直線與圓問題中的一題多解

直線與圓、圓與圓是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，試題的難度一般不大。但是圓的方程是二次方程，解題過程中運(yùn)算量較大。那么面對(duì)有關(guān)直線與圓、圓與圓的問題時(shí)，我們?cè)摬捎媚男┣蠼馔緩侥兀恳话阌袃煞N思路，即從幾何圖形或方程入手。從幾何圖形人手，需牢牢把握住直線、圓的幾何特征和性質(zhì)；從方程入手，解題過程中運(yùn)算量較大，常采用設(shè)而不求法，通過整體代換求得問題的答案。下面結(jié)合例題剖析直線與圓問題中的一題多解。

一、直線的斜率與傾斜角

例1 已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（-1，5），N（3，4） 。若直線 l：（2-m）x+ my-4=0 與線段 MN 相交，則 Ψ_m 的取值范圍為

解法一： （2-m）x+my-4=0 可化為（y-x）m+2x-4=0 0

由 得 則直線 ξ_l 過定，點(diǎn) P（2，2） 。

① 當(dāng) m=0 時(shí)，直線l： x=2 與線段MN相交，滿足題意。

② 當(dāng) m≠0 時(shí)，直線 ξ_l 的斜率

易知直線 MP 的斜率 k₁=-1 ，直線 NP 的斜率 k₂=2 。

因此， 或 解得 0

綜上可得， Ψ_m 的取值范圍為一2，1]。

解法二：由題意知 M，N 在直線 l 的兩側(cè)或直線 ι 經(jīng)過 M，N ，則 [-（2-m）+5m- 4]?[3（2-m）+4m-4]?0 ，解得一 2?m? 1。所以 Ψ_m 的取值范圍為［一2，1]。

解法三：易得經(jīng)過點(diǎn) M（-1，5），N（3，4） （2號(hào)的線段方程為 x+4y-19=0（4?y?5） 。與直線 l：（2-m）x+my-4=0 聯(lián)立，解得 y= （ 5m-82。所以4≤ ，解得一 2? m?1 。故 Σ_m 的取值范圍為 [-2，1] 。

點(diǎn)評(píng)：解法一，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解；解法二，根據(jù)直線與線段相交，利用“同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)”的性質(zhì)求解；解法三，利用方程思想進(jìn)行求解。

二、直線的方程

例2經(jīng)過點(diǎn) P（-1，-2） ，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為

解法一： ① 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，可設(shè)直線方程為 y=kx 。

由點(diǎn) P（-1，-2） ，得 -2=-k ，解得k=2 ，所以直線方程為 2x-y=0 。

② 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為 x+y=a 。

由點(diǎn) P（-1，-2） ，得 a=-1+（-2） ，解得 a=-3 ，所以直線方程為 x+y+3=0 。

解法二： ① 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，可設(shè)直線方程為 y=kx 。

由點(diǎn) P（-1，-2） ，得 -2=-k ，解得k=2 ，所以直線方程為 2x-y=0 。

② 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為O時(shí)，由題意知直線的斜率為一1。

直線經(jīng)過點(diǎn) P（-1，-2） ，則直線方程為y+2=-（x+1） ，即 x+y+3=0 。

解法三：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為 y+2=k（x+1） 。

令 x=0 ，則 y=k-2 。

令 y=0 ，則

由題意知 ，解得 k=2 或1。

故所求直線方程為 2x-y=0 或 x+ y+3=0 。

點(diǎn)評(píng)：解法一、二，利用分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合直線的斜率進(jìn)行求解；解法三，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解。

例3經(jīng)過兩條直線 2x-3y+10=0 （20與 3x+4y-2=0 的交點(diǎn)，且與直線 x- 3y+7=0 垂直的直線的方程為（ ）。

A. 3x+y-4=0B.3x+y+4=0

C. 3x-y+4=0D.3x-y+8=0

解法一：聯(lián)立 2x-3y+10=0 與 3x+ 4y-2=0 ，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為（一2，2）。

易知垂直于直線 x-3y+7=0 的直線的斜率為 。

故所求直線的方程為 y-2=-3（x+ 2），即 3x+y+4=0 。

故選B。

解法二：聯(lián)立 2x-3y+10=0 與 3x+ 4y-2=0 ，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為 （-2，2） 。

