下，正余弦定理的教學往往側重于定理的記憶和應用，忽視了學生數學核心素養的培養.因此，如何基于數學核心素養的涵育進行正余弦定理的教學設計，成為一個亟待解決的問題

1教材和教學實施中存在的問題

為了深入研究教材中正余弦定理的內容編排特點，筆者對人教A版、人教B版、蘇教版、北師大版、滬教版、湘教版六個版本（新舊版）的教材進行了對比分析，發現新版教材將正余弦定理納入了平面向量的章節，主要是為了凸顯平面向量的重要作用以及順應史實.此外，大部分新版教材都采用向量法對正余弦定理進行證明.另一個很明顯的變化是正余弦定理在教材中出現的順序發生了改變：舊版教材先講正弦定理后講余弦定理，而新版教材則先介紹余弦定理再介紹正弦定理.這一調整主要是因為余弦定理與向量的數量積聯系更為緊密，便于知識過渡.筆者認為新版教材的調整是合理的，但也存在一些不足之處，如過分強調向量法的證明，而忽略了培養學生發散性思維的其他多種證法的呈現；同時，正余弦定理的內容被割裂成兩部分，未能體現二者的聯系，不利于學生形成整體性和聯系性的認知，融會貫通的效果不夠理想.

為了了解正余弦定理的教學現狀和學情，筆者對某中學數學教師齊老師進行了訪談.齊老師表示，高中生在數學學習過程中需要不斷培養數學學科核心素養，其中數學抽象、邏輯推理、數學建模和直觀想象是教師關注的重點，但學生在數學運算以及數據分析方面存在明顯不足，而這些素養在高考中尤為關鍵.當然，數學運算和數據分析素養的培養需要在小學和初中階段打下扎實基礎、養成良好習慣，才能在高中階段更加得心應手.對于新蘇教版教材用向量法引出正余弦定理的做法，齊老師表示，用向量數量積引入余弦定理存在一定爭議，不同教材的處理方式并不一致.總體而言，學生對于正余弦定理的掌握情況尚可，但教師在教學過程中仍需全面講解相關知識點，如正弦定理、余弦定理及其變形.至于正余弦定理的證明，學生掌握的方法并不多，通常能掌握一兩種已屬不錯.因此，教師需精心設計教學環節，通過多樣化的變式訓練，幫助學生靈活掌握并熟練運用正余弦定理

筆者梳理了相關研究文獻后發現，研究主要集中在三個方面：一是基于數學核心素養探索數學教育改革，二是針對利用正余弦定理解三角形問題的教學研究，三是嘗試將二者結合的教學研究.然而，目前關于核心素養與正余弦定理教學相結合的設計研究仍存在不足.鑒于此，本研究旨在將二者進行整合探究，以期為教學實踐提供新思路，

2正余弦定理聯合探究教學設計

2.1設計原則

2.1.1整體聯系性

在教學中，應當以聯系的思維看待正余弦定理，避免將二者割裂.正弦定理和余弦定理既相互區別，又緊密聯系、相輔相成.本研究采用聯合探究的課時設計，將二者融合教學，主要有以下幾個原因：正余弦定理可以相互推導，具備等價性；部分證明方法可同時適用于正余弦定理；同一道題目可分別運用正弦定理或余弦定理解決，一題多解.因此，教學設計應突出二者的關聯性，讓學生在探究過程中體會其內在聯系，學會用整體性思維看待數學知識.同時，通過定理間的相互轉化與綜合運用，可以培養學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，提升其融合性思維能力.

2.1.2 多樣發散性

發散性思維是創造力的重要組成部分，也是創造性思維的核心要素.[2在正余弦定理的教學中，教師應注重培養學生的發散性思維，通過探索正余弦定理的不同證明方法，以及運用正余弦定理解決復雜問題，拓展學生思維，提升其數學抽象、邏輯推理等核心素養.有趣的難題能激發學生的學習興趣，而探索不同的證明方法有助于學生整合已學知識，發散思維，構建知識體系，從而更系統地理解和掌握正余弦定理.

2.2教學設計片段分析

根據以上教學設計原則，下面給出正余弦定理聯合探究教學設計的片段

2.2.1一箭雙雕

用一種方法證明正余弦定理

如圖1，在 ΔABC 中， a，b，c 分別是 ∠A，∠B .∠C 所對的邊，現以 A 為原點， AC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系，則 C（b，0） .因為 B 的坐標（20 （ccosA，csinA） ，所以 ：將向量 平移到起點為 A 、終點為 D 處，于是 ，并且 ∠DAC=π- ∠BCA=π-C ，可以推出 D（acos（π-C），asin（π- C） ），化簡得 D（-acosC，asinC） ，故 ，asinC） .

