重視教材習題 總結解題規律

在平時學習中，很多同學對教材的使用有這樣一個“誤區”，認為教材上的習題比較簡單，因此不重視教材習題的學習，殊不知這是一種本末倒置的做法。教材是數學學習和高考命題的根源，教材中的每個習題都是專家精挑細選出來的，非常典型且具有代表性。教材中很多習題是可以拓展延伸的，甚至一些習題是具有關聯性的，倘若在學習中能把這些相似題目“穿成串”，總結解題規律，就會達到“解一題，會一類，通一片\"的效果。下面對教材上的一道習題進行拓展延伸，得到一般化的結論，再利用該結論解決教材上七種類型的題目。

人教A版《數學選擇性必修第一冊》（以下簡稱：教材）第80頁拓廣探索第16題：

已知 λ 為任意實數，當 λ 變化時，方程（3x+4y-2）+λ（2x+y+2）=0 表示什么圖形？圖形有何特點？

解析：因為方程可化為 （2λ+3）_x+（λ+ 4）_y+2λ-2=0，λ 為任意實數，所以方程表示直線。

， 2由 得 而不管λ 取何值，方程 （3x+4y-2）+λ（2x+y+2） （204號=0 都不可能表示直線 2x+y+2=0 。

因此方程 （3x+4y-2）+λ（2x+y+2） =0 表示的圖形是：過直線 3x+4y-2=0 和直線 2x+y+2=0 的交點 （-2，2） 的直線（不包含直線 2x+y+2=0 。

評析：將上述方程中的兩直線方程分別用曲線 C₁：F₁（x，y）=0 和曲線 C₂：F₂（x，y）=0 代替，不難得到一般化的結論。設曲線 C₁ ：F₁（x，y）=0 和曲線 C₂：F₂（x，y）=0 是有公共點的兩條曲線，則 F₁（x，y）+λF₂（x，y）=0 a 為常數）表示經過曲線 C₁ 和曲線 C₂ 的交點的曲線（該曲線不包含曲線 C₂ ）。

下面我們采用該結論來處理教材上的幾道習題。

題型一求過兩條直線的交點的直線方程

例1（教材第72頁練習第3題）直線ξ_l 經過原點，且經過直線 2x-2y-1=0 與直線 6x-4y+1=0 的交點，求直線 ι 的方程。

解析：注意到直線 6x-4y+1=0 不過原點，所以可設所求的直線方程為 2x-2y- 1+λ（6x-4y+1）=0（λ∈R） ，將原點坐標代人得 -1+λ=0 ，即 λ=1 。

故直線 ι 的方程為 2x-2y-1+（6x- 4y+1）=0 ，即 4x-3y=0 。

例2（教材第79頁習題2.3第2題）求滿足下列條件的直線方程：

（1）經過兩條直線 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交點，且垂直于直線 3x- 2y+4=0 ;

（2）經過兩條直線 2x+y-8=0 和 x- 2y+1=0 的交點，且平行于直線 4x-3y- 7=0 。

解析：（1）注意到直線 3x+4y-2=0 與直線 3x-2y+4=0 不垂直，所以可設所求直線的方程為 2x-3y+10+λ（3x+4y-2） （24號χ=0（λ∈R） ，即 （2+3λ）_x+（4λ-3）_y+10- 2λ=0 。因直線與 3x-2y+4=0 垂直，故3（2+3λ）-2（4λ-3）=0 ，解得 λ=-12 。

故所求直線的方程為 2x-3y+10- 12（3x+4y-2）=0 ，即 2x+3y-2=0 。

（2）注意到直線 x-2y+1=0 與直線4x-3y-7=0 不平行，所以可設所求直線的方程為 2x+y-8+λ（x-2y+1）=0（λ∈ R） ，即 （2+λ）x+（1-2λ）y+λ-8=0 。因直線與 4x-3y-7=0 平行，故 4（1-2λ）= -3（2+λ） ，解得 λ=2 。

故所求直線的方程為 2x+y-8+ 2（x-2y+1）=0 ，即 4x-3y-6=0 。

評析：過兩條直線 l₁：A₁x+B₁y+C₁= 0和 l₂：A₂x+B₂y+C₂=0 的交點的直線均可設為 A₁x+B₁y+C₁+λ（A₂x+B₂y+ C₂）=0 （ λ∈R ，該直線不包含直線 A₂x+ B₂y+C₂=0） 。