設(shè)垂直于直線 x-3y+7=0 的直線的方程為 3x+y+c=0 。代入交點(diǎn)坐標(biāo)，可得-6+2+c=0 ，解得 c=4 。

故所求直線的方程為 3x+y+4=0 。

故選B。

解法三：設(shè)所求直線的方程為 （2x-3y +10）+m（3x+4y-2）=0 ，即 （2+3m）x+ （4m-3）y+10-2m=0， 0

因?yàn)樗笾本€垂直于直線 x-3y+7= 0，所以 2+3m-3（4m-3）=0 ，解得 故所求直線的方程為 3x+y+4=0

故選B。

點(diǎn)評(píng)：解法一、二都是先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系和已知直線的斜率求解；解法三不用求交點(diǎn)坐標(biāo)，而是利用直線系方程，同時(shí)利用垂直于已知直線的斜率公式求解。

利用平行、垂直關(guān)系求直線方程的方法：

（1）平行關(guān)系，與直線 Ax+By+n=0 平行的直線方程可設(shè)為 Ax+By+m=0 ：

（2）垂直關(guān)系，與直線 Ax+By+n=0 垂直的直線方程可設(shè)為 Bx-Ay+m=0 。

三、直線方程的最值問題

例 4過點(diǎn)P（2，1）作一條直線l，使直線ξ_l 與 x 軸， 軸的正半軸相交，交點(diǎn)分別為 A ，B ，求 ΔAOB 面積最小時(shí)直線 ξ_l 的方程。

解法一：設(shè)直線 ξ_l 的方程為 ）。因?yàn)橹本€ ξ_l 過點(diǎn) P（2，1） ，所以

ΔAOB 的面積 1，可得 所以 ab?8 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 a=4，b=2 時(shí)等號(hào)成立，故ΔAOB 的面積最小值為4。此時(shí)直線 ξ_l 的方程為 ，即 x+2y-4=0 。

解法二：設(shè)直線 ξ_l 的斜率為 k（klt;0） ，則直線 ξ_l 的方程為 y-1=k（x-2） 。

y=0 ，可得 即

令 x=0 ，得 y=1-2k ，即 B（0，1-2k） 。

ΔAOB 的面積

因?yàn)?klt;0 ，所以

根據(jù)均值不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng)一 （2 時(shí)等號(hào)成立，即 s= 。當(dāng)—4k 時(shí)， ，此時(shí)直線 ι 的方程為 ，即 x+2y-4=0 。

點(diǎn)評(píng)：解法一，根據(jù)直線與 x 軸， 軸正半軸相交，可設(shè)直線方程的截距式求解；解法二，設(shè)出直線的斜率，先寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再分別求出直線與 x 軸， 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出 ΔAOB 的面積，最后求面積的最小值。

例5點(diǎn) （0，-1） 到直線 λx-y+λ=0 （λ 為任意實(shí)數(shù)）距離的最大值為（ ）。

解法一：點(diǎn) （0，-1） 到直線 λx-y+λ=0 的距離 0令 λ2+1，當(dāng)λ=0時(shí)，m=0。當(dāng) λ≠0 時(shí)， ，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知 0所以 m∈[-1，0）∪（0，1] 0故 。選 c 。

解法二：易知直線 λx-y+λ=0 過定點(diǎn)（—1，0），則點(diǎn) （0，-1） 到直線的距離最大值為定點(diǎn) （-1，0） 到 （0，-1） 的距離，即 。

故選 c 。

點(diǎn)評(píng)：解法一，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；解法二，利用直線過定點(diǎn)及數(shù)形結(jié)合求解。

四、直線與圓相交

例6已知圓 C：x²+y²-4x-2y-4 =0 與直線 l：x-2y+5=0 交于 A，B 兩點(diǎn)，則

解法一：圓 C：x²+y²-4x-2y-4= 0?（x-2）²+（y-1）²=9 ，故圓心 C（2，1） ，半徑 r=3 。

圓心到直線 ξ_l 的距離：

所以 。

解法二：直線 l：x-2y+5=0 與圓 C ·x²+y²-4x-2y-4=0 聯(lián)立，消去 整理可得 5x²-10x-11=0 ，解得 ，所以

結(jié)合題意可得

利用兩點(diǎn)距離公式可得 |AB|=4 。

解法三：設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 。直線l：x-2y+5=0 與圓 C：x²+y²-4x-2y- 4=0 聯(lián)立，消去 整理可得 5x²-10x-11 =0 。所以 x₁+x₂=2 ，

