計及非負和低秩特性的用電數據缺失值插補

中圖分類號：U469.72+2 文獻標志碼：A 文章編號：1000-582X（2025）09-001-11

Abstract： With the widespread deployment smart meters，power grids have accumulated vast amounts raw electricityconsumption data. However，data loss remains a challenge due to the complex operational environments data acquisition equipment. This study addresses the problem incomplete electricity consumption data by accounting for the influence Gaussian noise and proposing a robust completion method.First，a electricity consumptiondata matrix is constructedby reorganizing thesequencesindividual users，and the idealelectricity data matrix is approximated using nonnegative matrix factorization （NMF）.Second，both the Frobenius norm and the nuclear normare employed to regularize the Gaussian noise and promote low-rank characteristics the ideal matrix，thereby formulating an optimization model.Finally， within a block coordinate descent framework，the EM algorithm and a direct updating method are applied alternately to update the matrix factors derived from NMF， enabling accurate and complete data reconstruction. Simulation and experimental results validate the proposed

algorithm’seffectivenessand accuracy.

Keywords： electricity consumption data; nonnegative matrix factorization; norm; block coordinate descent; matrix completion

近年來，隨著數字化技術在智能電網中的廣泛應用，電網公司在電力系統的運行中積累了大量數據，其中用戶側大數據占很大比重。用戶側大數據運用的基本特征在于數據量規模龐大、數據結構類型多和數據的交互性。基于這些基本特征，電力大數據的應用不僅可以促進電網向互動經濟、安全可靠、清潔高效的現代能源互聯網轉變，還可以提升電力系統的運營效率和管理水平[1-2]。同時，由于數據挖掘技術的持續發展和逐漸成熟，電力大數據的應用也越來越普及，其蘊含的潛在價值也不斷被挖掘并應用于電網建設中。直觀反映電網各個節點的電能消耗與傳輸信息的應用，例如風電場功率預測、臺區負荷預測、配電網低電壓定位、配電網重過載風險評估、電網電能質量分析、電能計量設備在線監測、電網需求側管理等[3-5]。

在復雜的工作環境下，智能電網的電力大數據因電能計量裝置故障、傳輸過程通信故障、人為活動等隨機因素存在著數據缺失的現象，如智能測控系統的損壞和異常、用電數據傳輸不穩定可能會導致采集數據缺失;線路維護或安檢等配電網的正?；顒涌赡軙е仑摵蓴祿笔。這些用電數據的缺失會影響電網數據質量，進一步影響后續電力大數據應用的準確性和有效性。因此，在對用電數據進行功能性應用之前，將缺失數據填補完整的處理極其重要。

數據缺失的機制有3種：1）完全隨機缺失（missing completely atrandom，MCAR），數據的缺失與不完全變量、完全變量都是無關的;2）隨機缺失（missing at random，MAR），數據的缺失僅僅依賴于完全變量;3）非隨機缺失（not missing at random，NMAR），不完全變量中數據的缺失依賴于不完全變量本身。用電數據的缺失屬于隨機缺失，數據是否缺失與數據本身無關，而在于觀測數據的方法手段。

隨著人工智能技術在用電數據質量處理的應用逐漸增加，國內外學者提出了許多填補缺失數據的方法。Papageorgiou等[8考慮用電數據內部有界噪聲和異常值，使用“稀疏性感知\"參數來建模和估計異常值，采用魯棒去噪（greedy algorithm for robust denoising，GARD）的貪婪算法，在最小二乘優化標準和識別異常值的正交匹配追蹤選擇步驟之間交替。Mateos等[]運用范數正則化估計對噪聲和異常值建模，對具有稀疏性的異常值進行穩健的非參數回歸。這種基于凸松弛的高效解算器等效于最小絕對收縮和選擇算子Lasso的變分M型估計器。采用新型基于魯棒樣條曲線的平滑器對負荷曲線數據進行平滑的計算結果良好，但不確定集合使得魯棒優化模型復雜度很高，求解也會變得困難。

