怎樣求解二次函數中的三角形面積問題

二次函數是初中數學代數部分的核心內容，當將二次函數圖象與幾何圖形中的三角形相結合時，所產生的三角形面積問題具有一定的難度和深度.這類問題不僅要求同學們熟練掌握二次函數的相關知識，如函數表達式的求解、函數圖象的特征等，還需要靈活運用三角形的面積公式以及幾何圖形的性質.通過研究二次函數背景下三角形面積問題的求解方法，有助于同學們深化對函數與相關幾何知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力，同時也為后續學習更復雜的數學知識奠定基礎

一、運用公式法求三角形面積

若題目已知二次函數的表達式，且三角形的三個頂點坐標都能直接確定時，可直接運用三角形的面積公式""（ a 為底邊長， h 為這條底邊對應的高）來求解.

例1已知二次函數 y=x²-2x-3 ，其圖象與 x 軸交于 A（-1，0） 、 B（3，0） 兩點，與 y 軸交于點 C（0，-3） .求 ΔABC 的面積.

解：如圖1，在 ΔABC 中，∵ AB 邊在 x 軸上，

： AB 的長度為|3-（-1）|=4 ，

則點 C 到 x 軸的距離就是 ΔABC 中 AB 邊上的高，其長度為∣-3∣=3 ·

根據三角形面積公式可得：

圖1

說明：當已知二次函數圖象上的三定點，且三角形的一邊與坐標軸平行或者在坐標軸上時，可以以坐標軸上線段或以與軸平行的線段為底邊，以第三點到該線段的距離為三角形的高，利用三角形的面積公式求解，

二、運用割補法求三角形面積

在平面直角坐標系中，當三角形任意一邊不在坐標軸上，或者不與坐標軸平行，由此難以直接確定底和高時，可以采用割補法，將所求三角形通過分割或補形轉化為幾個易于計算面積的圖形（如直角三角形、矩形等），然后通過求和或求差得到原三角形的面積.

例2已知拋物線 y=-x²+bx+c 與 x 軸交于點 B（-3，0） ，與 y 軸交于點 C（0，3） ·

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點 P ，使 ΔPBC 的面積最大？若存在，求出點P 的坐標及 ΔPBC 的面積最大值；若沒有，請說明理由.

解：（1）拋物線的解析式為 y=-x²-2x+3 （2）如圖2，

圖2

設點""因為 S_ΔPBC=S_gqi≠BRPCO-S_ΔBOC""所以 S_{?vgmix，?F;BPCO}"有最大值，則 S_ΔBPC"就有最

大值，過點 P 作 x 軸的垂線，垂足為點 E ，則""（204號

"當""時，"有最大值""所以 S_ΔBPC"的最大值""此時，-x2-2x+3=15 ，所以點 P 的坐標為"

說明：割補法的要點在于把所求圖形的面積進行適當的補或割，變成有利于表示面積的圖形.上述解法就是把要求的三角形先補形成一個四邊形，再把此四邊形分割成一個直角三角形和一個直角梯形去求其面積，最后再減去一個直角三角形的面積.

三、運用鉛垂高法求三角形面積

對于二次函數背景下的三角形，若已知三個頂點的橫坐標，可通過作鉛垂線（垂直于x 軸的線），利用鉛垂高（即三角形頂點在鉛垂線上的縱坐標之差的絕對值）和水平寬（即三角形在 x 軸上投影的長度）來求面積.如圖3，設二次函數 y=ax²+bx+c 圖象上有三個點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁23） ，過點 B 作 BD⊥x 軸交 AC 于點 D ，則 BD 的長度為"為點 D 的縱坐標）， AC 在 x 軸上的投影長度 x₃-x₁"為水平寬.則三角形 ABC 的面積（20號""水平寬 × 鉛垂高"

圖3

仍以例2的第（2）題為例，除了可以運用割補法解答，還可以用鉛垂高法求解

解：（1）拋物線的解析式為 y=-x²-2x+3 ·（2）如圖4，作 PE⊥x 軸于點 E ，交 BC 于點 F ，

圖4

設 P 點 $＼big （ x ， - x ^ { 2 } - 2 x + 3 ＼big ） （ - 3 lt; x lt; 0 ） ＼$

因為"

"OB

所以 S_ΔBPCnbsp;的最大值"

當""時，"

所以 P 的坐標為"

說明：鉛錘高法的本質是將斜線段轉化為平行于坐標軸的線段，從而有利于表示三角形的高或者底邊.在一定程度上，這種解法與分割法有相同之處，同學們可以細細體會.

本文所述三種解題方法各有特點，在解題時需要靈活選擇運用.一般來講，當三角形三個頂點坐標都能直接確定時，可直接使用三角形面積公式計算；對于難以確定底和高的三角形，可以將其轉化為幾個規則圖形的面積之和或差來求解；對于已知三個頂點橫坐標的三角形，可以利用鉛垂高和水平寬來求面積，從而避免像割補法那樣進行復雜的圖形分割和組合.總之，在面對復雜問題時，同學們在要善于將問題進行轉化，靈活運用所學知識，提高解答實際問題的能力.