基于高階思維能力培養的初中數學項目式學習

高階思維，即在較高認知水平上的心智活動及認知能力，主要表現為分析、綜合、評價與創造等.隨著信息時代的快速發展，高階思維能力已成為個體適應社會發展、解決復雜問題的關鍵能力.此外，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"提出：“可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力.\"[可見，將項目式學習與高階思維能力的培養相結合，是一種新穎且有效的教學策略.本文以綜合實踐活動課“造橋選址問題”為例，闡述如何借助項目式學習培養學生高階思維能力，促進核心素養的發展，

1課前分析

1.1項目內容結構化分析

新課標指出：“課程內容組織，重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑.\"[2]項目式學習過程中，學生通過對數學知識體系中零散內容進行系統化整合，以核心概念為紐帶建立知識間的內在關聯，從而構建完整的數學認知結構.在此過程中，可以聚焦三大圖形變換這一核心內容，將原本看似孤立的知識點有機聯系起來，形成系統化的知識網絡（如圖1）.這種基于整體性思維的教學設計，不僅能夠充分發揮知識系統的協同效應，更有助于學生數學核心素養的全面發展

圖1

本課以項目式學習為實施路徑，通過設計由淺入深的問題序列，整合合作學習與探究學習模式，旨在培養學生的領導力、執行力、協作能力及創新探索意識.具體實施流程如圖2所示.

1.2項目任務和教學流程

基于教學目標和項目式學習的特征，以“造橋選址\"為項目主題，依托圖形變換探究最短路徑問題.在該項目中，學生需經歷以下學習過程： ① 從真實情境中識別并提煉數學問題； ② 建立相應的數學模型，并通過數據計算進行求解； ③ 結合模型結論分析其現實意義，并評估模型的合理性； ④ 最終優化模型，獲得符合實際情境的解決方案.

2教學實施

2.1項目準備

（1）視頻引入：觀看美麗鄉村—西夏墅、東南 村相關視頻.

教學分析：觀看美麗鄉村視頻，激發當地學生的自豪感和學習興趣，增強學生體驗感，使學生對于這個現實背景下的課堂更加投入，也為接下來項目問題的解決提供現實背景.

（2）項目背景及內容.

圖2

自黨的十九大提出鄉村振興戰略以來，各地區積極開展實踐探索，諸多具有示范意義的美麗鄉村相繼涌現.其中，西夏墅鎮下轄的東南村與梅林村在美麗鄉村建設進程中表現尤為突出，已從省級示范典型逐步發展成為全國知名的鄉村振興案例.為持續推進西夏墅鎮經濟社會高質量發展，鎮政府擬對上述兩個行政村及鎮區（如圖3）實施道路系統優化與資源整合發展戰略

圖3

基于前期調研論證，鎮政府制定以下規劃方案：① 交通基礎設施建設工程.擬建設連接東南村、梅林村與鎮政府的鄉村快速通道，旨在強化區域資源整合效能，提升行政管理效率； ② 水利設施配套工程.規劃于新孟河沿岸新建抽水站一座，以滿足東南村與梅林村的農業灌溉需求.項目實施規劃如圖4所示，項目實施過程中將嚴格遵循經濟性原則，在保證工程質量的前提下實現建設成本的最優化

教學分析：基于現實情境構建項目式學習活動的整體框架，后續教學環節均圍繞該情境展開，確保教學過程的連貫性與系統性.真實情境的創設有助于學生運用數學視角觀察和分析現實世界.

（3）問題思考.

思考1運用數學知識解決實際問題的基本流程是什么？

思考2怎樣才能盡可能地節約經費？

教學分析：通過問題的思考，幫助學生將實際問題轉化為數學問題.回顧構造最短路徑的方法，讓他們串聯起所學知識，構建研究這一類問題的數學模型，形成學習的正向遷移，引導學生用數學的眼光觀察世界.

2.2項目主體

2.2.1提出猜想，設計方案

問題1如圖5所示，記東南村為A地，梅林村為B地.在A，B兩地之間修建一條公路，請你規劃修建路線，并在圖5右側作出路線圖.