由 ，得 -acosC=ccosA-b① ，且

asinC=csinA②. （204號

圖1

由 ② 得 同理可得 ，因此 sinC，正弦定理得證.

由 ① 得acos C=b-ccosA ，兩邊平方得a²cos²C=b²-2bccosA+c²cos²A ，其中，把 cos²A 換成 1-sin²A ，把 cos²C 換成 1-sin²C ，得 a²- a²sin²C=b²-2bccosA+c²-c²sin²A 由正弦定理得 a²sin²C=c²sin²A ，因此 a²=b²+c²-2bccosA

同理可得 b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²- 2abcosC ，余弦定理得證.

【設計意圖】通過向量法證明正余弦定理，可以體現出兩者之間的緊密聯系，讓學生體會向量法的強大作用，更深刻地理解正余弦定理的本質與內涵，從而形成對定理來源的多元化認識.在推導過程中，學生的邏輯推理能力和數學運算素養也得到提升.

2.2.2 互惠互利

教師給予提示，引導學生對正余弦定理互推（等價性）.

（1）正弦定理推導余弦定理.

由 ，得 0 ，則 ，兩邊同乘 （2R）² 得 a²+b²-2abcosC=c² ，同理可證b²+c²-2bccosA=a²，a²+c²-2accosB=b² ，余弦定理得證.

（2）余弦定理推導正弦定理

根據 a²=b²+c²-2bccosA，A∈（0，π），sinAgt; 0，則 ，所以 根據等號右邊_a，b，c 的輪換對稱性，即 ^{a，b，c} 位置等同，可得 因此 sinC，正弦定理得證.

【設計意圖】通過正余弦定理的相互推導，學生能深刻理解二者之間的緊密聯系，認識到它們是不可分割的整體，不能孤立地學習，而應以融會貫通的視角靈活運用，深入把握定理的內涵.同時，嚴密的推理過程不僅能鍛煉學生的邏輯推理和數學運算能力，還能讓他們在互推過程中，充分感受數學的美妙與神奇.

2.2.3 證法串燒

對于正余弦定理的證明，下面給出十種證明方法，具體見表1.

表1

已有證明不再贅述，下面給出其他證法（除了外接圓法，其他同類證法選取其中一種）.

（1）向量法證明正弦定理

如圖2，作 ，則 BD 為 在 上的投影，也為 在 上的投影，因此 BD=

同理， C）=asinC =

因此 asinC=csinA ，即 sinC·同理可證 sinB，鈍角三角形亦然.

（2）正弦定理推導余弦定理

根據正弦定理得 sin（A+B），故有 bsin A= asin B ①，csin A =asin（A+B）=asinAcosB+acosAsinB②.① 代人② ，得 c=acosB+bcosA ，即 acosB=c-bcosA ③ ： ① 和 ③ 平方相加，得 a²=（c-bcosA）²+ （204號 （bsinA）²=b²+c²-2bccosA ，即 a²=b²+c²- 2bccosA ：

（3）坐標法證明正余弦定理.證明1：正弦定理.如圖3，在口ABCD中，設 C（x₁，y₁），D（x₂ ._y2） ，則 0

圖3

已知 y₁=y₂ AD=BC ，因此 ACsin∠BAC= BCsin∠BAD ，即 ACsin∠BAC=BCsin（180^°-B） .故在 ΔABC 中， bsinA=asinB ，即 中 同理可證其他式子.

證明2：余弦定理

如圖4，建系得 A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）

圖4

根據 ^B，C 兩點坐標運用兩點間距離公式，得a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA 同理可證其他式子.

（4）作高法證明正余弦定理證明1：正弦定理（作高拆角）.

如圖5，在 ΔABC 中，作高 BD ，則 sin∠ABC= sin（∠ABD+∠CBD）=sin∠ABDcos∠CBD+ 即 同理可證其（2他式子.

