巧用最短路徑模型解答幾何最值問(wèn)題

由著名的\"將軍飲馬\"問(wèn)題引出的最短路徑模型是初中幾何中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn).該模型融合了幾何圖形中的軸對(duì)稱(chēng)變換和線(xiàn)段最短原理，涉及線(xiàn)段和的最小值、路徑最優(yōu)化等典型問(wèn)題.解題時(shí)往往需要綜合運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)變換、等量代換、勾股定理等多個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn).下面我們針對(duì)“兩定一動(dòng)\"和“兩動(dòng)一定”這兩種最具代表性的模型展開(kāi)分析，并通過(guò)典型例題談?wù)勀Ｐ偷木唧w應(yīng)用方法.

一、“兩定一動(dòng)\"模型及其在求線(xiàn)段最值中的應(yīng)用

“兩定一動(dòng)\"模型即已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線(xiàn)的同一側(cè)，要在直線(xiàn)上找到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的線(xiàn)段之和最短.如圖 ^1，A，B 是直線(xiàn) l 同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn).在直線(xiàn) l 上確定一點(diǎn) P ，使 PA+PB 的值最小.

解法：作點(diǎn) A 關(guān)于直線(xiàn)1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A^' ，連 接 A^′B 交 l 于點(diǎn) P ，則 A^′B 的值最小

圖1

該模型可以看成是兩定點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè)，求兩定點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離和的問(wèn)題，其本質(zhì)上運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)變換，將一個(gè)點(diǎn)變換到直線(xiàn)另一側(cè)，利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短\"求直線(xiàn)上的交點(diǎn).在實(shí)際問(wèn)題中，常以具有軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的圖形為載體，如等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形、圓、二次函數(shù)圖象等.要求兩定點(diǎn)到圖形的對(duì)稱(chēng)軸上的最短距離和，只需先找出任一定點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則該定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍然在這個(gè)圖形上，連接這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交對(duì)稱(chēng)軸于一點(diǎn)，該交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足最值的位置.

例1如圖2，菱形ABCD周長(zhǎng)為16，∠DAC=30^° ， E 是 AB 的中點(diǎn)， P 是對(duì)角線(xiàn) AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PE+PB 的最小值.

解析：如圖2，連接 BD ·

圖2

因?yàn)樗倪呅?ABCD 是菱形， ∠DAC=30^° ，所以 ∠ADC=120^° ，所以 因?yàn)?AB=AD ，所以 ΔABD 是等邊三角形.因?yàn)辄c(diǎn) _B，D 關(guān)于對(duì)角線(xiàn) AC 對(duì)稱(chēng)，連接DE ，則 DE 與 AC 的交點(diǎn) P 即為所求的點(diǎn)，所以 PE+PB 的最小值為 DE

因?yàn)?E 為 AB 的中點(diǎn)，所以 DE⊥AB 因?yàn)榱庑蜛BCD的周長(zhǎng)為16，所以 AD=4 所以 ·

評(píng)注：本題以具有軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的菱形為背景，根據(jù)模型的結(jié)構(gòu)特征尋求最短路線(xiàn)的確定方法，找出點(diǎn) P 的位置是解題的關(guān)鍵.

二、“兩動(dòng)一定”模型及其在求周長(zhǎng)最值中的應(yīng)用

“兩動(dòng)一定”模型即已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)之間，要在兩直線(xiàn)上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短.如圖 ^3，P 是銳角 ∠AOB 內(nèi)部任意一點(diǎn)，在 ∠AOB 的兩邊 OA，OB 上任取兩點(diǎn) _N，M 組成△PMN，要求△PMN周長(zhǎng)的最小值

解法：分別作點(diǎn) P 關(guān)于 OA，OB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P^′，P^′′ .連接 P^′P^′′ ，分別交 OA，OB 于點(diǎn) N，M ，則三角形的周長(zhǎng) PN+PM+MN 的最小值為 P^′P^′′

圖3

關(guān)于“兩動(dòng)一定\"模型問(wèn)題的解法，其本質(zhì)是化曲為直，運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)變換將動(dòng)點(diǎn)路徑轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的線(xiàn)段，即將定點(diǎn)分別變換到直線(xiàn)另一側(cè)，利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短\"求周長(zhǎng)最小值.在具體問(wèn)題中，常出現(xiàn)的是角內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)的情形其中動(dòng)點(diǎn)的軌跡為角的一邊（射線(xiàn)），作關(guān)于角一邊的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即能解題.有時(shí)題目給出的是平行線(xiàn)內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的情形，具體涉及矩形、梯形等四邊形，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，而不是射線(xiàn)，但模型仍然適用，只需通過(guò)這一定點(diǎn)作關(guān)于兩條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則該線(xiàn)段的長(zhǎng)是三角形的周長(zhǎng)的最小值

例2如圖 4，OA，OB 分別是線(xiàn)段 MC，MD 的垂直平分線(xiàn)， ，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm 一只小螞蟻從點(diǎn) M 出發(fā)爬到 OA 邊上任意一點(diǎn) E ，再爬到 OB 邊上任意一點(diǎn) F ，然后爬回 M 點(diǎn)，則小螞蟻爬行的最短路徑為

解析：如圖4，當(dāng) CD 與 OA 的交點(diǎn)為 E ，與OB 的交點(diǎn)為 F 時(shí)，路徑最短.

因?yàn)?OA，OB 分別是線(xiàn)段 MC，MD 的垂直平分線(xiàn)，

所以點(diǎn) M 與點(diǎn) C 關(guān)于 OA 軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn) M 與點(diǎn) D 關(guān)于 OB 軸對(duì)稱(chēng)，ME=CE，MF=DF

所以小螞蟻爬行的路徑最短為 CD=10cm

圖4

評(píng)注：本題是有關(guān)角內(nèi)部一個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，螞蟻的爬行路徑即為三角形MEF的一周，而由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知，點(diǎn) M 與點(diǎn)C 關(guān)于 OA 軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)M與點(diǎn) D 關(guān)于 OB 軸對(duì)稱(chēng)，因此根據(jù)模型的結(jié)論可以確定 CD 是最小周長(zhǎng).

由以上分析可見(jiàn)，兩種模型均是以軸對(duì)稱(chēng)變換為作圖的根本方法，通過(guò)化曲為直，利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”的定理來(lái)確定線(xiàn)段或周長(zhǎng)的最小值.因此，不論題目呈現(xiàn)的圖形如何變化，同學(xué)們都要抓住模型的基本特征和核心思路，找點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)或線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)\"折\"轉(zhuǎn)\"直\"得出最值