初中數學解題教學引導學生深度思考的探索與實踐

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）26-0015-04

數學作為一門思維學科，其教學不應僅停留在知識與技能的傳授上，更應深入思維層面，著力培養學生的數學思維；引導學生學會學習、學會思考，深刻、準確地理解與掌握數學知識和方法，把握數學本質與規律，養成主動探索、深度思考的學習習慣，培養自主學習能力.

解題教學是數學教學的重點，也是培養學生解決問題能力的關鍵環節.學生解題能力的形成與發展，不僅依賴于扎實的數學基礎，還需要清晰的解題思路、靈活的數學思維以及較強的應變能力.在解題教學中，教師應引導學生深度思考，讓他們在解題訓練中學會主動探索、深度思考、自我歸納，對問題的解決方法做到舉一反三，進而全面系統地認知數學、理解數學、反思數學與應用數學，形成完整的數學知識結構、技能結構、思維結構和素養結構.

引導學生深度思考是實現數學知識系統化、條理化、整體化與結構化的重要途徑，也是發展學生數學思維、提升學生數學核心素養的有效手段．在初中數學解題教學中引導學生深度思考，可從解題思路的探索、解題方法的總結、一題多解與一題多變的訓練、解題后的回顧反思等方面入手.

一、在解題思路的探索中引導學生深度思考

解題思路是解決數學問題的總體策略和思考路徑，它建立在對數學問題的全面理解和整體規劃上.清晰的解題思路是成功解題的關鍵.“探索解題思路”作為解題的起點，本質上是一個從已知條件出發推向結論，或從所求結論人手倒推所需條件的雙向思維過程，包括理解題意、分析問題、形成思路、實現思路、回顧驗證等環節.

下面結合一道具體例題加以說明：在 ΔABC 中， AB=AC ，點 D 是 BC 的中點.連接 _AD ，并延長至點 E ，使得 AD=DE ，連接 BE ，CE.求證：四邊形ABEC是平行四邊形.

我們可通過以下環節探索解題思路，引導學生深度思考.

1.理解題意：明確已知條件和需要證明的結論.

已知：在 ΔABC 中， AB=AC，D 是 BC 的中點，AD=DE

求證：四邊形ABEC是平行四邊形.

2.分析問題：梳理已知條件和未知量之間的關系.如由 AB=AC 可知 ΔABC 是等腰三角形， AD 既是中線也是高線； E 是 AD 延長線上的點 ，AD=DE ，所以 AE=2AD

3.形成思路：確定解題的大致步驟.如證明AB//CE 且 AB=CE ，或者證明對角線互相平分.

4.實現思路：按照解題步驟進行計算和推理.如利用中點和延長線的性質，證明 AB//CE 且 AB= CE.

5.回顧驗證：檢查結果是否正確，反思解題過程.如認真確認每一步的邏輯是否正確、嚴密，結論是否符合平行四邊形的定義或判定.

在探索解題思路的過程中，除明確上述環節外，還應引導學生掌握問題分解、多角度分析、類比遷移、逆向思維等方法.通過具體環節與方法引領，引導學生審視題自主要知識點與常見結論，回顧類似問題及常用解法，思考方法能否直接應用或可借鑒哪些思路，逐步形成清晰的解題路徑.通過此類訓練，學生能根據題目條件選擇最適宜的方法，比較不同方法的優劣，理解其適用條件，并在解題過程中調整優化策略，形成自己的解題方法和思維模式，提升解題能力和思維品質.

二、在解題方法的總結中引導學生深度思考

解題方法是實現解題思路的具體技巧與工具，代數法、幾何法、數形結合法、歸納法、反證法等均為典型的解題方法.熟練掌握這些解題方法是有效實現解題思路的基礎.因此，解題教學應注重解題

方法的總結.

首先，要總結具體問題的解題方法.例如，證明一個四邊形是平行四邊形，常見思路有： ① 證明兩組對邊分別平行； ② 證明兩組對邊分別相等； ③ 證明一組對邊平行且相等； ④ 證明兩組對角分別相等； ⑤ 證明對角線互相平分.在強調和重視解題思路的同時，教師要不斷引導學生總結“證明邊平行”“證明邊相等”“證明角相等”的常用方法.以“證明角相等”為例，常見方法有：對頂角相等；同角或等角的補角（余角）相等；兩直線平行，同位角（或內錯角）相等；等邊對等角；等腰三角形底邊上的高（或中線）平分頂角；全等（相似）三角形對應角相等；平行四邊形的對角相等；菱形的每條對角線平分一組對角；同弧或等弧所對的圓周角相等；弦切角等于它所夾的弧對的圓周角等.