圖5

證明2：余弦定理 下面以 ∠A 為例，進行討論

若 ∠A 是直角，則 b²+c²-2bccosA=b²+c²- 2bccos 90^°=b²+c²=a²

若 ∠A 是銳角，如圖6，作 CD⊥AB ，則 AD= bcosA，CD=bsinA，BD=AB-AD=c-bcosA 在 RtΔBCD 中，由勾股定理，得 BC²=BD²+ CD²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=c²+b²-2bc ：cosA ，即 a²=c²+b²-2bccosA ，

若 ∠A 是鈍角，如圖7，作 CD⊥BA 的延長線于點 D ，則 AD=bcos（π-A）=-bcosA，CD=b? sin（π-A）=bsinA，BD=AB+AD=c-bcosA. 在RtΔBCD 中，由勾股定理，得 BC²=BD²+CD²= （c-bcosA）²+（bsinA）²=c²+b²-2bccosA ，即a²=c²+b²-2bccosA. .同理可證其他式子.

圖6

圖7

（5）外接圓法證明正弦定理 法1：正弦定理的推廣.

如圖8， ?O 是 ΔABC 的外接圓， R 為半徑，BD=2R ∠BAD=90^° ∠C=∠D ， sinC=sinD= （ 即 ，同理得 得證.

圖8

圖9

若 ΔABC 是鈍角三角形，如圖9.設 ∠B 為鈍角，則 ∠2=∠ADC 2R·由于∠2+∠B=180^° ，因此 sin∠2=sinB ，即 .同理可證其他式子.

法2：正弦定理的推廣.

如圖 10，?O 為 ΔABC 的外接圓， OD⊥BC ，則 12BC ，即 同理可證其他式子.

圖10

（6）相交弦法證明余弦定理

如圖11，以 c 為圓心、 CA 為半徑作 ?C ，直線BC 與 ?C 交于點 D，E ，延長 AB 交 ?C 于點 F ，延長 AC 交 ?C 于點 G

圖11

已知 AF=2bcosA ，故 BF=2bcosA-c. 由相交弦定理得 BA?BF=BD?BE ，即 c?（2bcosA-c）= （b+a）?（b-a） ，整理得 a²=b²+c²-2bccosA

（7）托勒密定理推導法證明余弦定理

如圖12，作 CD//AB ，交 ΔABC 的外接圓于點D ，則 AD=BC=a BD=AC=b .分別過點 Ψ_C，D 作AB 的垂線，垂足為點 E，F ，則 AE=BF=bcosA ，故 CD=c-2bcosA .由托勒密定理得 AD?BC= AB?CD+AC?BD ，即 a?a=c（c-2bcosA）+b ·b ，即 a²=b²+c²-2bccosA

圖12

（8）面積法證明正弦定理

如圖13，作高 ，同理可證 absinC，因此 ，同除以 再取倒數，得

圖13

（9）勾股定理推導法證明余弦定理

如圖14，根據勾股定理，得 a²=（bsinA）²+ （c-bcosA）² ，即 a²=b²+c²-2bccosA

圖14

【設計意圖】通過多種證明方法的探究討論，學生能夠拓展思維，激發學習興趣和探索欲，感受數學之美.不同的證明方法不僅幫助學生從不同角度理解正余弦定理的由來，更能促進知識體系的構建，同時培養其直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

2.2.4一題雙解

在 ΔABC 中， ?a，b，c 分別為 ∠A，∠B，∠C 所對的邊，已知 bcosA=acosB ，求三角形的形狀.

法一：正弦定理.

由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB ，代人bc γsA=acosB ，得 2RsinBcosA=2RsinAcosB =因此 sinAcosB-sinBcosA=0， 即 sin（A-B）=0. 由于A，B∈（0，π） ，因此 A=B ，故 ΔABC 是等腰三角形.

法二：余弦定理

由余弦定理得cOs COsB= （20，代人bcos A=acos B ，得 b · ，故 b²+c²-a²= a²+c²-b² ，即 a²=b² ，因此 a=b ，故 ΔABC 是等腰三角形.

【設計意圖】通過一題多解的探究方式，既能展現正余弦定理的靈活運用，又能體現二者的內在聯系.這種教學方法不僅幫助學生拓寬思路，鍛煉邏輯推理和數學運算能力，更能提升學生舉一反三的思維能力，從而在加深他們對正余弦定理理解的同時，還提升其運算能力.

3結語

基于核心素養的正余弦定理聯合探究教學設計，旨在讓學生深刻體會這兩個定理之間的內在聯系，形成整體性的數學認知視角.通過設計多樣化的證明方法，不僅能激發學有余力學生的數學探索興趣，更能有效促進學生發散性思維和創新精神的培養.這種教學設計在潛移默化中提升學生的數學核心素養，對實際教學具有積極的促進作用

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]趙迎春.初中數學教學中學生發散思維的培養策略J」數理天地（初中版），2024（17）：124-126.