應用圓錐曲線的定義解題

在圓錐曲線的解題中，回歸定義往往能化繁為簡、化難為易，讓解題過程事半功倍。下面通過具體例題，從軌跡求解、焦點三角形分析、離心率計算、最值探究四個維度，展現圓錐曲線定義在實戰中的巧妙應用，感受“追本溯源”的解題智慧。

一、應用定義求軌跡方程

例1已知雙曲線 的左、右焦點為 F₁、F₂、Q 是雙曲線右支上的動點，過 F₁ 作 ∠F₁QF₂ 的平分線的垂線，垂足為M ，求點 M 的軌跡方程。

解析：延長 QF₂ 交 F₁M 的延長線于 T ，則由角平分線的性質可得 ∣QF₁∣=∣QT∣，M 為 F₁T 的中點。由雙曲線的定義知 ∣QF₁∣- ∣QF₂∣=2a=6 ，故 ∣TF₂∣=∣QT∣-∣QF₂∣=6 。

連接 為原點），則 OM 是ΔF₁F₂T 的中位線，故 3，因此點 M 在以 ^° 為圓心，3為半徑的圓上，圓的方程為 x²+y²=9 。

當 Q 趨近于無窮遠時， M 趨近于漸近線與圓的交點，此時

又 QM⊥F₁M ，故 k_F1M=±2 。因為 ，所以直線 F₁M 的方程為 y=

將直線 F₁M 的方程與圓 x²+y²=9 聯立，解得

故點 M 的軌跡是以 ^° 為圓心，3為半徑的圓的一段優弧，該優弧以點 和 為端點（不包括這兩個端點）。

因此 M 的軌跡為 x²+y²=

評析：本題借助雙曲線的定義與角平分線的幾何性質，將動點 M 的軌跡問題轉化為與已知線段長度相關的問題，關鍵在于利用雙曲線的定義找到 ∣TF₂ 「的長度，進而通過中位線定理確定點 M 到原點的距離。易錯點在于忽略 Q 在雙曲線的右支上運動對 M 的軌跡范圍有限制。在解決此類問題時，同學們要善于挖掘圖形中的隱含條件，靈活運用幾何關系，將復雜的軌跡問題轉化為簡單的幾何量計算。

例2 動圓過定點 ，且與直線 相切，求動圓圓心 M 的軌跡方程。

解析：設圓心 M（x，y） ，定點 則點 M 到直線 的距離為

由題意得 即動點 M 到定點 F 與定直線 的距離相等，符合拋物線的定義。

故圓心 M 的軌跡方程為 y²=2px（pgt;0） 。

評析：本題緊扣拋物線的定義，將動圓的幾何性質轉化為點M到定點和定直線的距離關系。在解題過程中，對拋物線定義的準確理解和對圓的性質的運用是關鍵。同學們要清晰把握拋物線定義中“定點不在定直線上”這一條件，避免因條件遺漏而導致錯誤。對于此類軌跡方程的求解，同學們應培養從條件中敏銳捕捉符合圓錐曲線定義特征的能力，快速確定曲線類型，進而得出方程。

二、應用定義求解焦點三角形問題

例3 橢圓 的左、右焦點為 F₁?F₂ ，橢圓上一點 P 滿足 ，且 ΔPF₁F₂ 的面積為9，求 b 的值。

解析：由橢圓的定義知 ∣PF₁∣+∣PF₂∣ =2a 。因 ，故 ∣PF₁∣²+∣PF₂∣²= ∣F₁F₂∣²=4c² 。

由完全平方公式得 （∣PF₁∣+∣PF₂∣）²= ∣PF₁∣²+∣PF₂∣²+2∣PF₁∣∣PF₂∣ ，即 4a²= 4c²+2|PF₁||PF₂| ，解得 ∣PF₁∣∣PF₂∣=2b² 。

故△ .PF₁F₂ 的面積 9，解得 b=3 。

評析：本題綜合運用橢圓的定義與勾股定理，通過對焦點三角形三邊關系的代數轉化求解 b 的值。核心思路是利用橢圓的定義構建等式，結合直角三角形的性質進行化簡。同學們在解題時易在平方運算和等式變形過程中出錯，應熟練掌握完全平方公式及橢圓中 a ，_b，c 的關系。此類問題常通過設而不求的方法，將焦點三角形的邊長關系轉化為與 a，b，c 相關的等式，進而求解未知量，體現了圓錐曲線問題中定義與代數運算緊密結合的特點。

例4雙曲線 c 的左、右焦點為 F₁，F₂ ，過F₁ 的直線交雙曲線左支于 A，B 兩點，若 ∣AF₁∣ =2|F₁B|，|AB|=|BF₂| ，求co s∠F₁BF₂ 。

解析：設 ∣F₁B∣=m ，則 ∣AF₁∣=2m ，∣AB∣=∣BF₂∣=3m 。由雙曲線的定義得∣BF₂∣-∣BF₁∣=2a?3m-m=2a ，即 m= a 。又 ∣AF₂∣-∣AF₁∣=2a ，則 ∣AF₂∣=2a+ 2m=4a 。

在 ΔABF₂ 中， ∣AB∣=3a，∣BF₂∣=3a ∣AF₂∣=4a ，由余弦定理得cos ∠F₁BF₂= ，化簡得cos ∠F₁BF₂=

評析：本題通過設未知數，先依據雙曲線的定義逐步確定焦點三角形的各邊長度，再運用余弦定理求解角的余弦值。難點在于對雙曲線定義的多次應用及邊與邊關系的梳理。同學們易在定義的使用上產生混淆，要準確把握雙曲線的定義。解決此類問題，先明確雙曲線定義中各量的含義，再根據題目條件準確列出等式，然后利用三角形中的余弦定理建立與所求量的聯系，體現了圓錐曲線定義在解決焦點三角形問題中的有效作用。

