聚焦歸類探究提升核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱\"新課標\"指出：“數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.\"抽象函數主要考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等核心素養，同時滲透化歸與轉化等數學思想方法，如將抽象函數轉化為具體的正、余弦函數來進行運算求解.解答此類問題不僅需要學生具備較強的類比聯想能力，還要求其能夠選取或構造適合的數學模型，這對學生的甄別能力提出了較高要求.本文以2021—2025年高考試題為樣本，將數學試卷中的抽象函數問題劃分為四種類型進行研究，通過教學實踐分析抽象函數問題的評價功能和解法，探討如何在教學中發揮高考的正向積極導向作用，幫助學生夯實基礎知識，訓練基本技能，構建基本思想、積累基本經驗，從而激發創新意識，提升數學核心素養.

低，主要考查函數的定義以及周期性等基礎知識

例1（2025·新課標全國I卷數學第5題）設f（x） 是定義在 上且周期為2的偶函數，當 2?x? 3時， ，則 ）

解析： ，故選A.

試題分析：優秀的數學試題往往因其良好的情境設計而具有較強的推廣價值.教師可以根據問題的情境結構，將一個問題從小范圍情境拓展到更大范圍的情境中，從而加工出更具開放性的試題.3本題情境設計的本質在于考查函數的奇偶性與周期性，題干給出的函數可以具象化為正弦函數模型.教師可以此為例，引導學生探究函數奇偶性與周期函數的性質，并進一步解決以下問題

12021一2025年高考數學抽象函數試題分析

2025年高考試題延續了對傳統考點的考查，部分試題涉及的考點與往年相同.其中，高考必考考點“抽象函數\"如期出現在試卷的第5題，該題難度較問題1 f（x） 的對稱軸為多少？

問題2當 -2

除此之外，還可以對這道高考試題的情境結構進行拓展，如改變條件，將“ f（x）=5-2x ”改為4 f（x）=x²+3x f（x）=e^x ”或“ ”等，這充分體現了高考試題良好的情境結構性與設問的開放性.

高考抽象函數問題具有條件多變和綜合性強等特點，解答時需要把握函數的性質，如對稱性、奇偶性和周期性等，并根據問題特征構建具體函數.進一步地，本文系統梳理2021一2024年高考試題中抽象函數的考查方向，并進行知識模塊的重組整合（見表1），以幫助考生構建抽象函數知識體系.

表1

2高考命題題型歸類

2.1題型1：常規條件下的奇偶性、周期性問題

例2（2021·全國甲卷理科第12題）設函數f（x） 的定義域為 R，f（x+1） 為奇函數， f（x+2） 為偶函數，當 x∈[1，2] 時， f（x）=ax²+b. 若f（0）+f（3）=6 ，則

分析：試題條件隱含著這樣的數學問題，即“已知函數 f（a+bx） （其中 ^a，b 是非零常數）的奇偶性，判定函數 f（x） 的對稱性”.具體來說，若已知函數f（a+bx） 是定義在 上的偶函數，即這個函數關于y 軸對稱，也就是這個函數的自變量互為相反數時，它們的函數值相等，所以 f（a+bx）=f（a-bx） ，從而得出函數 f（x） 關于 x=a 對稱.同理，若已知函數 f（a+bx） 是定義在 上的奇函數，能夠得出函數 f（x） 關于 （a，0） 中心對稱.

因為 f（x+1） 是奇函數，所以 f（-x+1）= -f（x+1）①. 因為 f（x+2） 是偶函數，所以 f（x+

令 x=1 ，由 ① 得 f（0）= -f（2）=-（4a+b） ，由 ② 得 f（3）=f（1）=a+b ·因為 f（0）+f（3）=6 ，所以 -（4a+b）+a+b=6 =所以 a=-2. 令 x=0 ，由 ① 得 f（1）=-f（1） ，所以 f（1）=0 ，所以 b=2 ，所以 f（x）=-2x²+2

方法一：從定義入手.

（204號 ，所以

方法二：從周期性入手.

由 ① 得 f（x）=-f（-x+2）③. 聯立 ② 與 ③ ，得 f（x）=-f（x+2）④.

由 ④ 得 f（x+2）=-f（x+4）⑤. 聯立 ④ 與 ⑤ 得 f（x）=f（x+4） ，所以函數 f（x） 的周期 T=4 所以 ，故選D.

