談?wù)剬?duì)稱直線解析式的求法

在初中階段，對(duì)稱變換通常集中于直線y=kx+b 關(guān)于某些特殊點(diǎn)或特殊直線的對(duì)稱，如關(guān)于 x 軸 ??y 軸、原點(diǎn)、直線 y=x 、直線y=-x 對(duì)稱，或關(guān)于 x=t，y=t (t為已知數(shù)）對(duì)稱如何快速求這條對(duì)稱直線的解析式呢？本文對(duì)這類問(wèn)題的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了總結(jié)，并結(jié)合例題探討了不同情況下解析式的求法.

類型1：求關(guān)于 x 軸對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 l 與直線 y=kx+b 關(guān)于 x 軸對(duì) 稱，則直線 l 的解析式為 y=-kx-b

求法分析：設(shè) l 上任意一點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ?(x，y) ！則點(diǎn) A(x，y) 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即為點(diǎn) B(x，-y) ，點(diǎn) B 在直線 y=kx+b 上，代入解析式有 -y=kx+b， 即y=-kx-b

例1若直線 l 與直線 y=-x-2 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，求直線 l 的解析式

解析：設(shè)直線 l 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，

則關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn) (x，-y) 在 y=-x-2 上，代入得 -y=-x-2

所以關(guān)于 x 軸對(duì)稱的直線 l 的解析式為y=x+2

類型2：求關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 l 與直線 y=kx+b 關(guān)于 y 軸對(duì) 稱，則直線 l 的解析式為 y=-kx+b

求法分析：設(shè)l上任意一點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (x，y) 則點(diǎn) A(x，y) 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即為點(diǎn) B(-x，y) 點(diǎn) B(-x，y) 應(yīng)當(dāng)在直線 y=kx+b 上，代入解析式有 y=-kx+b. 即 y=-kx+b

例2若直線 l 與直線 y=5x+4 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，求直線 l 的解析式

解析：設(shè)直線 l 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，

則關(guān)于 y 軸對(duì)稱的點(diǎn) (-x，y) 在 y=5x+4 上，代入得 y=-5x+4 ，

所以直線 l 的解析式為 y=-5x+4 類型3：求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 l 與直線 y=kx+b 關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱，則直線 l 的解析式為 y=kx-b

求法分析：設(shè) l 上任意一點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ?(x，y) 則其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (-x，-y) 應(yīng)當(dāng)在直線 y=kx+b 上，代人得 -y=-kx+b， 即 y= kx-b

例3求與直線 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的 直線 l 的解析式.

解析：設(shè)直線 l 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，

則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (-x，-y) 在 上，代入得 ，

所以直線 l 的解析式為

類型4：求關(guān)于 y=x 對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 l 與直線 y=kx+b 關(guān)于 y=x 對(duì)稱，則直線ι的解析式為??=- ( k≠0 ）.

求法分析：設(shè)直線 l 上某一點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(x，y) ，點(diǎn) A 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (y，x) ，點(diǎn) B 一定在直線 y=kx+b 上.把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入到它所在的直線 y=kx+b 上，得到直線l的解析式為y=-

例4已知直線 y=kx+b 與直線 y=-3x+7 關(guān)于 y=x 對(duì)稱，求 k，b 的值.

解析：設(shè)直線 y=kx+b 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，則關(guān)于 y=x 對(duì)稱的點(diǎn) (y，x) 在 y=-3x+7 上，代入得 ，所以直線 l 的解析式為 所以 （2號(hào)業(yè)

類型5：求關(guān)于 x=t(t≠0) 對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 ξ_l 與直線 y=kx+b 關(guān)于直線 對(duì)稱，則直線 ξ_l 的解析式為y=-kx+2kt+b ：

求法分析：設(shè)直線 l 上的某一點(diǎn) A 的坐標(biāo)

為 (x，y) ，點(diǎn) A 關(guān)于直線 x=t 對(duì)稱的點(diǎn)為 B 自

(x^′，y^′) ，則兩坐標(biāo)存在的關(guān)系為 解

得 {x'=2t-χ因?yàn)锽(2t-x，y)）一定在直線

y=kx+b 上把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入到它所在的直線

y=kx+b 中，得到 l 的解析式為 y=-kx+2kt+b ·

例5求直線 l₁ y=2x+3 關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱的直線 l₂ 的解析式.

解析：設(shè)直線 l₂ 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，則關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱的點(diǎn) (2-x，y) 在直線 y=2x+3 上，代入得 y=-2x+7 ，

所以直線 l₂ 解析式為 y=-2x+7 ·

類型6：求關(guān)于 y=t(t≠0) 對(duì)稱的直線的解析式

結(jié)論：若直線 l 與直線 y=kx+b 關(guān)于直線y=t （ Λ_t≠0 對(duì)稱，則直線 ξ_l 的解析式為y=kx+2t+b ：

求法分析：設(shè)直線 ξ_l 上的某一點(diǎn) A(x，y) 點(diǎn) A 關(guān)于直線 y=t 對(duì)稱的點(diǎn) B(x^′，y^′) ，則兩點(diǎn)坐標(biāo)存在的關(guān)系為 解得， 一定在直線 y=kx+b 上.把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代人到它所在的直線 y=kx+b 中，得到直線 l 的解析式為- y=kx+2t-b ：

例6求直線 關(guān)于直線 y=4 對(duì)稱的直線 l₂ 的解析式.

解析：設(shè)直線 l₂ 上任意一點(diǎn)為 (x，y) ，

則關(guān)于直線 y=4 對(duì)稱的點(diǎn) 在直線y=2x+6上，

代入得 ，所以直線 l₂ 的解析式為

求對(duì)稱直線的解析式的方法都是一樣的，即由點(diǎn)及線，先推導(dǎo)出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后設(shè)待求對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，以及關(guān)于某點(diǎn)或某直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，由于該對(duì)稱點(diǎn)一定在已知直線上，因此將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知直線的解析式中，最后經(jīng)過(guò)變形整理得到待求的對(duì)稱直線的解析式