具有飽和感染率的脈沖控制SIR模型的全局動力學分析

中圖分類號：0175.2 文獻標志碼：A 文章編號：1000-2367（2025）05-0097-08

進入21世紀以來，全球范圍內多次暴發傳染病，一系列突發公共衛生事件引起了國際社會的關注，并對人口健康、經濟和社會發展產生了深遠影響.隨著社會經濟的增長和生態環境的變化，新發和再發傳染病不斷涌現，持續威脅全球公共衛生.例如，COVID-19疫情、埃博拉病毒、西尼羅河病毒、寨卡病毒等傳染病對人類健康構成了嚴重挑戰[1-2].因此，建立合適的傳染病數學模型，研究其動態特性和傳播規律，并據此制定有效的防控策略，已成為至關重要的任務[3].

疫苗接種是預防和控制各種傳染病的重要方法，已經取得了顯著成效，例如成功消滅了天花[4和大幅減少了麻疹的發病率[5.傳統的疫苗接種通常以連續的方式進行，許多研究認為這是控制疾病傳播的有效策略[6].然而，常規連續接種在應對疾病迅速傳播的情況下可能不足以迅速遏制疫情.為此，脈沖疫苗接種策略逐漸引起人們的關注.這種策略通過定期或不定期的脈沖接種，能夠在短時間內迅速提高免疫覆蓋率，特別適用于應對高傳染性、快速傳播的疾病.

脈沖疫苗接種的理論研究最早由 AGUR 等[7提出.此后，眾多研究者研究了一系列脈沖疫苗接種模型[8].先前的研究很多都將疫苗接種假設在固定的離散時間進行[9]，這符合實際中非連續定期實施干預措施的做法.然而，這種固定時刻的脈沖方式沒有考慮到傳染病的流行對干預措施的影響，可能導致醫療資源的浪費.因此，基于感染者或易感者數量來決定干預措施的實施時間可能更符合實際.

在傳染病模型中，感染率是一個關鍵參數，常見的形式包括雙線性感染率 βSI^[10] 、標準感染率[1] （其中 N 為總人口數）和飽和感染率[12] 等.當易感者人數較多時，與感染者接觸的易感者不會無限增大，感染率不會無限增長，而是趨于一個定值，也就是說，易感者與患病者之間的有效接觸會趨于飽和狀態，此時采用飽和感染率_BSI 率1+αS 這種形式，更能準確地揭示真實情形.

提出一類更能反映上述背景的具有飽和感染率 的狀態依賴反饋控制SIR模型，即考慮當易感者規模達到某個臨界值時，采取綜合控制策略，如對易感者進行脈沖接種，對感染者進行脈沖治療，更有效地控制疾病傳播，最大限度地減少感染人數.該模型中，控制措施的具體實施時間和強度取決于易感人群的閾值水平 S_t .文中定義了基本再生數 R₀ 和控制再生數 R_c ，并分析了 R₀ 對 R_c 的影響.同時證明了無病周期解的全局穩定性，并利用離散單參數族映射的分岔理論探討了系統中可能出現的分岔現象.最后，通過數值模擬驗證了所得結論，

1模型構建

考慮具有飽和感染率的SIR傳染病模型：

其中 為出生率， δ 為死亡率，γ為恢復率， β 為傳播率， α 為半飽和常數，記 和R（t） 分別為 Ψ_t 時刻的易感者、感染者和康復者， N（t）=S（t）+I（t）+R（t） 為總人口，可將其看作一個常數.考慮康復者 R（t） 不會二次感染，那么模型（1）變為

定義基本再生數 ，有如下引理.

引理1模型（2）總有無病平衡點 E₀=（K，0） ，當 R₀≤1 時， E_?0 為一個穩定的結點.

引理2模型（2）在 R₀gt;1 時，有唯一的地方病平衡點 E^?（S^?，I^?） ，其中

引理3當 R∈（1，R₁]∪[R，+∞） 時， E^?（S^?，I^? ）是一個穩定的結點；當 R₀∈（R₁，R₂） 時，E^?（S^?，I^?） 是一個穩定的焦點.其中，

2 Poincaré映射及其性質

當易感者規模達到閾值 S_t 時實施綜合控制策略，系統（2）引入如下脈沖控制措施

其中 η₁∈[0，1] 為最大疫苗接種率， η₂∈[0，1] 為最大治療率.