圖5

教學分析：從基礎性問題切入，幫助學生建立熟悉的數學經驗認知，激發學生的學習動力.在項目準備環節，教師通過引導性提問，啟發學生運用已掌握的“兩點之間，線段最短\"這一基本幾何原理進行問題解決，從而明確本節課的核心教學目標與重點內容

問題2如圖6所示，記東南村為A地，梅林村為B地，河流記為直線.要在直線上修建一個抽水泵P，使它到A，B兩地距離最短，請規劃修建路線，并在圖6右側作出路線圖.

作圖原理：

圖6

教學分析：通過軸對稱變換將原問題轉化為“兩點之間，線段最短”的幾何模型，在此過程中滲透化歸的數學思想方法.這一轉化過程不僅實現了問題的簡化，也為后續運用平移變換進行線段轉換奠定了必要的認知基礎和經驗積累.

問題3如圖7所示，記東南村為A地，西夏墅鎮政府為C地，在A，C兩地之間有一條寬闊的河流，假設河流的兩岸是平行的，分別記為 l₁，l₂ 請設計一條從A到C的路線，并嘗試給出不同規劃方案.

作圖原理：

圖8

教學分析：該問題構成本節課的核心學習內容.基于前兩個探究問題的鋪墊，該實際問題自然地轉化為可研究的數學問題.通過分析不同的規劃方案，進而引出本節課的核心主題——造橋選址問題的數學建模與求解.

2.2.2 操作實驗，協作探究

問題4 （如何建橋）哪種方案更符合實際情況？（垂直于河岸修建）

追問比較你們所畫路徑長短是否一致.

教學分析：通過對比不同路徑的幾何構造及其長度差異，引導學生理解確定橋的位置對于獲取最短路徑的必要性.在此基礎上，教師指導學生將造橋選址問題分解為若干可操作的子問題，從而幫助學生把握問題分析的切人點，實現復雜問題的有效簡化.

問題5 （何處建橋）哪里建橋能使路徑最短？（幾何畫板動態展示路徑長短變化）

教學分析：借助幾何畫板的動態可視化功能，為學生提供直觀的幾何認知體驗，強化數學結論的建構過程與合理性認知.通過動態演示最短路徑的生成過程，有效提升學生的信息處理能力，并促進其自主探究與合作學習能力的發展.

問題6回顧前兩段路線的解決，若兩點之間，沒有阻礙即可用“兩點之間，線段最短”來解決.請同學們利用手中小紙片，動手操作讓河流“隱藏”，畫出將河流“隱藏”后的路徑并找到建橋位置.

教學分析：通過幾何折疊法使學生理解隱藏河流路徑的可行性，進而引導其探究非折疊狀態下基于河岸重合原理的解決方案.在此認知建構過程中，促進學生對數學原理的深層理解與實際應用，培養其數學應用意識，體悟數學與現實的辯證關系，從而發展數學思維能力與創新意識，最終形成用數學思維解決現實問題的能力.

2.2.3建立模型，形成方案

方案：通過作圖實現河流“隱藏”，找到橋的位置.

問題7如圖8所示，已知直線 l₁//l₂ ，點 A，C 分別位于直線 l₁，l₂ 異側，在直線 l₁，l₂ 上分別存在點 M，N ，若 MN⊥l₁ ，且 CM+MN+NA 的值最小.請確定點 M，N 的位置.

教學分析：在教師引導下，學生通過自主探究得出造橋選址問題的解決方案后，師生共同歸納該問題的標準解法，并規范幾何作圖步驟.同時，通過系統梳理解題思路與方法，幫助學生建立完整的數學問題解決框架

追問在問題7中，將點 C 往下平移，若將點A往上平移.試動手畫一畫，觀察并判斷與問題7中得到的路徑是否一致？

教學分析：在折疊過程中，由于上下河岸的不同重合方式，可自然引出平移變換的兩種可能形式.通過回顧該問題的解決過程，不僅實現了知識生成的邏輯完備性，同時證明了最短路徑的存在性與唯一性，從而使學生深刻體會數學的嚴謹性

問題8 （為何這樣建橋）請你說明為什么橋建在MN處， CM+MN+NA 最短？

教學分析：通過規范的數學證明過程，使學生深刻體會數學學科的嚴謹性，進而有效發展其邏輯推理能力與抽象概括能力.在教學過程中，引導學生經歷數學觀察、數學思考與數學表達的系統性學習活動，使其充分理解數學作為認知工具、研究方法和形式語言在解析現實世界中的重要作用.這一過程不僅能夠提升學生認識客觀世界和解決實際問題的能力，更有助于培養其嚴謹的學術思維和良好的學習習慣.