三、應用定義求解離心率

例5 已知傾斜角為 60^° 的直線過橢圓 的左焦點 F₁ ，交橢圓于A，B 兩點，且 2∣BF₁∣=∣AF₁∣ ，求離心率 e 。

解析：設 ∣BF₁∣=m ，則 ∣AF₁∣=2m 。記 橢圓的右焦點為 F₂ ，則由橢圓的定義得 ∣AF₂∣=2a-2m，∣BF₂∣=2a-m 9

在 ΔAF₁F₂ 中， ∠AF₁F₂=60^° ，由余弦定理得 （2a-2m）²=（2m）²+（2c）²-2 ·（20號 2m?2c?cos60° ，化簡得 4a²-4c²=8ma- 4mc。

在 ΔBF₁F₂ 中， ∠BF₁F₂=120^° ，由余弦定理得 （2a-m）²=m²+（2c）²-2?m ·2c?cos120^° ，化簡得 4a²-4c²=4ma+2mc 。

故 8ma-4mc=4ma+2mc ，化簡得 c= ，因此

評析：本題借助橢圓的定義與余弦定理，通過設線段長度，建立關于 a，c 的等式求解離心率。關鍵在于根據直線的傾斜角確定焦點三角形的內角，準確運用余弦定理。在化簡過程中，計算量較大，同學們容易出錯，需仔細運算。此類問題通常將橢圓的定義、幾何圖形中的角度關系與余弦定理相結合，通過消元得到只含 a_λ，c 的方程，從而求解離心率，考查同學們綜合運用知識的能力。

例6已知雙曲線 bgt;0）， 的左、右焦點分別為 F₁?F₂ ，過點 F₁ 的直線與圓 x²+y²=a² 相切，交雙曲線左、右支于 A，B 兩點，若 |AB|=|BF₂| ，求離心率 Ψ_e 。

解析：由 ∣AB∣=∣BF₂∣ 得 ∣AF₁∣= ∣BF₁∣-∣AB∣=∣BF₁∣-∣BF₂∣=2a ，由雙曲線的定義得 ∣AF₂∣=∣AF₁∣+2a=4a 。

因直線與圓 x²+y²=a² 相切，故原點 O 到直線的距離為 a ，則sin ，故cos 。在 ΔAF₁F₂ 中，由余弦定理得cos ∠AFO=（2a）2+（2c）2-（4a）2 ，化簡得 c²-3a²=2ab 。

又因為 ，整理得 e⁴- 10e²+13=0 ，解得 。

評析：本題綜合運用雙曲線的定義、直線與圓相切的性質及余弦定理來求解離心率。解題的突破口在于利用雙曲線的定義確定線段長度關系，結合直線與圓相切得到角度的三角函數值，進而在焦點三角形中運用余弦定理。同學們需對各知識點有清晰的理解和熟練的運用能力，尤其是在等式變形和求解過程中，要注意運算的準確性。這類問題將多個幾何條件融合，突出了圓錐曲線定義在綜合問題中的紐帶作用，要求同學們具備較強的邏輯推理和運算求解能力。

四、應用定義求解最值問題

例7 已知橢圓 的左、右焦點為 A.B ，點 ，求 ∣MB∣+∣MC∣ 的取值范圍（ M 為橢圓上的點）。

解析：由橢圓的定義得 ∣MA∣+∣MB∣=2a =4 ，故 |MB|+|MC|=4-（|MA|-|MC|） 。

由題意知 A（-1，0） ，則

由三角形不等式得 ∣∣MA∣-∣MC∣∣? 故

當且僅當 M 為直線 AC 與橢圓的交點時取等號。

故 ∣MB∣+∣MC∣ 的取值范圍為

評析：本題巧妙利用橢圓的定義將 +|MC| 進行轉化，再結合三角形三邊關系求取值范圍。核心在于理解橢圓的定義，并靈活運用三角形不等式。同學們在解決此類問題時，容易忽視等號成立的條件，即 M 為直線 AC 與橢圓的交點。對于橢圓上點到兩焦點及其他定點距離和差的最值問題，常通過定義轉化為已知線段長度關系，借助幾何圖形的直觀性確定最值，體現了數形結合思想在圓錐曲線最值問題中的重要應用。

例8點 是圓 x²+（y -√5）2=1上的點，M是雙曲線x2γ2右支上的點，求 的最小值。

解析：雙曲線的右焦點為 ，由雙曲線的定義得 ∣MA∣-∣MD∣=2a=2? ∣MA∣=∣MD∣+2 。故 ∣MA∣+∣MB∣= ∣MD∣+∣MB∣+2≥∣BD∣+2， 0

因為 B 是圓 上的點，其圓心為 ，半徑 r=1 ，故 ∣BD∣? （2號

因此 ，當點 M，B 在線段 CD 上時取等號。

故 ∣MA∣+∣MB∣ 的最小值為 。

評析：本題通過雙曲線的定義將 進行轉化，把問題轉化為雙曲線上一點到雙曲線右焦點及圓上一點距離之和的最小值問題。關鍵在于準確找到雙曲線的焦點，先利用定義進行距離的轉化，再結合圓的性質和兩點間距離公式求解。同學們在思考過程中，可能難以想到通過雙曲線的定義將問題進行有效轉化。解決此類問題的關鍵是對圓錐曲線定義的深刻理解，以及對幾何圖形中各元素關系的敏銳觀察，將復雜的距離最值問題逐步簡化為可求解的幾何量關系。

（責任編輯趙倩）