總結：例2中函數周期 T=4 ，也可以是8，12，…或 -4，-8，… ，根據函數的周期特性、軸對稱特性和中心對稱特性，自然聯想到將抽象函數具象化為基礎函數，對理解抽象函數有顯著成效.在解決函數性質類問題時，通常可以借助一些二級結論，達到簡化運算的效果.學生在抽象函數的題目訓練中培養了函數思維，也加深了對函數性質的理解，

2.2題型2：導數條件下的抽象函數問題

例3（2022·新課標全國I卷第12題） 已知函數 f（x） 及其導函數 f^′（x） 的定義域均為 ，記 g（x）= f^′（x） 若 均為偶函數，則（ ）.

A. f（0）=0 B. （204號 C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

分析：試題條件隱含著這樣的數學問題，即“已知原函數（可導）的奇偶性（或圖象的對稱性），判定導函數的奇偶性（或圖象的對稱性）”.具體來說，若函數 f（x） 的圖象關于點 （a，0） 中心對稱，則對任意的實數 x ，都有 f（a+x）=-f（a-x） .兩邊分別求導，得 f^′（a+x）=f^′（a-x） ，所以 f（x） 的導函數 f^′（x） 的圖象關于直線 x=a 對稱.同理，若函數 f（x） 的圖象關于直線 x=a 對稱，則對任意的實數 x ，都有 f（a+x）=f（a-x）. ，兩邊分別求導，得f^′（a+x）=-f^′（a-x） ，所以 f^′（x） 的導函數 f（x） 的圖象關于點 （a，0） 中心對稱.反之，若已知導函數的奇偶性或對稱性，也可以得知原函數的奇偶性.

方法一：對稱性和周期性的關系研究

對于 f（x） ，因為 為偶函數，所以 ，即 ，所以 f（3-x）=f（x） ，所以 f（x） 關于 x= 對稱，則 f（-1）=f（4） ，故C正確.

對于 g（x） ，因為 g（2+x） 為偶函數，所以g（2+x）=g（2-x），g（4-x）=g（x） ，所以 g（x） 關于 x=2 對稱.由 ① 求導，得 .因為 g^′∈（1）_D=f^′∈（1）_D ，所以 ，所以 g（3-x）+g（x）= 0，所以 g（x） 關于 對稱.因為 g（x） 定義域為 ，所以 同時結合 g（x） 關于 x=2 對稱，從而周期 ，所以 ，故B正確.

又因為 g（1）+g（2）=0 ，所以 g（-1）+g（2）= 0，故 D 錯誤.

若函數 f（x） 滿足題設條件，則函數 f（x）+ C（C 為常數）也滿足題設條件，所以無法確定 f（x） 的函數值，故A錯誤.

方法二：特殊值構造函數

由方法一知 g（x） 周期為2，且關于 x=2 對稱，故可設 g（x）=cos（πx） ，則 將選項逐一代入，知AD錯誤，故選BC.

方法三：直接推理.

因為 均為偶函數，所以 ，即 f ，所以 f（3-x）= f（x），g（4-x）=g（x） ，則 f（-1）=f（4） ，故C正確.

函數 f（x），g（x） 的圖象分別關于直線 0x=2 對稱， g（x）=f^′（x） ，且函數 f（x） 可導，所以g ，所以 g（4-x）= g（x）=-g（3-x） ，所以 g（x+2）=-g（x+1）= g（x） ，所以 ， g（1）=-g（2） ，故B正確，D錯誤.

若函數 f（x） 滿足題設條件，則函數 f（x）+ C（C 為常數）也滿足題設條件，所以無法確定 f（x） 的函數值，故A錯誤.

總結：例3通過對試題背后隱含性質的挖掘，考查學生的邏輯思維、數學抽象和數學模型意識.因此，在日常教學中，教師應充分發揮學生的主體性，引導其主動思考、積極探究，通過挖掘題目條件中隱含的數學性質，不斷深化其對數學本質的理解，在豐富和完善數學認知結構的同時，發展數學核心素養，

2.3題型3：多變量條件下的抽象函數問題

例4（2023·新課標全國I卷第11題）已知函數 f（x） 的定義域為 R，f（xy）=y²f（x）+x²f（y） ，則.