2.3項目反思

2.3.1完成方案，總結方法

問題9通過上面的研究，不難發現造橋選址問題最終化歸為“兩點之間，線段最短”模型.是通過什么樣的手段實現這樣的轉化的呢？

教學分析：教師應注重培養學生概括歸納、遷移應用等學習方法，引導學生通過回顧已有知識體系，建立新舊知識間的邏輯關聯，從而深化對數學概念的理解.在此過程中，使學生逐步積累數學活動經驗，領悟數學思想方法，形成批判性思維與反思能力，最終發展其用數學語言準確描述和解釋現實世界的能力.

拓展提升：前面已經利用軸對稱和平移轉化線段的位置，解決了線段和最小的問題.未來也可以利用旋轉變換解決類似的問題—費馬點（到三角形3個頂點距離之和最小的點）問題.模型建立具體如下.

（費馬點問題）如圖9所示，若點 P 是 ΔABC 內任意一點，試求 PA+PB+PC 的最小值.

解答：將 ΔAPC 繞點 A 逆時針旋轉 60^° ，得到ΔAP^′C^′ ，連接 PP^′ （如圖10），則 PA+PB+PC= PP^′+PB+P^′C^′≥BC^′ ，所以 PA+PB+PC 的最小值即為線段 BC^′ 的長.

圖9

圖11

教學分析：從課程組織的視角，基于核心概念對零散的數學問題進行系統整合，構建具有內在邏輯關聯的知識體系.通過結構化教學策略，幫助學生建立完整的認知框架，促進知識的結構化理解與遷移應用.具體而言，以三大圖形變換為引領，將原本孤立的知識點進行有機整合，形成系統化的學習內容（如圖11）.這種整體性教學設計不僅能充分發揮知識的系統效能，更能有效提升學生的數學核心素養.

2.3.2總結反思，學科融合

問題10通過大家的共同的努力，我們順利完成了項目規劃.回顧研究過程，你有些什么話想對自己或者其他同學說？

教學分析：引導學生反思自身學習行為，啟發學生從知識技能、方法、思想等方面自主小結.這樣充分尊重了個體差異，為學生創造了在數學活動中獲得活動經驗的機會，也鍛煉了學生的語言表達能力，同時關注了不同層次的學生對所學內容的理解和掌握.在此過程中，學生逐步養成整理知識、提煉思想方法的習慣，不斷提高運用數學語言的素養，增強數學總結、反思、質疑、評價的意識.

問題11在造橋選址問題中，我們通過平移點將折線轉化為直線；光的反射問題中，通過鏡像對稱得到直線路徑.這兩種方法的數學本質是否相似？

小結：法國數學家費馬（P.D.Fermat）提出的“光程最短原理\"（又稱“費馬原理\"指出，光線在傳播過程中總是沿著所需時間最短的路徑行進.這就是物理學中“最小作用量原理”，這一原理的最大魅力在于其普適性，它將物理和數學完美地結合在一起，深刻反映了自然界的運作方式，

教學分析：新課標明確指出，“綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題”[3]將光程原理和平移、軸對稱這兩種圖形變換的知識融合，就能基于光的運動方向和路徑解決平面幾何中著名的造橋選址問題，為學生構建一個更大的知識網絡，有利于學生更好地認識自然界的普遍規律，也有利于學生提升核心素養.

3項目式學習實施反思

3.1載體凸顯：項目式學習助推高階思維

通過真實情境解決“如何確定橋的位置使兩地通行路徑最短”這一復雜問題，有效激活了學生分析、評價、創造等高階思維，體現了項目式學習對培養學生深度認知能力的推動作用.學生從數學、物理、工程等多維度拆解問題.如何建橋？何處建橋？為何這樣建橋？通過抽象建模和數學推理，分析變量間的邏輯關系，打破單一學科的思維定式

在嘗試不同選址方案時，通過小組辯論、模型修正，在質疑預設、評估證據、理解最優解的相對性中培養批判性思維與決策能力.將造橋問題與光的最短路徑原理類比，揭示“幾何變換”與“費馬原理”的共性.學生通過類比遷移，從物理、數學視角重構問題本質，形成“優化模型\"的跨學科思維框架，學生通過反思問題解決路徑，解釋策略選擇的合理性，形成“問題抽象一策略設計一驗證反思\"的元認知閉環.