其次，要總結常見幾何模型的解決方法，如“角平分線 + 平行線\"模型、“角平分線 + 垂線\"模型、中點模型、線段的和差模型等.

例如，湘教版數學教材八年級下冊第57頁習題5：“證明：過三角形一邊中點且與另一邊平行的直線必平分第三邊.”該問題的本質是“中點 + 平行線\"模型的應用，教師可引導學生進行如下思考：

思考一：如圖1，過點 D 作 DF//AC 交 BC 于 F 則四邊形DFCE是什么四邊形？這樣能否解決問題？

思考二：如圖2，過 E 作 EF//AB 交 BC 于 F ，情況又怎么樣呢？

圖1

圖2

思考三：如圖3，過 C 作 CF//AB 交 DE 的延長線 于 F ，情況又怎么樣呢？

思考四：如圖4，延長 ED 至 F ，使 DF=DE ，連接 BF ，情況又怎么樣呢？

圖3

圖4

通過引導學生從不同的角度進行思考，讓學生感受思維的力量，深化解題思路.通過“倍長中線”

與“聯系中位線”兩條思路，很好地總結了中點問題的基本解題思路和方法，提升了學生分析與解決問題的能力.

三、在一題多解的訓練中引導學生深度思考

一題多解是引導學生從不同視角和思維方向出發，分析同一問題中的數量關系、位置關系，進而獲得多種解法的訓練過程.這種訓練有助于打破思維定式，深化學生對知識的理解.

例如，以湘教版數學教材八年級下冊第25頁練習2：如圖5，在 ΔABC 中 ，AD⊥DE，BE⊥DE AC，BC 分別平分 ∠BAD，∠ABE ，點 c 在線段 DE 上.求證： AB= AD+BE

圖5

在教學中，教師引導學生從不同角度進行思考，探索多種證明方法.

思考一：如圖6，過點 c 作CF⊥AB 交 ?? 于 F ， ΔACD 與ΔACF 及 ΔBCE 與 ΔBCF 有什么關系？

圖6

思考二：如圖6，在 AB 上截取 AF=AD ， ΔACD 與 ΔACF 及 ΔBCE 與 ΔBCF 又有什么關系？

思考三：如圖6，在 AB 上截取 BF=BE ，連接CF ， ΔACD 與 ΔACF 及 ΔBCE 與 ΔBCF 的關系有變化嗎？

思考四：如圖7，延長 AD 至F ，使 DF=BE ，連接 CF，ΔBCE 與 ΔDCF 有什么關系？ ΔABF 又是什么三角形？

圖7思考五：在圖5的基礎上延長BE 到 F ，使 EF=AD ， ΔACD 與 ΔFEC 又有什么關系？ ΔABF 又是什么三角形？

思考六：在圖5的基礎上延長 AC，BE 相交于 F 情況又怎么樣呢？

通過一題多解，引導學生從不同角度分析同一個問題，嘗試多種解題方法，有助于拓寬學生的思維視野，培養學生的發散思維，加深學生對數學知識的理解.例如，在證明線段和差關系的問題中，引導學生從“截長”和“補短\"兩種思路入手，探索多種解法，既加強了知識之間的聯系，也培養了學生思維的主動性和靈活性.

教材中許多問題都有多種不同的解法.通過引導學生從不同角度探求同一個問題的不同解法，引出相關的多個知識點和解題方案能夠幫助學生鞏固和拓展知識、培養學生思維的變通性與獨創性，激發其創新意識.

四、在一題多變的訓練中引導學生深度思考

一題多變是通過改變原題條件、互換結論、調整圖形結構等方式，衍生出一系列問題的訓練.它有助于學生構建系統化知識網絡，培養思維的靈活性與創造性.

例如，以湘教版數學教材八年級下冊第47頁例7：如圖8 .?ABCD 的對角線AC，BD 相交于 o ，點 E，F 在 BD 上，且 OE=OF. 求證：四邊形AECF 是平行四邊形.

圖8

教師可引導學生進行如下變式思考：

思考一：若增加條件“ ∠EAO+∠CFD=180^°，， ，結論有什么變化？

思考二：將條件“ OE=OF 改為 ，結論是否依然成立？此變式可直接轉化為教材第50頁習題6：如圖9，已知 E，F 是口ABCD對角線 AC 上的兩點，并且AE=CF. 求證：四邊形EBFD是

圖9

思考三：將“ OE=OF ”改為^?AE⊥BD，CF⊥BD^， ，即教材第50頁習題10：如圖 10，?ABCD 中， AE⊥BD ， CF⊥BD ，垂足分別為 E，F. 求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖10

思考四：將原題中的“平行四邊形”改成“菱形”，即菱形 ABCD 中，對角線 AC，BD 相交于點 o E，F 在 BD 上，且 OE=OF. 求證：四邊形AECF是正方形.