題型二 求過直線與圓的交點的圓的方程

例3（教材第98頁習題2.5第3題改編）圓 C 過點 M（1，1） ，且經過直線 3x- y-6=0 與圓 x²+y²-2x-4y=0 的交點，求圓 C 的方程。

解析：設圓 C 的方程為 x²+y²-2x- 4y+λ（3x-y-6）=0（λ∈R） ，將 M（1，1） 代人得 -4-4λ=0 ，即 λ=-1 。

故圓 C 的方程為 x²+y²-2x-4y- （3x-y-6）=0 ，即 x²+y²-5x-3y+6=0. 0

評析：過直線 Ax+By+C=0 和圓 x²+ y²+Dx+Ey+F=0 的交點的圓均可設為x²+y²+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0 （λ∈R） 。

題型三 求過圓與圓的交點的圓的方程

例4（教材第98頁習題2.5第7題）求經過點 M（2，-2） 及圓 x²+y²-6x=0 與圓 x²+y²=4 的交點的圓的方程。

解析：注意到 M（2，-2） 不在圓 x²+y² =4 上，所以可設所求圓的方程為 x²+y²- 6x+λ（x²+y²-4）=0（λ∈R 且 λ≠-1） ，將M（2，-2） 代人得一 4+4λ=0 ，即 λ=1 。

故所求圓的方程為 x²+y²-6x+（x²+ y²-4）=0 ，即 x²+y²-3x-2=0 。

例5（教材第98頁習題2.5第8題）求圓心在直線 x-y-4=0 上，并且經過圓x²+y²+6x-4=0 與圓 x²+y²+6y-28= 0的交點的圓的方程。

解析：注意到圓 x²+y²+6y-28=0 的圓心 （0，-3） 不在直線 x-y-4=0 上，所以可設所求圓的方程為 x²+y²+6x-4+ λ（x²+y²+6y-28）=0（λ∈R 且 λ≠-1） ，即 ，圓心坐標為 ，將其代人 x- y-4=0 得 λ=-7 。

故所求圓的方程為 x²+y²+6x-4- 7（x²+y²+6y-28）=0 ，即 x²+y²-x+ 7y-32=0 。

評析：過圓 C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+ F₁=0 和圓 C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 的交點的圓均可設為 x²+y²+D₁x+E₁y+ F₁+λ（x²+y²+D₂x+E₂y+F₂）=0（λ∈R 且 λ≠-1 ，該圓不包含圓 C₂ ）。

特別地，當 λ=-1 時，若兩圓相交，則方程表示兩圓公共弦所在的直線方程；若兩圓相切，則方程表示兩圓有公共切點的公切線方程。比如2022年新高考I卷第14題：寫出與圓 x²+y²=1 和 （x-3）²+（y-4）²=16 都相切的一條直線方程。易得兩圓外切，所以兩個方程相減得 3x+4y-5=0 ，這樣就可以快速得到答案。

題型四 求與圓相切于圓上一定點的圓的方程

例6 （教材第98頁習題2.5第10題）求經過點 M（3，-1） ，且與圓 C：x²+y²+2x- 6y+5=0 相切于點 N（1，2） 的圓的方程。

解析：注意到 M（3，-1） 不在圓 C：x²+

y²+2x-6y+5=0 上，將點 N（1，2） 改寫為

圓 （x-1）²+（y-2）²=0 ，所以可設所求圓的

方程為 （x-1）²+（y-2）²+λ（x²+y²+

2x-6y+5）=0（λ∈R 且 λ≠-1） ，將 M（3） ，

^-1） 代人得 13+27λ=0 ，解得 。

故所求圓的方程為 （x-1）²+（y-2）²- ，即 x²+y²-

評析：本題型可看作題型三中兩圓相交得到的弦長“縮為一個點”，此時可將點P（x₀，y₀） 看作特殊的曲線“點圓”，即 （x- x₀）²+（y-y₀）²=0 ，而點 P（x_?，y_?） 在圓 c ：x²+y²+Dx+Ey+F=0 上，則與圓 C 相切于點 P 的圓的方程可設為 （x-x）²+ （y-y₀）²+λ（x²+y²+Dx+Ey+F）=0

