初中函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模能力的實(shí)踐探索

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其抽象性與應(yīng)用性特征決定了其在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與實(shí)際問題解決能力中的關(guān)鍵作用.數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問題的橋梁，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)\"明確提出的核心素養(yǎng)之一.然而，當(dāng)前初中函數(shù)教學(xué)普遍存在重解題技巧、輕建模過程的現(xiàn)象，具體表現(xiàn)為：情境創(chuàng)設(shè)碎片化，缺乏層次遞進(jìn)性；模型抽象過程簡(jiǎn)化，忽視學(xué)生的自主探究；應(yīng)用反思環(huán)節(jié)薄弱，導(dǎo)致模型使用僵化.這種教學(xué)模式下學(xué)生雖能掌握函數(shù)圖象與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)，卻難以將數(shù)學(xué)工具遷移至真實(shí)問題中，制約了核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此，以函數(shù)教學(xué)為切入點(diǎn)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)建模能力培養(yǎng)路徑是落實(shí)新課標(biāo)的必然要求，是破解傳統(tǒng)教學(xué)困境的關(guān)鍵突破口.

1設(shè)計(jì)思路

設(shè)計(jì)思路是以初中數(shù)學(xué)函數(shù)建模能力培養(yǎng)為核心，從實(shí)際問題切入，選擇學(xué)生熟悉的購物、運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)實(shí)情境設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性任務(wù)，引導(dǎo)其從具體現(xiàn)象中抽象出變量關(guān)系.教學(xué)過程遵循“情境感知一模型假設(shè)一數(shù)學(xué)表達(dá)一驗(yàn)證優(yōu)化”四階段策略： ① 通過生活案例啟發(fā)學(xué)生感知變量之間的依存關(guān)系； ② 在問題鏈引導(dǎo)下初步建立模型假設(shè)； ③ 借助數(shù)學(xué)符號(hào)將生活化語言抽象轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)、一次函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象能力； ④ 利用GeoGebra動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)函數(shù)圖象隨參數(shù)變化的規(guī)律，結(jié)合表格數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證模型合理性，通過可視化技術(shù)突破變量關(guān)系理解的難點(diǎn).在此過程中融入階梯電價(jià)、水資源消耗等跨學(xué)科議題，讓學(xué)生在構(gòu)建分段函數(shù)模型時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)工具對(duì)生態(tài)保護(hù)、資源管理的決策價(jià)值，實(shí)現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用能力提升與社會(huì)責(zé)任意識(shí)培養(yǎng)的雙重目標(biāo).各環(huán)節(jié)以遞進(jìn)式任務(wù)串聯(lián)，通過分解建模流程降低認(rèn)知負(fù)荷，最終形成“實(shí)際問題數(shù)學(xué)化一數(shù)學(xué)模型工具化一數(shù)學(xué)結(jié)論現(xiàn)實(shí)化\"的完整認(rèn)知閉環(huán).

2教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課以人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)》“一次函數(shù)\"為例，結(jié)合“階梯電價(jià)計(jì)費(fèi)\"的真實(shí)生活情境，系統(tǒng)探究分段函數(shù)的數(shù)學(xué)建模過程.教學(xué)內(nèi)容圍繞核心環(huán)節(jié)展開：首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變量識(shí)別，從階梯電價(jià)規(guī)則中提取用電量與電費(fèi)兩個(gè)變量，明確自變量與因變量的依存關(guān)系.表達(dá)式的建立應(yīng)基于不同電量區(qū)間對(duì)應(yīng)的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).在分段函數(shù)表達(dá)式的建立過程中，分階段討論不同電費(fèi)區(qū)間的計(jì)費(fèi)規(guī)則，強(qiáng)調(diào)區(qū)間臨界值的界定與多段表達(dá)式的邏輯整合；在圖象分析過程中，借助GeoGebra繪制分段函數(shù)圖象，觀察不同區(qū)間的斜率變化及圖象連續(xù)性，理解分段函數(shù)圖象所反映的實(shí)際意義；在實(shí)際意義解讀過程中，結(jié)合圖象與表達(dá)式，分析階梯電價(jià)政策對(duì)節(jié)約用電的引導(dǎo)作用，挖掘數(shù)學(xué)模型蘊(yùn)含的社會(huì)價(jià)值.通過完整建模過程的實(shí)踐，學(xué)生學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決現(xiàn)實(shí)問題的工具，深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解.

