解答三角函數(shù)最值問題的兩種措施

解答三角函數(shù)最值問題，不僅要靈活運用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象，還要運用二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的判別式、基本不等式等.下面結(jié)合實例，談一談解答三角函數(shù)最值問題的兩種措施.

一、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

在解答三角函數(shù)最值問題時，我們往往可以先根據(jù)三角函數(shù)的基本公式，如輔助角公式、兩角和差公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式等進行三角恒等變換，以將三角函數(shù)式化簡為只含有一種函數(shù)名稱的式子；然后研究該函數(shù)的圖象，根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性來確定函數(shù)的最大值、最小值.

例1.求 的最值.T T T

解：y=sin（x- cosx= sinxcos sin COsx cosx

因為 所以 中 T T

而函數(shù) 內(nèi)單調(diào)遞增，

所以 因此函數(shù)的最大值為 最小值為 我們需根據(jù)兩角和差公式、二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)式化為 便可直接根據(jù)正弦函數(shù) _y=sinx 在 內(nèi)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值、最小值.

例2.求函數(shù) y=cos⁴x-2cosxsinx-sin⁴x 在 上的最大值和最小值.

而 ，因此

而函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增，

則當 即 x=0 時，函數(shù)取最大值 y_max=1 當 即 時，函數(shù)取最小值

解答本題，需先根據(jù)二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)式化為 ；然后根據(jù)正弦函數(shù) y= 在 ]上的單調(diào)性求得最值.在求正弦函數(shù)的最值時，要注意正弦函數(shù)的有界性，即 -1? sin（x+φ）?1 ，據(jù)此確定函數(shù) 的取值范圍

二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)

有些三角函數(shù)為偶次式，如 y=asin²x+bsinx+c，y= ac0s²mx+bc0smx+c ，此時可以先將三角函數(shù)式中的某個式子，如 sinx 、 cosmx 、 tan2x 等用一個新元替換，把函數(shù)式化為關(guān)于新元的二次函數(shù)式，如 y=at²+bt+c ，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題來求解；再根據(jù)角的范圍確定新元的范圍，并將其視為定義域；然后確定二次函數(shù)的對稱軸為 ，討論定義域上的單調(diào)性，進而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù) γ=-sin²x-3cosx+3 的最小值.解：因為 sin²x+cos²x=1 所以 令 t=cosx ，則 -1?t?1 ，得 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)在 上單調(diào)遞減，而 -1?t?1 因此當 t=1 ，即 cosx=1 時，函數(shù)取最小值 y_min=0 業(yè)該函數(shù)式的最高次為2次，且含有正弦函數(shù)式、余弦

函數(shù)式，于是先根據(jù) sin²x+cos²x=1 將函數(shù)式中的函數(shù)

名稱統(tǒng)一，然后令 t=cosx ，進行換元，將函數(shù)式化為二次

函數(shù)式，便可以直接根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

例4.求函數(shù) 的最值.解：將該函數(shù)進行變形，得： （20令 t=sinx ，則 -1?t?1 配方得 該二次函數(shù)的開口向下，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，因此當 ，即sinx=時，函數(shù)取最大值ym=，當 t=-1 ，即 sinx=-1 ，函數(shù)取最小值 y_min=-3 我們先根據(jù)二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)式化為 y=-2sin²x+2sinx+1 ，然后討論二次函數(shù) 在 -1?t?1 上的單調(diào)性，即可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，往往需先通過換元將三角函數(shù)式化為二次函數(shù)式;再將二次函數(shù)配方，以確定二次函數(shù)的對稱軸;然后討論定義域與對稱軸的位置關(guān)系，以判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

總之，解答三角函數(shù)最值問題，需注意以下幾點：（1）靈活運用三角函數(shù)的兩角和差公式、倍角公式、半角公式、積化和差公式、和差化積公式等將函數(shù)式中的函數(shù)名稱、角、次數(shù)統(tǒng)一；（2）靈活運用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性，以及二次函數(shù)的單調(diào)性；（3）學會借助函數(shù)的圖象來分析、研究問題，以提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省南通市海門實驗學校）