對于系統（2）定義等傾線為： .令l：S=S，，l4：S=Sa， （20其中 S_q=（1-η₁）S_t ：

定義以下兩個集合 V_st={（S，I）∣S=S_t，I≥0}，V_sq={（S，I）∣S=S_q，I≥0}. 2

易知初始點 在時刻 t 到達點 處，且 可以用 I_k⁺ 來定義 I_k+1 ，即 I_k+1=P（I_k⁺） .如果在點 P_k+1 處發生脈沖，則有 P_k+1⁺=（S_q，I_k+1⁺） ，其中 I_k+1⁺=（1- η₂）I_k+1 .因此，Poincaré映射 P_M 可以定義為： P_M（I_k⁺）=P（I_k⁺）+B（I_k+1）=I_k+1⁺ ，其中 B（I_k+1）=-η₂I_k+1 定義模型（3）的脈沖集為 M={（S，I）∣S=S_t，0≤I≤I_m} ，若 R≤1 ，則 I_m=P（I_sq） .定義連續函數為 .令 h（I）=（1-η₂）I ，定義相集 N=H（M）={（S⁺， I⁺）∣S⁺=S_q，0≤I⁺≤h（I_m）}

針對模型（3），重點關注以下區域： 定義 I₀⁺=Y 其中 Y∈N 并且 Ysq ，即 ，則 Y））dx ，其中 S_q≤S≤S_t .故 中的Poincaré映射 P_M 具有形式 P_M（I_k⁺）=I_k+1⁺=I（S_t，I_k⁺）+B（I（S_t，I_k⁺）） ，P_M（Y）=I（S_t，Y）+B（I（S_t，Y））=h（I（S_t，Y））.

定理1系統（3）在 R₀≤1 時，其Poincaré映射 P_M 的遞增和遞減區間分別為 [0，I_sq] 和 [I_sq，+∞] ，并且 P_M 在區間 [0，I_sq] 上是凹的.

證明 由式（4）可得 以及 2βS（Λ-δS）（1+αS）（βS-q（1+αS）） .如果R?！?并且S，≤S， 0和 由柯西-利普希茨參數定理知： 此外，由 P_M（Y）=（1-η₂）I（S_t，Y）= h（I（S_t，Y）） 有 I（x，Y））dx） ，且 dx.顯然（204號 h^′（I（S_t，Y））gt;0. 韓若 Y∈（0，I（S_q）] 則 聖且 ，即 P_M（Y） 連續可微在 （0，I_sq] 上凹.另外，也可得 P_M（Y） 在區間 （0，I_sq] 和 （I_sq，+∞） 上單增和單減.

令 I（t）=0 得系統（3）的無病子系統

記初始值 S₀=S（0⁺）=S_q ，可得周期解 S^T（t）=K+（S_q-K）exp（-δt） .當 S（t） 在 T 時刻與直線 l₃ 相交時，有S，=K+（S-K）exp（-δT）.因此.T= ，記模型（3）的周期解為 （S^T（t），0） ，則有以下結論.

定理2當 R₀≤1 時，模型（3）的無病周期解 （S^T（t），0） 是全局漸近穩定的.

證明 令（S，I）=S-S，q（S，I）=-S.β（s，I）=n則 （20 ，且 因此 tJ₁+J₂+J₃ ，其中， 進一步9有 （204號

下證 ∣μ₂∣lt;1 ，即 J₁+J₃lt;0. 顯然若 R₀≤1 ，則 J₃lt;0 而 J₁ 的符號不易判定，由于 K-S]，則當R≤1時，有丨μ丨lt;1，即系統（3）的無病周期解（S^T（t），0） 是軌道漸近穩定的.

對于 k≥0 ，假設 I_k⁺∈[0，S_q] 且脈沖點序列 I_k⁺ 在直線 l₄ 上當 R₀≤1 且 S≤S_t I_k⁺ s≤s_t I₀= 0.因此，系統（3）的無病周期解 （S^T（t），0） 是全局吸引的.

