怎樣求拋物線上定點的坐標

在解答與拋物線有關的問題時，我們常常會遇到一類含有參數(shù)的二次函數(shù)圖象過定點的問題，要求我們通過分析函數(shù)的表達式，找到無論參數(shù)如何變化，函數(shù)圖象始終經(jīng)過的固定點.解答這類問題需靈活運用二次函數(shù)的解析式、方程的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象等知識.下面結合例題介紹兩種求拋物線的定點坐標的方法，希望對同學們有所幫助，

一、特殊值法

對于含有參數(shù)的二次函數(shù)式，無論參數(shù)取滿足題目條件的哪個值，定點的坐標都滿足拋物線的方程.因此在求拋物線的定點坐標時，我們可以采用特殊值法，通過給參數(shù)賦予兩個特殊值，將含參二次函數(shù)式化為兩個不含參數(shù)的方程，然后聯(lián)立方程來求出定點的坐標.

例1無論 a 取任何不為0的實數(shù)，拋物線y=ax²-x-a+4 恒過定點，求此定點的坐標

解： y=ax²-x-a+4=a（x²-1）-x+4. （20令 a=1 ，得 y=x²-x+3 ①

令 a=-1 ，得 y=-x²-x+5，② 聯(lián)立 ①② ，解得 當 x=1 時， ?y=ax²-x-a+4=3 ，當 x=-1 時， y=ax²-x-a+4=5 ，因此定點的坐標為 （1，3），（-1，5）

說明：因為無論 a 取任何不為0的實數(shù)，拋物線 y=ax²-x-a+4 恒過定點，所以我們只需選取除了0以外的兩個特殊值，將其代入函數(shù)的解析式中，建立關于 x，y 的方程組，即可通過解方程組求得定點的坐標.另外要注意，在選取特殊值時，通常需要選擇兩個不同的參數(shù)值，這樣才能確保方程有唯一解.

二、變更主元法

當 a=0，b=0 時，方程 a?k=b，ak²+bk=0 恒成立，且任何參數(shù) k 均滿足方程.因此在求拋物線的定點坐標時，我們可以采用變更主元法，即先令二次函數(shù)式為0；然后將二次函數(shù)中的參數(shù)視為主元，其他變量視為參數(shù)，將方程化為關于新主元的方程，即可根據(jù)“當 a=0 且 b= 0時，方程 ax=b，a?k=b，ak²+bk=0 有無數(shù)解”，得到關于 x，y 的方程組，求得 x，y 值，即可確定定點的坐標.

例2如果 a 為任意實數(shù)，請判斷拋物線y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1 是否恒過定點，若恒過定點，求出定點的坐標

解：因為 y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1 ，將其變形為關于 a 的方程 （x-1）a²+（3x- 3）a+（y-x²-1）=0 要使 a 為任意實數(shù)，需使 解得 當 _x=1 時， y=x²-（a²+3a）x+a²+3a+1=2 ，

所以無論 a 為何實數(shù)，拋物線恒過定點（1，2）.

說明：我們將 a 視為主元， x，y 視為參數(shù)，將拋物線的解析式變形為關于 a 的一元二次方程，要使 a 為任意實數(shù)，需使二次項的系數(shù)、一次項的系數(shù)、常數(shù)項均為0，據(jù)此建立關于 x，y 的方程組，即可求得定點的坐標.

例3如果 m，n 為任意實數(shù)，請判斷拋物線 是否恒過定點，若恒過定點，求出定點坐標

解：因為 y=mx²-（n²+3m）x+n²+2m-1 ，將其變形為 m（x²-3x+2）+n²（1-x）+（-1- y）=0 ，則該方程可以視為關于 m，n 的方程.要使 m，n 為任意實數(shù)， （20需使解得 ·經(jīng)檢驗，當 x=1 時，y=mx²-（n²+3m）x+n²+2m-1=-1， 所以無論 m，n 為何實數(shù)，拋物線恒過定點 （1，-1）

說明：拋物線的解析式中含有兩個參數(shù)m 和 n ，于是將拋物線的解析式化為關于 m_?n 的方程，只要使得其系數(shù)均為0，即可確保 m 、n 為任意實數(shù)，由此得到一組關于 x，y 的方程組，解該方程組，即可求得定點的坐標.

總之，特殊值法和變更主元法都是求拋物線的定點坐標的重要方法.無論運用哪種方法求定點的坐標，都要將拋物線的解析式進行適當?shù)淖冃危⒑线m的方程（組），然后通過解方程（組）得到定點的坐標