思考五：將思考四中的條件“ OE=OF^′ 改為4 OE=OF=OA^′ ，求證：四邊形AECF是正方形.

通過一題多變，教師可對問題的條件或形式進行合理調整，引導學生從多角度理解和應用數學概念，發現概念間的關聯，從而加深學生對概念本質的理解，構建系統的知識網絡.這種方式有助于調動學生思維的積極性，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題能力，并培養學生的應變力、想象力和創造力.一題多變還可以幫助學生學會靈活應對各種變化，增強解決問題的適應性與靈活性，逐步形成自己的解題策略和思維模式.同時，它也有助于將實際問題轉化為數學模型，提升學生的數學建模與應用能力.例如上述例子，以問題探究為中心，對教材典型習題進行一題多變，有效培養了學生的探究意識，激發了學生的創造熱情，提高了學生的知識整合與獲取能力，推動學生的數學思維向更深層次發展.

五、在解題后的回顧反思中引導學生深度思考

解題后的回顧反思是數學解題過程中的重要環節，屬于系統性的高層次思維活動，它包括對解題過程的回顧、問題的反思、方法的總結以及能力的提升.在學生解決問題后，教師應引導他們深入反思：題目的命題意圖、考查的核心知識與能力、解題結論的合理性、條件使用的完備性、推理依據的嚴密性，以及是否存在其他解法、能否推廣到同類問題等.這種反思有助于學生整合數學知識，發現解題規律，改進解題方法，是實現“舉一反三\"的重要途徑.因此，在解題教學中，教師應高度重視并加強回顧與反思的訓練，引導學生把握問題本質與核心知識，發現不同問題間的內在聯系，加深對數學知識的理解，提升學習效率與思維品質.

例如，2024年廣西初中數學學業水平考試第26題：

如圖 11，ΔABC 中， ∠B=90^° ，AB=6.AC 的垂直平分線分別交^AC，AB 于點 M，O，CO 平分 ∠ACB ：

圖11

（1）求證： ΔABCΔCBO

（2）如圖12，將 ΔAOC 繞點 o 逆時針旋轉得到 ΔA^′OC^′ ，旋轉 角為 α（0^°lt;αlt;360^°） .連接 A^′M C^′M.

圖12

① 求 ΔA^′MC^′ 面積的最大值及此時旋轉角 α 的度數，并說明理由;

② 當 ΔA^′MC^′ 是直角三角形時，請直接寫出旋轉角 α 的度數.

在本課例教學中，教師可引導學生從以下方面進行回顧反思，以提升思維深度，

1.回顧解題過程.重新審視題目關鍵信息，檢查是否符合題意、是否遺漏條件、是否存在邏輯漏洞，確認結果的正確性.通過完整審視已知條件與解題步驟，確保推理嚴密、過程完整，從而提升思維嚴謹性.

2.反思解題方法.檢查解題過程有無計算、邏輯錯誤或理解偏差，明確所遇困難及其成因，探索更高效、更簡潔的解法.這一過程有助于學生優化解題策略，提升解題能力。

3.總結解題經驗.總結解決此類問題的通用方法與技巧，反思“這道題涉及哪些知識點？”“這些知識點如何應用？”“這類問題的解題模式是什么？”“哪些知識點是核心？”，進一步提煉核心知識，明確解題中用到的核心概念和定理，提高知識熟練度.

4.拓展解題思路.思考題目能否進行推廣或變式，嘗試解決更復雜的問題.如將 ΔABC 改為其他三角形或將旋轉中心改為其他點，分析題目會如何變化，進一步思考所用策略是否適用于其他情境，促進解題思路的遷移與拓展.

通過對解題過程進行多角度、全方位的反思、回顧與拓展，能夠幫助學生系統鞏固含 30^° 角的直角三角形的性質、垂直平分線的性質、勾股定理、旋轉等相關知識，從而將數學學習引向深度思考.

總之，初中數學解題教學以引導學生深度思考為核心目標，通過思維訓練促進學生深人理解、靈活應用與有效遷移數學知識，提升知識整合和問題解決能力.引導學生深度思考是培養學生問題解決能力、提升學生思維品質、發展學生數學核心素養的重要途徑和有效方法.因此，探索如何在解題教學中引導學生深度思考具有重要的實踐意義.

（責任編輯 黃春香）