根據定理2的證明可知當 R₀lt;1 時有 μ₂lt;1. 因此，如果系統（2）不存在地方病平衡點，則系統（3）的無病周期解 （S^T（t），0） 是全局穩定的.那么，可以用乘子 μ₂ 表示控制再生數，記為

基本再生數 是在沒有任何干預措施的情況下，傳染病在完全易感人群中的傳播能力.它反映了疾病在不受干預的條件下傳播的潛在強度.而控制再生數 R_c 是在考慮了干預措施的前提下，衡量疾病傳播能力的指標.當 R₀≤1 時，控制基本再生數 R_c 恒小于1，并且隨著閾值 S_t 增加而逐漸下降，最終降至低于 R₀ 的水平.這意味著，在閾值 S_t 處實施綜合控制策略將獲得最佳控制結果.當 R₀gt;1 時，控制再生數 R_c 會呈現出復雜的趨勢.隨著 S_t 的增大， R_c 可能會超過1，從而系統出現分叉.此時若想控制效果達到最佳，可以將控制閾值取為 R_c 變化的最低點對應的 S_t 的值.

3 系統（3）的分岔現象

首先，將 R_c 視作為 η₁ 的函數，考慮 P_M（Y，η₁） 關于 η₁ 的分岔.易知 ，其中 K-S]，且S=（1-m）s，將R.（n））對n）求導得 δ（Aa+δ）（K-s））.易知，方程 有一個唯一解 S_q=S^* .因此，一定存在 ，且 當 時，有S^?q ，則 ；當 ，有 S^*gt;S_q ，則 因此，若 ，則存在 η₁^*∈ （20 使得 R_c（η₁^*）=1 ；若 R_c（1）lt;1 ，則存在 使得 R_c（η₁^**）=1

定理3若 S^*tc（1）lt;1 且 ，那么在 η₁=η₁^* 和 η₁=η₁^?* 處 P_M（Y，η₁） 發生跨臨界分岔現象，這表明當 η₁ 減小并低于 η₁^? 或增加并超過 η₁^** 時， P_M（Y，η₁） 出現不穩定的正不動點.即存在 εgt;0 足夠小，使得當 η₁∈（η₁^*-ε，η₁^*）?（η₁^**，η₁^**+ε） 時，模型（3）出現不穩定的正周期解.

證明由于 I（S;S_q，Y）=I（S，Y） ，那么 P_M（Y，η₁）=I（S_t，Y） .顯然 P_M（0，η₁）=I（S_h，0）=0 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第1個條件.由定理1的證明可知 ，則 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第2個條件.此外 （2號 （204號 表明 ，滿足了引理 A.2^[13] 的第3個條件.

下面驗證引理 A.2^[13] 的第4個條件，易知 （2a1（x，0）dx.令f1（x） 顯然 z₁（S_t）=R_c（η₁） 且z₁（S_q）=1-η₂ 又 令 （204號 若 η₁=η₁^* ，則 .由 f₁（x） 的不單調性，可得對于 x∈[S_q，S^?] ，函數 z₁（x） 單調遞減，對于 x∈[S^?，S_t] 則反之.因此 z₁（S_t）=R_c（η₁^?）= 1且 Z₁（S_q）=1-η₂ ，即對于任意的 x∈[S_q，S_t] 有 z₁（S^*）1（x）≤1 此外，由于 z_Φ2^′（Φ_x）= （（A-δx）（1+ax）2gt;0，則z2（x）在[S，S，]上單調遞增.進一步有」] .由于 ，則 類似可以得出 ，證畢.

接下來，將 R_c 視作為 S_t 的函數，考慮 P_M（Y，η₁） 關于 S_t 的分岔.易知 R_c（S_t）=（1-η₂）exp（J₁₃（S_t）） 其中 計算可得 （2號 令 ，則0 .若 S_q≤S^* ，則 u（S_q）≤0 ，又 （20號 若 S_qgt;S^* ，則 u（S_q）gt;0 ，又有 當 R₀gt;1 即 （αΛ-δ）S^*+Λ）≥（-αδ（S^*）²+（αΛ-δ）S^*+Λ）gt;0， ，因此 2^′（s）gt;0. 從而 （20號 （204 η₁）_ν（S_q）gt;0. （204

另外，由于 βα 因此有 ，其中S_t^*∈（S^?，K） .因此，根據 和引理 A.2^[13] 可得下列定理.