2.2學(xué)情分析

知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已掌握正比例函數(shù)的概念及圖象特征，能夠識(shí)別單一變量關(guān)系，但面對(duì)多區(qū)間、多條件的復(fù)雜情境時(shí)，抽象概括能力不足，易混淆變量

間的分段關(guān)系.

認(rèn)知特點(diǎn)：八年級(jí)學(xué)生處于形象思維向抽象思維過渡階段，對(duì)生活化案例有較強(qiáng)的探索興趣，但缺乏系統(tǒng)化建模經(jīng)驗(yàn)，難以自主完成從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)模型的完整轉(zhuǎn)化.

難點(diǎn)預(yù)判：分段函數(shù)中自變量取值范圍的區(qū)間劃分易出現(xiàn)遺漏或重疊，多段表達(dá)式的數(shù)學(xué)整合需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，學(xué)生可能因忽略區(qū)間臨界值導(dǎo)致模型失真.此外，模型驗(yàn)證環(huán)節(jié)需結(jié)合實(shí)際問題反推合理性，學(xué)生易陷人純數(shù)學(xué)計(jì)算而脫離現(xiàn)實(shí)意義.

2.3教學(xué)目標(biāo)

模型建構(gòu)能力：能從階梯電價(jià)的分段計(jì)費(fèi)規(guī)則中精準(zhǔn)提取變量，建立“用電量一電費(fèi)”的分段函數(shù)表達(dá)式，掌握區(qū)間劃分與表達(dá)式整合的方法.

數(shù)形結(jié)合能力：通過分段函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)生成與特征分析，理解不同電量區(qū)間對(duì)應(yīng)電費(fèi)增長(zhǎng)量的差異，領(lǐng)悟幾何直觀對(duì)實(shí)際問題解決的支撐作用，

協(xié)作與反思能力：在小組合作中優(yōu)化模型表達(dá)；通過對(duì)比不同家庭用電案例驗(yàn)證模型的普適性，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的嚴(yán)謹(jǐn)性及其對(duì)社會(huì)決策的參考價(jià)值，

2.4教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分段函數(shù)模型的建立與數(shù)學(xué)表達(dá)；圍繞階梯電價(jià)的三檔計(jì)費(fèi)規(guī)則引導(dǎo)學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，確定分段區(qū)間邊界值，逐段推導(dǎo)電費(fèi)計(jì)算公式，最終整合形成統(tǒng)一的分段函數(shù)表達(dá)式，強(qiáng)調(diào)區(qū)間端點(diǎn)值的歸屬與表達(dá)式的連貫性.

教學(xué)難點(diǎn)：變量關(guān)系的數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)換及模型驗(yàn)證，需要學(xué)生綜合運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力，包括函數(shù)概念、數(shù)據(jù)分析、圖形繪制和推理能力[，突破生活化語言與數(shù)學(xué)符號(hào)的思維壁壘，將“超過部分按更高單價(jià)計(jì)費(fèi)”等描述抽象為分段函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；模型驗(yàn)證需結(jié)合具體用電案例反推電費(fèi)計(jì)算結(jié)果是否與政策目標(biāo)一致，如分析高耗能家庭電費(fèi)增速陡升現(xiàn)象，揭示階梯電價(jià)通過經(jīng)濟(jì)杠桿促進(jìn)節(jié)能的深層意義，避免建模過程脫離現(xiàn)實(shí)背景淪為單純的數(shù)學(xué)練習(xí).

2.5教學(xué)過程

2.5.1情境導(dǎo)入，感知問題

某市階梯電價(jià)計(jì)費(fèi)規(guī)則：第一檔，月用電量不超過200度，按0.5元/度計(jì)費(fèi)；第二檔，月用電量超出200度，超出200度的部分按0.6元/度計(jì)費(fèi)；第三檔，月用電量超出400度，超出400度的部分按0.8元/度計(jì)費(fèi).

問題小明家某月用電量為300度，電費(fèi)應(yīng)如何計(jì)算？如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述電費(fèi)（y）與用電量（x） 之間的關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過生活化情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)其關(guān)注電價(jià)規(guī)則中的變量關(guān)系，初步感知分段計(jì)費(fèi)的邏輯，為抽象數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ).

