例談多元最值問題的解法

相較于一元最值問題，多元最值問題比較復雜.解答此類問題的關鍵在于設法減少變量的個數，從而降低解題的難度.下面以一道典型的多元最值題為例，探討一下解答此類問題的方法.

例題：已知正實數 _{x，y，z} 滿足 x²+y²+z²=1 ，求 xy+yz 的最大值.

一、基本不等式法

基本不等式：若a，bgt;0，則+b ，當且僅當 a=b （204號時等號成立.在解答多元最值問題時，我們通常要靈活運用基本不等式及其變形式，如 （1）a²+b²?2ab（a，b∈R）

.在求最值時，我們需將已知關系式與所求目標式關聯起來，通過運用添加常數項、拆項、消元、進行\"1\"的代換等方式，配湊出幾個式子的和或積，只要使其中之一為定值，即可運用基本不等式求得最值.

解法 即 當且僅當 時等號成立，故xy+yz的最大值為√2.先通過拆項，將已知關系式變形為 x²+y²+z²=

便可以直接運用基本不等式得出

yz，進而求得目標式

的最值.解法2.因為 x²+y²+z²=1

當 時等號成立，則 xy+yz 的最大值為

我們先將\"1\"替換成 x²+y²+z^2v ，通過\"1\"的代換配湊出齊次式;然后根據基本不等式的變形式ab≤（a+b）2與 來求得最值.在解題時，要重視對已知關系式的變形，以通過常數代換來配湊出基本不等式.

解法3.令xy +yz=t， 則 由 x²+y²+z²=1 可得 又 所以 當 時等號成立， 則 xy+yz 的最大值為 我們通過消元來配湊出兩式的和 而其積為定值，直接運用基本不等式就能求得最值.在多次運用基本不等式解題時，要確保每次用基本不等式時等號成立的情形都是一致的.

二、利用柯西不等式

柯西不等式是求解多元最值問題常用的工具.柯西不等式：對任意的實數 a₁，a₂，…，a_n;b₁，b₂，…，b_n， 有 （a₁b₁+ a₂b₂+…+a_nb_n）²?（a₁²+a₂²+…+a_n²）?（b₁²+b₂²+…+（b_n²+b₂²）?（-1）²） b，2），當且僅當= 時等號成立.運用柯西不等式求最值，往往需通過添項、拆項、湊系數、湊分子等方式配湊出積式之和的平方、平方和之積，并使其中之一為定值.在求得最值后，還需檢驗等號成立的條件是否滿足題意.

解：由柯西不等式得 （xy+zy）²?（x²+z²）+（y²+y²） 當且僅當 時等號成立，因為 x²+y²+z²=1 ，所以 x²+z²=1-y² 則 （xy+zy）²?（x²+z²）+（y²+y²）=（1-y²）?2y²，

由于 y∈（0，1） ，所""則""即""所""故 xy+yz 的最大值為""我們先將目標式平方，根據柯西不等式可得（xy+zy）²?（x²+z²）?（y²+y²）=（1-y²）?2y²"；然后根據二次函數的性質來求得最值.

三、三角換元

在解答多元最值問題時，我們可以將代數式配湊為平方式，即可根據同角三角函數的關系式 sin²t+cos²t=1 進行三角換元，通常可令 x-a=cosθ，ay=sinθ 等，將問題轉化為三角函數最值問題，直接利用三角函數的有界性和單調性解題.

解：由 x²+y²+z²=1 得 x²+z²=1-y²

x=-所以""""當且僅當""時等號成立.我們由 x²+y²+z²=1 聯想到同角三角函數的關系式 sin²t+cos²t=1 ，于是令""業"，通過三角換元，將多元最值問題轉化為三角函數最值問題，再根據三角函數的性質求得最值.

可見，解答多元最值問題的方法很多.同學們在解題時，需將題目中的代數式與基本不等式、柯西不等式、三角函數式聯系起來，再將其進行合理的變形、配湊，從不同的角度獲得解題的思路.

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）