（ λ∈R 且 λ≠-1） 。

題型五 求與直線相切于直線上一定點的圓的方程

例7（教材第103頁復習參考題2第16 題）求圓心在直線 y=-2x 上，并且經過點 A（2，-1） ，與直線 x+y=1 相切的圓的方程。

解析：注意到 A（2，-1） 在直線 x+y=1 上，所以 A（2，-1） 是切點。將點 A（2，-1） 視為點圓，其方程為 （x-2）²+（y+1）²=0 所以可設所求圓的方程為 （x-2）²+（y+1）² +λ（x+y-1）=0（λ∈R） ，即 x²+y²+（λ- 4）x+（λ+2）y+5-λ=0 ，圓心坐標為 ，將其代入 y=-2x 得 λ= 2。

故所求圓的方程為 x²+y²-2x+4y+3 =0 。

評析：點 P（x₀，y₀） 在直線 l：Ax+By+ C=0 上，則與直線 ι 相切于點 P 的圓的方程可設為 （x-x₀）²+（y-y₀）²+λ（Ax+By+ C）=0（λ∈R） 。

題型六 求圓關于直線對稱的圓的方程

若題型二中直線 l：Ax+By+C=0 和圓 Γ：x²+y²+Dx+Ey+F=0 無公共點，則所設的圓的方程 r^′：x²+y²+Dx+Ey+ F+λ（Ax+By+C）=0（λ∈R） 有何意義呢？

由題意知直線 l：Ax+By+C=0 的一個方向向量為 m=（-B，A） ，圓 Γ^′ 的圓心坐標為 圓 Γ 的圓心坐標為?_T 所以向量 ，滿足 ，即兩圓的圓心連線與直線 ξ_l 垂直，故方程 Γ^′ 表示圓心在過點 Γ 且與 ξ_l 垂直的直線上的圓，抓住這點可以快速求出圓關于直線對稱的圓的方程。

例8（教材第98頁習題2.5第5題）求與圓 C：x²+y²-x+2y=0 關于直線 ι：x -y+1=0 對稱的圓的方程。

解析：設所求圓的方程為 C^′：x²+y²- x+2y+λ（x-y+1）=0 ，則點 C^′ 坐標為 而點 c 坐標為 ，所以線段 （20 CC^′ 的中點 M 的坐標為 因點 M 在直線 ι 上，故 ，解得 λ=5 。

故所求圓的方程為 x²+y²-x+2y+ 5（x-y+1）=0 ，即 x²+y²+4x-3y+5=0 。

題型七 求點關于直線對稱的點的坐標

例9（教材第103頁復習參考題2第15 題改編）求點 C（-2，6） 關于直線 ι：3x- 4y+5=0 對稱的點 C^′ 的坐標。

解析：設以 C（-2，6） 為圓心， R 為半徑的圓的方程為 C：（x+2）²+（y-6）²=R² ，則圓 C 關于直線 ξ_l 對稱的圓 C^′ 的方程可設為（x+2）²+（y-6）²-R²+λ（3x-4y+5）= 0，故點 C^′ 坐標為 ，所以線段 CC^′ 的中點 M 的坐標為 因點 M 在直線 ξ_l 上，故 6）+5=0 ，解得 λ=-4 。

所以點 C^′ 的坐標為 （4，-2） 。

評析：從上述解題過程可以看出，半徑 R 只是起到了輔助作用，不管 R 取何正實數均滿足題意，這說明了不管直線 l：Ax+By+C =0 和圓 Γ：x²+y²+Dx+Ey+F=0 是否有公共點，圓 x²+y²+Dx+Ey+F+ λ（Ax+By+C）=0 的圓心均在過點 且與 ξ_l 垂直的直線上。

綜上所述，教材是學習的法寶，任何時候都不能丟，教材上的習題看似“其貌不揚”，但是經過挖掘可以得到很多有用的解題規律，這些規律“源于教材而又高于教材”，這正是高考備考中要“回歸教材”的一個重要原因，因此同學們要重視對教材的學習和研究，這樣才能實現知識、方法的遷移，從而提高解題效率。

（責任編輯 趙倩）