2.5.2合作探究，構(gòu)建模型

任務(wù)1（個(gè)體思考）：繪制電費(fèi)計(jì)算流程圖.

學(xué)生獨(dú)立梳理階梯電價(jià)規(guī)則，繪制電費(fèi)計(jì)算流程圖.在此過程中，明確自變量為用電量 x （度），因變量為電費(fèi) y （元），關(guān)鍵節(jié)點(diǎn) x=200 x=400 為計(jì)費(fèi)區(qū)間臨界值.

關(guān)鍵引導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)區(qū)間端點(diǎn)值的歸屬，驗(yàn)證各段表達(dá)式在臨界點(diǎn)的連續(xù)性，如當(dāng) x=200 時(shí)，第一段_y=100 ，第二段

任務(wù)3（技術(shù)驗(yàn)證）：GeoGebra動(dòng)態(tài)驗(yàn)證.

學(xué)生利用GeoGebra輸人分段函數(shù)表達(dá)式，生成圖象并觀察特征，得出結(jié)論：三段直線斜率依次增大反映“用電量越高，電費(fèi)增速越快”，斜率變化體現(xiàn)了階梯電價(jià)調(diào)控意圖.

2.5.3例題解析，深化理解

例1某家庭月用電量為420度，計(jì)算電費(fèi)并分析階梯電價(jià)對(duì)節(jié)約用電的引導(dǎo)作用.

學(xué)生1認(rèn)為，第三檔電價(jià)為每度0.8元，直接按總用電量420度乘0.8元/度即可得到電費(fèi)，得出結(jié)果為336元.教師指出這一計(jì)算忽略了階梯電價(jià)“超出部分累進(jìn)計(jì)費(fèi)”的規(guī)則，引導(dǎo)學(xué)生分區(qū)間計(jì)算：第一檔200度按0.5元/度計(jì)算，第二檔200度按0.6元/度計(jì)算，第三檔僅對(duì)超出400度的20度按0.8元/度計(jì)算.通過分步累加，學(xué)生重新得出電費(fèi)為236元.教師結(jié)合數(shù)學(xué)史中古希臘數(shù)學(xué)家希羅的分段累加思想，說明復(fù)雜問題需拆解為簡(jiǎn)單部分來解決，凸顯階梯電價(jià)設(shè)計(jì)的合理性，

解析：代人模型，得 y=0.5×200+0.6×200+ 0.8×（420-400）=100+120+16=236（ 元）

若全部按0.5元/度計(jì)算，得 y=0. 5×420= 210（元）.

實(shí)際電費(fèi)比全部按0.5元/度計(jì)算多出26元，說明超額用電成本顯著增加，促使家庭減少高耗能行為

設(shè)計(jì)意圖通過具體案例鞏固分段函數(shù)計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)結(jié)果反推政策效果，從而理解模型的社會(huì)價(jià)值.

例2某用戶月用電量為200度，若其鄰居月用電量為201度，兩人電費(fèi)相差多少？

學(xué)生2認(rèn)為，201度僅比200度多1度，電費(fèi)差值應(yīng)為1度電的價(jià)格差，即0.6元減去0.5元，結(jié)果為0.1元.教師通過GeoGebra動(dòng)態(tài)演示兩戶電費(fèi)計(jì)算過程，揭示鄰居因超出第一檔，其超出的1度需按第二檔0.6元/度計(jì)算，而用戶200度全按第一檔0.5元/度計(jì)算.最終電費(fèi)差值為0.6元而非0.1元.教師類比經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際成本突變\"理論，解釋階梯電價(jià)通過價(jià)格信號(hào)約束超額用電行為，類似英國工業(yè)革命時(shí)期蒸汽機(jī)效率與燃料成本的平衡策略.

解析：用戶電費(fèi) y₁=0.5×200=100（ 元）

鄰居電費(fèi) y₂=0.5×200+0.6×（201-200）= 100.6（元）.

差額 Δy=y₂-y₁=0. 6 （元）.