定理4若 S^*t0gt;1 ，那么在 S_t=S_t^* 處 P_M（Y，S_t） ）會發生跨臨界分岔現象，這表明當S_t 減小并低于 S_t^* 時， P_M（Y，η₁） 會出現一個不穩定的正不動點.也就是說，存在 εgt;0 足夠小，使得當 S_t∈ （S_t^?-ε，S_t^? ）時，模型（3）會出現不穩定的正周期解.

4數值模擬

本節將給出系統（3）的數值模擬.令 Λ=1，η₁=0.2，Λ=2.5，η₁=0.5 ，且令

β=0.015，α=0.001，δ=0.08，γ=0.3，η₂=0.1

可得圖1結果.從圖1可以看出，當 R₀≤1 時，控制基本再生數 R_c 恒小于1，并且隨著閾值 S_t 增加而逐漸下降，最終降至低于 R₀ 的水平.當 R₀gt;1 時，控制再生數 R_c 呈現出更復雜的趨勢.此時， R_c 不再與閾值 S_t 呈現單調關系.隨著 S_t 的增大， R_c 超過1，但會出現一個最小值.這說明若想使控制效果達到最佳，可以將控制閾值取為 R_c 變化的最低點對應的 S_t 的值.

圖1不同條件下""對R的影響

若取 Λ=1，η₁=0.2，S_t=6.78 和 Λ=2.5，η₁=0.4，S_t=27.5 ，其他參數同式（6），可以得到圖 2.圖2（a）滿足定理2的條件，可以看出系統（3）的無病周期解是全局漸近穩定的.此外，從圖 2（b）可以看出，當 R₀gt;1 時，地方病平衡點 E^? 和無病周期解穩定共存.

圖2系統（3）的動力學行為

Fig.2Dynamical behavior of system （3）

若取 Λ=2.5，η₁=0.2，S_t=20 ，其他參數同式（6），可以得到圖3.可以看出，系統在無脈沖控制的情況下會靠近平衡點 E^?（S^?，I^?） 從而導致疾病持久，而在實時控制的情況下，疾病可以消滅.

若分別取 Λ=2.2，η₂=0.08，S_t=27 和 Λ=2.5，η₁=0.2 ，其他參數同式（6），可以得到圖4（a）和圖4（b）.對于圖4（a），其參數值滿足定理3的條件，此時在 η₁=η₁^* 和 η₁=η₁^* 處會發生跨臨界分岔現象.對于圖4（b），其參數值滿足定理4的條件，此時在 S_t=S_t^* 處 P_M（Y，S_t） 會發生跨臨界分岔現象.

圖3 S_t≤S^*

圖4跨臨界分岔現象

Fig.4 Transcritical bifurcation phenomenon

5 結束語

本文研究了具有飽和感染率的狀態依賴脈沖控制的SIR 模型，定義了基本再生數 和控制再生數R_c ，研究了無病周期解的全局漸近穩定性，分析了Poincaré映射的性質并給出它發生跨臨界分岔的充分條件.最后利用數值模擬觀察了系統豐富的動力學行為，并檢驗了理論的正確性.本文的研究具有一定的應用性，但模型的簡化限制了其在實際事件中的應用.因此，建立一種更復雜更貼合實際的模型是下一步的研究重點.

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Dynamic analysis of a state-dependent feedback control SIR model with saturation incidence

Xie Dongliang，Jiao Caixia，Huang Song，Li Yongfeng （Zhengzhou Universityof Light Industry，School of Mathematics and Information Science，Zhengzhou 45ooo2，China）

Abstract：A state-dependent impulsivecontrol SIR model with asaturated infection rateis studied.The expression for theequilibriumpointsofthebasemodelandtheconditionsfortheirstabilityaregiven.Theexistenceandglobalstabilityof the disease-freeperiodic solutionof themodel withimpulsivecontrolare discused.Thepropertiesof the Poincaré mapare analyzed，andthebifurcatiophenomenaatthediseasefreeperiodicslutionareexamined.Finall，thecorrctnessof theonclu sions is verified through numerical simulations.

Keywords： infectious diseases； SIR model; saturation infection rate; pulse vacination; bifurcation

[責任編校 陳留院 楊浦]