利用圓的定義構造隱圓來解題

有些數學問題將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關系。同學們解題時，需要先通過分析與探索，發現這些隱藏的圓（簡稱隱圓），再利用與圓有關的一些知識進行求解。利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱圓，這是常見的解題思路，下面舉例說明。

例1若直線m：x+3y+t=0上存在點 Q ，過點 Q 作圓 C：（x-3）²+y²=8 的兩條切線，切點分別為 E，F ，且 ∠EQF= 90^° ，則實數 Ψ_t 的取值范圍為

圖1

解析：圓 C 的圓心為 C（3，0） ，半徑為 。如圖1，連接 CE，CF ，由 ∠EQF=90^° QE 與 QF 是圓 C 的兩條切線，易得四邊形EQFC 是正方形，于是 。此時注意到動點 Q 與定點 c 的距離等于定長4，所以點 Q 在以（3，0）為圓心，半徑為4的圓上運動，記為圓 C^′ （圖中的虛線圓），圓C^′ 的方程為 （x-3）²+y²=16 。因為點 Q 既在圓 C^′ 上，又在直線 Ψ_mΨ_m 上，所以直線 Ψ_m 與圓C^′ 有公共點，即圓心 C^′（3，0） 到直線 Ψ_m 的距離 ，解得一 11?t?5 。

于是 Ψ_t 的取值范圍為 [-11，5] 0

變式1：若圓 C：（x-a）²+（y-a）²= 200上總存在兩個點到原點的距離為 ，則圓心 C 到直線 3x+4y=0 的距離 d 的取值范圍是

解析：由題意知這兩個點同在圓 C 和圓x²+y²=50 上，所以需要滿足條件 " 5lt;∣a∣lt;15 。

所以圓心 C 到直線 3x+4y=0 的距離

例2在平面直角坐標系 xOy 中，已知圓 C：x²+y²-6x+5=0 ，點 A，B 在圓 C 上，且 ，則 的最大值是

解析：如圖2，取 AB 的中點 D ，連接OD ，于是 ， ，問題轉化為求 的最大值，因此弄清點 D 的軌跡方程是求解的關鍵。

圖2

圓 C：（x-3）²+y²=4 ，圓心為 ξ^{C（3，0）} ，半 徑為2。連接 CD ，結合垂徑定理和勾股定理可 得 （20號

動點 D 在以 C（3，0） 為圓心，1為半徑的圓上運動，此圓的方程為 （x-3）²+y²=1 。

于是即求圓 （x-3）²+y²=1 上一動點D 到定點 o 距離的最大值，此最大值為 |OC| +1=4 ，故 的最大值是8。

反思：解題過程中多關注定點 c 并說明|CD| 是定值，從而求出動點 D 的軌跡方程是解決本題的關鍵。

變式2：在平面直角坐標系 _xOy 中，已知圓 O：x²+y²=16 ，點 P（1，2），M，N 為圓 O 上的不同的兩點，且 。若 ，則 的最小值為

解析：如圖3，取 MN 的中點 A ，連接 OA，ON 則 ， 問題轉化為求 的最小值。

圖3

點 P 是定點，求解本題的關鍵在于弄清點A 的軌跡方程。

設 A（x，y） ，因為 A 為 MN 的中點，所以 OA⊥MN ，則 ∣AN∣²=∣ON∣²-∣OA∣²= 16-（x²+y²） 。

又因為 ，所以 ∣PA∣= ∣AN∣ ，則 （x-1）²+（y-2）²=16-（x²+ y²） ，整理得

故點 A 在以 為圓心，半徑 R= 的圓上運動。

又定點 P（1，2） 在此圓內，因而求 ∣PA∣ 的最小值即求定點 P 與圓 B 上一點距離的最小值。

易知此最小值為 故 的最小值為 0

例3已知矩形 ABCD，AB=3，AD M 為邊 DC 上一點且 DM=1，AM 與BD 交于點 Q ，將 ΔADM 沿著 AM 折到點 P 的位置，則sin ∠PBQ 的最大值是（ ）。

解析：如圖4，由題意可知 AM⊥BD 于點 Q 。

將 ΔADM 沿著AM折到點 P 的過程，相當于在平面 BPD 中，點 P 繞著點 Q 旋轉的過程。此時 QP= ，即動點 P 到定點 Q 的距離等于定長 QP 。因此，點 P 的軌跡是以 Q 為圓心，" "Q" "為半徑的半個圓。

圖4

要使sin ∠PBQ 最大，結合圖5及函數 的單調性，可知當 與半圓 Q 相切時，si 最大。

圖5

因為 ，所以sin ∠PBQ 的最大值為 選 ?A 。（

反思：將空間問題轉化為平面問題是求解本題的關鍵。

變式3：在棱長為2的正方體 ABCD- A₁B₁C₁D₁ 中，點 P 為正方體表面上的一個動點，使直線 AP 與平面 ABCD 所成的角為45^° 的點 P 的軌跡總長度為

解析：假設點 P 在平面 DCC₁D₁ 或平面BCC₁B₁ 內，因為 ∠B₁AB=45^° ， ∠D₁AD= 45^° ，所以這種假設不成立。

若點 P 在平面 ADD₁A₁ 內，則點 P 的軌跡為線段 AD₁ ，長度為 。

若點 P 在平面 ABB₁A₁ 內，則點 P 的軌跡為線段 AB₁ ，長度為 。

若點 P 在平面 A₁B₁C₁D₁ 內，作PM上平面 ABCD ，如圖6所示。因為 ∠PAM=45^° ，所以 PM=AM 。又 PM=BB₁ ，故 AM=2 。

圖6

又 A₁P=AM ，故 A₁P=2 ，即在平面A₁B₁C₁D₁ 內，點 P 的軌跡是以 A₁ 為圓心，2為半徑的四分之一圓，其長度為 =π π。

綜上，點 P 的軌跡總長度為 。

（責任編輯 徐利杰）