3.2模型依托：基本模型賦能遷移能力

在\"造橋選址\"項目式活動中，學生通過構建“兩點之間，線段最短”的基本模型，深度理解幾何變換（平移或對稱）對優化問題的核心作用，這一過程本質上是將現實約束抽象為數學規則，從而形成可遷移的思維框架.當學生利用平移變換將河流兩岸的折線路徑轉化為直線距離時，其本質與光學中的費馬原理（光運動路徑最短）相同—通過鏡像或平移打破空間約束，將復雜問題簡化為“兩點之間，線段最短\"的基本模型.這種基本模型的提煉不僅解決了造橋選址的具象問題，更成為學生跨學科遷移能力的重要支點.例如，在物流路徑規劃中，學生可類比河流與橋梁的約束，將地形障礙抽象為“虛擬鏡像點\"；在電路設計中，最短路徑模型可遷移為電阻網絡的電流優化問題.通過反復拆解、重構模型的核心要素，如對稱性、約束條件，學生逐漸形成“抽象一類比一應用”的思維鏈條，既能從具體問題中抽象出普適規律，又能將規律靈活嵌入新場景，最終在解決交通規劃、資源分配等復雜問題時，快速識別關鍵變量并調用模型工具.這種以模型為依托的學習路徑，不僅強化了知識的結構化存儲，更通過從“解題\"到“解問題\"的躍遷，培養了學生運用科學思維應對不確定性問題的創新能力.

3.3思想滲透：類比化歸提煉數學本質

在“造橋選址\"這一項目式活動課中，學生通過將現實工程問題轉化為數學模型的過程，深刻體會到類比、化歸思想對提煉數學本質的重要意義.當學生嘗試在不同地理條件下尋找最優橋址時，教師引導他們將河流抽象為直線、兩岸的兩村抽象為幾何點，將“總路程最短”的工程需求轉化為“兩點之間，線段最短\"的數學問題.這一過程中，學生自覺運用了類比思維，將具體情境中的選址問題對應到幾何對稱、平移變換等數學方法中，發現造橋問題與“將軍飲馬\"問題的本質同構性.通過將復雜現實條件逐步剝離、歸約為數學要素，學生不僅掌握了化歸思想的核心一將未知問題轉化為已知模型，更深刻理解了數學抽象在解決現實問題中的普適作用，這種思維遷移能力正是數學建模素養的生動體現.

3.4技術賦能：動態演示深化平移理解

在\"造橋選址\"項目化活動課中，技術賦能的理念通過幾何畫板的動態演示得到了充分體現，有效深化了學生對平移的幾何本質的理解.以“最短路徑\"問題為背景，學生在分析兩岸平行河道間橋梁的最優位置時，傳統靜態圖紙難以直觀呈現平移變換的數學邏輯，而幾何畫板通過動態生成點的軌跡、實時展示線段平移過程，將抽象的對稱點構造可視化.當學生拖動目標點模擬橋梁位置變化時，軟件自動生成的動態路徑圖不僅揭示了平移前后圖形全等性以及對應點連線平行且相等的核心特征，更通過實時數據反饋幫助學生發現“兩點之間，線段最短”的幾何規律.這種技術驅動的探究過程，突破了傳統教學中平移概念機械化記憶的局限，讓學生在問題解決中自主建構“平移是保持相對位置關系的剛體變換\"的認知框架，同時培養了基于動態幾何思維的空間想象能力和工程建模意識，充分彰顯了信息技術與數學學科深度融合的教育價值.

4結語

造橋選址”項目將知識嵌入真實情境，推動學生從被動接受轉向主動建構知識，在復雜問題中錘煉分析、評價、創造等高階思維，最終實現“知識一能力一思維\"的立體化發展.這正是項目式學習賦能核心素養的深層價值.

參考文獻

[123中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）M].北京：北京師范大學出版社，2022.