A. f（0）=0

B. f（1）=0 （204號

C. f（x） 是偶函數

D. x=0 為 f（x） 的極小值點分析：本題可利用賦值法，同時結合函數奇偶

性，可判斷選項ABC，舉反例 f（x）=0 即可排除選

項D.此外，對于選項D，還可構造特殊函數 f（x）=

，進行判斷.

方法一：賦值法.

f（xy）=y²f（x）+x²f（y）， ，對于選項A，令 x= y=0 ，則 f（0）=0f（0）+0f（0）=0 故A正確.

對于選項B，令 x=y=1 ，則 f（1）=1f（1）+ 1f（1） ，所以 f（1）=0 ，故B正確.

對于選項C，令 x=y=-1 ，則 f（1）=f（-1）+ f（-1）=2f（-1） ，所以 f（-1）=0. 令 ，則f（-x）=f（x）+x²f（-1）=f（x）. ，又因為函數f（x） 的定義域為 R ，所以 f（x） 為偶函數，故C正確.

對于選項D，不妨令 f（x）=0 ，顯然符合題設條件，但此時 f（x） 無極值，故 D 錯誤.

方法二：構造函數.

對于選項A、B、C，判斷方法同方法一.

對于選項D，當 x²y²≠0 時，對 f（xy）= y²f（x）+x²f（y） 等式兩邊同時除以 x²y² ，得到 故可以設 （20 ，則 圖象如圖1所示.當 xgt;0 時， ，則 f^′（x）= 令 f^′（x）lt;0 ，得 ；令 f^′（x）gt;0 ，得 ，故 f（x） 在（204號 上單調遞減，在 上單調遞增.因為 f（x） 為偶函數，所以 f（x） 在 上單調遞增，在 上單調遞減，顯然，此時 x= 0是 f（x） 的極大值點，故D錯誤.

圖1

總結：在教學過程中，教師在設計例題時應優先選擇具有多種解法的題目，啟發學生從不同角度對問題進行分析與處理.這不僅有助于培養學生的思維靈活性，更能促進學生形成解決一類問題的通用策略.例如，通過對例4不同解法的比較與分析，引導學生總結、歸納求解抽象函數問題的通用策略，并遷移至其他類似問題中靈活運用.此外，對于選擇題和填空題，教師還應啟發學生充分依據題型特點，快速、巧妙地解題，避免陷入題海戰術和套路式學習的困境.

2.4題型4：不等式條件下的抽象函數問題

例5（2024·新課標全國I卷第8題）已知函數 f（x） 的定義域為 R，f（x）gt;f（x-1）+f（x- 2），且當 xlt;3 時 f（x）=x ，則下列結論中一定正確的是.

A. f（10）gt;100 B. f（20）gt;1000

C. f（10）lt;1000 D. f（10）lt;10000

分析：本題的抽象函數問題與常規抽象函數問題存在顯著差異，其抽象函數關系是通過不等式表達的.題目的背景可以關聯到“斐波那契數列\"和“楊輝三角”.本題的解題過程充分考驗學生的思維嚴謹性、敏銳性、批判性，核心在于等式與不等式轉化、函數遞增的快慢比較等問題.依據題目條件，重點討論x?3 的整數情形.

解析：因為當 xlt;3 時， f（x）=x ，所以 f（1）= 1，f（2）=2. 又因為 f（x）gt;f（x-1）+f（x-2） .所以 f（3）gt;f（2）+f（1）=3，f（4）gt;f（3）+f（2）gt; 5，f（5）gt;f（4）+f（3）gt;8，f（6）gt;f（5）+f（4）gt; 13，f（7）gt;f（6）+f（5）gt;21，f（8）gt;f（7）+f（6）gt; 34，f（9）gt;f（8）+f（7）gt;55，f（10）gt;f（9）+ f（8）gt;89，f（11）gt;f（10）+f（9）gt;144，f（12）gt; f（11）+f（10）gt;233，f（13）gt;f（12）+f（11）gt;377， 號f（14）gt;f（13）+f（12）gt;610 . f（15）gt;f（14）+ 3）gt;987，f（16）gt;f（15）+f（14）gt;1 597. 顯然，f（20）gt;f（16）gt;1000 ，故選B.

