例析解答平面向量數量積問題的三個“妙招”

平面向量的數量積問題的命題形式很多，常見的有 求兩個平面向量的數量積的取值范圍、由兩個向量的數 量積求兩個向量的夾角、由兩個向量的數量積求參數的 取值范圍等.解答平面向量的數量積問題，需靈活運用 平面向量的數量積的定義、平面幾何圖形的性質、向量 的模的公式、向量的坐標運算法則等.下面結合實例，談 一談解答平面向量數量積問題的三個\"妙招”.

一、利用平面向量的數量積的定義

若 、 是平面內的兩個非零向量，則平面向量a 的數量積 運用平面向量的數量積的定義解題，需根據向量的模長公式求得平面向量 的模長，并根據題意確定這兩個向量的夾角及其余弦值.需要注意的是，兩個向量的夾角 的范圍為[0，π]. （20

例1.在 ΔABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c 若 a+b+c=6，b²=ac ，試求BA·BC的取值范圍.

解：因為 a+b+c=6 ，所以 a+c=6-b

因為 b²=ac ，由余弦定理可得 所以 由a+c 可得 =當且僅當 a=c ，即 b=2 時等號成立，所以 0 解答本題，需先根據三角形三邊之間的關系來求得角 B 的余弦值，然后根據向量的數量積的定義來求得BA·BC的表達式，最后根據基本不等式和二次函數的性質求得最值.

二、利用平面幾何圖形的性質

平面向量兼有\"數\"與\"形\"雙重身份.因此在解答平面向量的數量積問題時，我們可以先將線段的長視為對應向量的模長，將兩條線段之間的夾角視為兩個向量的夾角，將平面向量的數量積視為某一個向量的模長與其在另一個向量方向上的射影的乘積;然后根據向量的幾何意義，如三角形法則、平行四邊形法則等畫出幾何圖形，便可以直接利用三角形、平行四邊形、圓等平面幾何圖形的性質來求線段的長度和夾角的大小.

例2.已知圓 O：x²+y²=4 ，過點 的直線 l 與圓o 交于 ?A，B 兩點，求 的取值范圍.

解：由 可知圓 o 的圓心為（0，0），半徑為2，因為 _A，B 在圓 o 上，所以 因為 1²+1²lt;4 所以點（1，1）在圓 o 內部，由圓的對稱性可知當點 P（1，1） 是 AB 的中點時，

OA、 的夾角最小，此時 所以 因為 所以當 時， ∠AOB 取最小值 當線段 AB 是圓 o 的直徑時， ∠AOB 取最大值 π ，故 所以 （204號

[-4，0].

由于 A，B 在圓 o 上，所以 求得 OB的取值范圍，關鍵是確定 ∠AOB 的取值范圍.于是根據圓的對稱性可知當點（1，1）是 AB 的中點時， 、OB的夾角 ∠AOB 取值小值 當線段 AB 是圓 o 的直徑時∠AOB 取最大值 π ，進而求得 的最大值、最小值.

例3.如圖1，在 RtΔABC 中， ∠A=90^° AB=2 AC=4 ，點 P 在以A為圓心的圓上，該圓與邊 BC 相切，求PB·PC的最小值.

圖1

圖2

解：如圖2，取 BC 與圓 A 的切點 D ，取斜邊 BC 上的E ，連接 _{?AD，PA，AE} 設 因為 ∠A=90^°，AB=2，AC=4 所以 ，則圓 A 的半徑 則 則 故當 θ=π 時 的最小值為

我們根據題意添加輔助線，作出 RtΔABC 的高線AD 和中線 AE ，即可根據直角三角形的性質和圓的性質將問題轉化為求線段 的長度及其夾角的范圍.再運用勾股定理求得 的長度，根據余弦函數的有界性即可求得問題的答案.

三、建立平面直角坐標系

有時我們根據圖形的特點和已知條件很容易找到兩條互相垂直的垂線，此時便可以將其視為坐標軸，構建平面直角坐標系，再根據已知條件求得相關點的坐標，即可根據 通過向量的坐標運算求出平面向量的數量積.

例4.如圖3所示，正方形ABCD的邊長為2，點 E，F_? G 分別是 BC、CD、AD 的中點，點 P 是 EF 上的動點，求 業 的最小值.

圖3

圖4

解：如圖4，以A為原點， .AB 為 x 軸， .AD 為 y 軸建立平面直角坐標系，

因為正方形ABCD的邊長為2，點 分別是 BC _CD，AD 的中點，則 A（0，0）_?G（0，1），E（2，1）_?F（1，2）， 設 P（x，y） ，則 得 （x-1，y-2）=λ（1，-1） 所以 ，可得 y=3-x ，所以 則 （20因為 x=1+λ∈[1，2] 由二次函數的性質可知當 時， 取最小值

正方形的兩條鄰邊互相垂直，于是以 A 為原點， AB 為 x 軸， .AD 為 y 軸建立平面直角坐標系，設出 P（x，y） ，分別求得 的坐標，即可通過向量的坐標運算求得 的表達式，最后根據二次函數的性質求得最值.

相比較而言，第一、三種思路比較常用，且較為簡單；第一、二種思路的適用范圍較廣.無論運用哪種思路解題，都需注意以下幾點：（1）靈活運用平面向量的定義、定理、幾何意義；（2）借助圖形來分析問題；（3）靈活運用數形結合思想與轉化思想，以提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省淮北中學）