超出第一檔后，每度電成本增加0.1元，邊際成本變化引導(dǎo)用戶控制用電量

2.5.4拓展遷移，創(chuàng)新應(yīng)用

項(xiàng)目任務(wù)為設(shè)計(jì)“共享單車計(jì)費(fèi)模型”，要求包含起步價(jià)、時(shí)長(zhǎng)費(fèi)、高峰時(shí)段加價(jià)等要素，用分段函數(shù)描述費(fèi)用 （y） 與騎行時(shí)間 （x） 的關(guān)系，通過GeoGe-bra繪制圖象并優(yōu)化計(jì)費(fèi)方案.

模型規(guī)則：第一檔，前30分鐘免費(fèi)；第二檔，騎行時(shí)間超出30分鐘，超出部分按照0.5元/分鐘計(jì)費(fèi)；第三檔，騎行時(shí)間超出60分鐘，超出部分按照0.3元/分鐘計(jì)費(fèi).分段函數(shù)如下.

學(xué)生3提出“前30分鐘免費(fèi)，超出后每分鐘0.5元\"的單一分檔模型，認(rèn)為此規(guī)則能鼓勵(lì)長(zhǎng)途使用.教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算騎行70分鐘的費(fèi)用：前30分鐘免費(fèi)，后40分鐘按0.5元/分鐘計(jì)費(fèi)，總費(fèi)用為20元.對(duì)比未分檔的全程0.5元/分鐘計(jì)費(fèi)（35元），學(xué)生發(fā)現(xiàn)分檔設(shè)計(jì)確實(shí)降低長(zhǎng)途成本.教師進(jìn)一步引入荷蘭烏得勒支市“免費(fèi)騎行 + 分時(shí)計(jì)價(jià)”政策案例，指導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化模型：增設(shè)第二檔（ 30～60 分鐘0.5元/分鐘）和第三檔（超60分鐘部分0.3元/分鐘），使費(fèi)用增長(zhǎng)趨緩，更符合“鼓勵(lì)短途和超長(zhǎng)途、限制中途”的實(shí)際需求.

解析： 0?x?30 時(shí)， y=0 3060 時(shí)，斜率降為0.3（降低長(zhǎng)途使用成本）.優(yōu)化建議為增設(shè)“夜間折扣” （22：00- 6：00時(shí)段費(fèi)率減半）；添加“周末免費(fèi)時(shí)長(zhǎng)”，提升用戶黏性.

【設(shè)計(jì)意圖】通過跨情境任務(wù)遷移建模方法，學(xué)生自主設(shè)計(jì)規(guī)則、構(gòu)建函數(shù)、驗(yàn)證合理性，體會(huì)數(shù)學(xué)工具的普適性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維與實(shí)際問題解決能力.

2.5.5教學(xué)反思

本節(jié)課以階梯電價(jià)模型為載體，通過生活化情境驅(qū)動(dòng)學(xué)生完成“實(shí)際問題一數(shù)學(xué)表達(dá)一現(xiàn)實(shí)解讀”的完整建模過程.多數(shù)學(xué)生能掌握分段函數(shù)的建構(gòu)方法，并借助GeoGebra驗(yàn)證模型的連續(xù)性.課堂成效體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：一是學(xué)生通過對(duì)比單一電價(jià)與階梯電費(fèi)計(jì)算結(jié)果，深刻理解數(shù)學(xué)模型對(duì)政策目標(biāo)的解釋力；二是跨學(xué)科任務(wù)激發(fā)創(chuàng)新思維，部分小組提出“分時(shí)折扣”“碳積分獎(jiǎng)勵(lì)”等拓展方案，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)工具的社會(huì)價(jià)值；三是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)史的融合有效突破認(rèn)知難點(diǎn)，如動(dòng)態(tài)演示邊際成本的變化，化解區(qū)間端點(diǎn)歸屬爭(zhēng)議.然而，教學(xué)中仍存在部分問題，如少數(shù)學(xué)生對(duì)“超額累進(jìn)”邏輯轉(zhuǎn)化不熟練，需增加階梯水價(jià)、出租車計(jì)價(jià)等變式訓(xùn)練；模型驗(yàn)證環(huán)節(jié)偏重計(jì)算而忽略誤差分析，后續(xù)可引入真實(shí)電費(fèi)賬單數(shù)據(jù)對(duì)比，增強(qiáng)建模嚴(yán)謹(jǐn)性.總體而言，課程思政元素通過社會(huì)議題自然滲透，幫助學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問題過程中逐步形成用數(shù)學(xué)思維參與公共決策的意識(shí)

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