所以

點(diǎn)評(píng)：直線與圓相交時(shí)，弦長的求法有以下幾種。

（1）幾何法：利用圓的半徑 r ，圓心到直線的距離 ，弦長 ξ_l 之間的關(guān)系 r²=d²+ ，整理出弦長公式 。

（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求得，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長即可。

（3）弦長公式法：設(shè)直線 l：y=kx+b 與圓的交點(diǎn)為 （x₁，y₁），（x₂，y₂） ，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長表達(dá)式 。

五、直線與圓相切

例7過點(diǎn) P（3，-2） 且與圓 C：x²+ y²-2x-4y+1=0 相切的直線方程為

解法一：將圓 C 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）²+（y-2）²=4 ，得圓心 C（1，2） ，半徑r=2 。

當(dāng)過點(diǎn) P（3，-2） 的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為 x=3 ，與圓 C 相切，滿足題意。

當(dāng)過點(diǎn) P（3，-2） 的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為 y+2=k（x-3） ，即 kx-y- 3k-2=0 。

由圓心到直線的距離等于半徑可得 ，解得

此直線方程為 3x+4y-1=0 。

故答案為 x=3 或 3x+4y-1=0 。

解法二：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 A（m，n） ，將圓 C 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 （x-1）²+（y-2）²=4 0

則圓的切線方程為 （n-2）（_y-2）=4 。

點(diǎn) P（3，-2） 在圓 C 的切線上，則 （m- 1）?（3-1）+（n-2）?（-2-2）=4 ，即 m- 2n+1=0 。

切點(diǎn) A 在圓 C 上，所以 （m-1）²+（n- 2）²=4 。以上兩式聯(lián)立消去 Ψ_m ，整理可得5n2-12n+4=0，解得n=2或n=。

當(dāng) n=2 時(shí)， m=3 ，切線方程為 x=3 。

當(dāng) 時(shí)， ，切線方程為 3x+ 4y-1=0 。

綜上所述，所求切線方程為 x=3 或3x+4y-1=0 。

解法三：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 AΔ（m，n） ，則m²+n²-2m-4n+1=0， 0

又 ，故 （m-1，n-2）?（m-3 ，n+2）=0 ，即 （m-1）（m-3）+（n-2）（n+ 2）=0 。

兩個(gè)方程聯(lián)立，求出切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，切線方程為 x=3 。

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，切線方程為3x+4y-1=0 0

綜上所述，所求切線方程為 x=3 或3x+4y-1=0 。

解法四：將圓 C 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）²+（y-2）²=4 ，可知圓心 C（1，2） 。

以 CP 為直徑的圓的方程為 （x-2）²+ y²=5 。

以上兩個(gè)方程聯(lián)立，求出切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或

當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，切線方程為 x=3 。當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，切線方程為

3x+4y-1=0

綜上所述，所求切線方程為 x=3 或3x+4y-1=0. 中

點(diǎn)評(píng)：圓的切線方程的求法如下。

（1）點(diǎn) M（x₀，y₀） 在圓上，解法一：利用切線的斜率 k_l 與圓心 O 和點(diǎn) M 連線的斜率k_OM 的乘積等于—1，即 k_OM?k_l=-1 ；解法二：圓 ∵O 到直線 ξ_l 的距離等于半徑 r 。

（2）點(diǎn) M（x₀，y₀） 在圓外，可設(shè)切線方程為 y-y₀=k（x-x₀） ，變成一般式 kx-y+ y₀-kx₀=0 。因?yàn)榕c圓相切，所以利用圓心到直線的距離等于半徑，解出 k 。

注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上。

六、直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題

例8已知直線 l：mx+（5-2m）y- 和圓 O：x²+y²=4 ，則圓心 O 到直線 ξ_l 距離的最大值為（ ）。

解法一：由題意知，直線 mx+（5-2m） y-2=0 可化為 m（x-2y）+5y-2=0 。聯(lián)立 解得 ，即直線 ξ_l 過定點(diǎn)

，可得定點(diǎn) P 在圓內(nèi)。

由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離

故選 B 。

解法二：圓心 O 到直線 ξ_l 的距離 d= 所以當(dāng) m=2 時(shí)， 故選 B 。

（責(zé)任編輯 徐利杰）