注：先從第一個條件不難得到 f（3）gt;f（2）+ f（1） ，要探究 f（10），f（20） 可能的取值范圍，唯有借助遞推關系 f（x）gt;f（x-1）+f（x-2） .而直接借助這個不等式推理較難，可輔以定性分析.當 xgt; 3時， f（x）gt;f（2）+f（1） ，但“大多少”是不確定的，可以“大得很多”，這時函數 f（x） 遞增速度快；也可以“大得很少”，這時函數 f（x） 遞增速度慢

總結：這道題將函數與不等式等問題綜合起來，條件“ f（x）gt;f（x-1）+f（x-2）^！ \"引導學生由不等式問題聯想到函數問題.題目要求學生具備高階思維能力，重點考查了學生的分析能力和邏輯推理能力.此外，學生也易想到“斐波那契數列”，通過特例便可以遞推分析函數的范圍.本題的解題關鍵是利用 f（1）=1 . f（2）=2 以及函數不等式 f（x）gt; f（x-1）+f（x-2） ，代入函數值并結合不等式的同向可加性，不斷遞推.本題綜合性強，特別是對邏輯推理能力的考查，達到水平三的層次.

3總結反思

縱觀2021年到2025年高考對抽象函數的考查，可以發現其知識考查呈現出清晰的層次性：既注重基礎，又蘊含靈活應用性及思維深刻性，充分彰顯了數學知識的本質.4考生需要將題目情境設置融入既有認知結構中，建立關聯并將已有知識遷移運用到新情境中，進而選擇恰當方法并解決問題.[5在情境與問題的交互中，考查高階思維能力.情境與問題是思維之源，從情境出發，由問題的初始狀態轉向目標狀態，經歷發現并提出問題、運用創造性思維解決問題的過程，這一過程依賴于高階思維能力支撐.[6]例如，例5考查抽象函數具體化，即特殊賦值法的靈活運用，需要考生基于抽象函數的結構特點，精準設計賦值策略，從而有效解決問題

3.1深刻理解方法，探索構建思路

函數的單調性、周期性和對稱性是函數的核心性質，也是高中函數教學的重點內容.在探究這些性質時，考生應注重結合函數圖象進行直觀分析.無論是函數的周期性，還是函數的對稱性，均可以通過圖象直觀呈現.在解題過程中，考生要逐步深人，深刻理解函數的單調性、周期性和對稱性，并靈活運用解題方法，從而拓展思維能力.因此，教學中，教師應遵循由易到難、逐步深入的原則構建解題策略.此外，在解題探究過程中，教師應注重思維引導，幫助學生按照總結的思路和方法對問題進行分析，并強化同類型問題求解策略的掌握，進而構建個性化解題思路.

3.2重視分類歸納，合理分組

在教學探究過程中，教師應注重問題的總結歸納，可從三個視角展開：一是題設條件的構建特性，二是問題模型的構建特征，三是突破思路的構建特點.在應用探究過程中，要注意選用具有代表性的考題，必要時可對問題進行變式處理，讓學生深入體會解題思路，從而提升學生的解題能力.此外，教師在數學教學中，通過科學的分類歸納，幫助學生厘清知識脈絡；通過合理分組，強化題型解法訓練，提高邏輯思維能力，形成系統化的學習模式.

3.3關注“生成性”高考真題，培養探究意識

新高考“抽象函數”部分的試題，立足高中函數的相關知識內容，重點考查學生對概念、知識、原理的深層理解，突出數學學科“不斷生成\"的本質.例如，例1在保持傳統函數試題框架的同時有所創新，穩中求變，持續強化對基礎知識和關鍵能力的考查力度，呼應高中數學“生成性課堂\"的理念.題目設計突出主干知識，鼓勵學生在夯實基礎的前提下更加靈活主動地思考，同時加深對函數性質的理解，逐步構建出具有個性化特征的數學理解體系.

參考文獻

1中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]李慧.抽象函數甄別素養具象模型助力思考[J].高中數學教與學，2023（10）：55-57.

[3]吳景峰.情境視角下高中數學試題的命制啟示[J].中國數學教育，2025（8）：52-58.

[4]魯依玲，夏玉梅，寧連華.基于SOLO分類理論的高考數學試題分析—以2022年全國數學新高考I卷為例[J].數學教育學報，2023（3）：18-23.

[5]程明喜.小學數學“深度學習\"教學策略研究[J].數學教育學報，2019（4）：66-70.

[6]方立新，劉新春.促進數學高階思維實現的問題驅動教學—以“函數單調性”一輪復習為例[J].數學通報，2023（4）：49-52.