有學者運用人工神經網絡處理存在缺失的用電數據[14]，如 Suo等提出了一種基于循環神經網絡的插補法來填充多元時間序列中的缺失值，使用全局和特定變量循環神經網絡基于歷史信息執行插補并將它們融合，對每個時間節點使用回歸層來估算某個變量的值;Liu等[12基于長短期記憶網絡和卷積神經網絡開發了一種深度學習方法預測用電軌跡，根據已有歷史數據對未知數據進行預測。但文獻[11-12]疏于考慮原始數據中噪聲和異常值的影響，導致實驗結果與預期可能存在偏差。針對數據缺失和異常值問題，Meirat等[13]基于人工神經網絡和模糊邏輯提出了一種人工智能處理模塊，完成原始數據補全和異常校正，該方法在缺失基礎上考慮異常值的影響，可以使計算結果更加合理準確。

聚類分析在數據挖掘中有重要作用[1415]，基于相似性將數據分類的統計分析方法來分類多組用電數據。袁忠軍等[4將聚類方法與神經網絡相結合，提出了一種基于自組織特征映射網絡的結構自適應的聚類神經網絡;楊挺等[15]發現有效聚類可使用電數據矩陣呈良好低秩特性，通過低秩矩陣恢復算法完成缺失數據修補。由于單用戶自身數據具備極強相似性，而上述求解過程采用的多用戶聚類分析數據填充法，對用戶類型繁雜、用電場景及行為差異較大的情形無法直接套用。同時，聚類前預填充的處理，不僅放大了非完備聚類的影響，也使得結果具有一定由預填充和聚類隨機性所帶來的誤差，且計算復雜程度較高。楊挺等[5]以矩陣完備的數學思想處理存在缺失的用電數據，基于矩陣范數優化理論的低秩矩陣完備構建低秩矩陣恢復模型，并且能夠針對不同的噪聲和異常進行濾除。與人工智能方法修復數據的思路不同，低秩矩陣填充的數學方法優勢在于不需要先驗知識的訓練，且計算復雜程度更低。

基于低秩矩陣完備的數學方法，在低秩矩陣填充的框架上采用非負矩陣分解可以使得計算具有良好的收斂效果且結果更準確。Guan等[提出了一種高效的非負矩陣分解求解器，應用Nesterov的最優梯度方法來交替優化，克服了可能不收斂、收斂速度慢、數值結果不穩定的問題。Dorffer等在Guan等的基礎上將Nesterov迭代的非負矩陣分解擴展到觀察到的矩陣中缺少一些條目即非完備矩陣的情況，引入權重信息處理缺失數據。Giampouras等[8提出了針對低秩矩陣分解的交替最小化算法，運用正則化器交替更新由矩陣分解產生的2個矩陣因子，解決了運用非負矩陣分解進行正則化約束求解問題。

文中提出一種基于加權非負矩陣分解的低秩矩陣完備的用電數據質量處理算法，基于矩陣范數優化理論對高斯噪聲和具有低秩特性的理想用電數據進行正則化約束以構建目標函數模型，并使用塊坐標下降法交替更新。以倫敦某用電臺區獨立用戶用電數據作為研究對象，仿真結果表明該算法不僅能夠恢復缺失數據，得到理想用電并濾除高斯噪聲，具有良好的收斂性和精確性。最后通過存在隨機缺失的云南某臺區獨立用戶用電數據驗證該算法，圖像曲線對比證明該算法可以有效地實現用電數據缺失值的插補，提升用電數據質量。

1獨立用戶用電數據分析

將獨立用戶每天等間隔采集的用電量數據進行重排以構成原始用電數據矩陣，該矩陣部分元素存在缺失（如圖1中電能為零的數據點），故需要通過對矩陣已知數據計算處理恢復出未知數據以填補缺失元素，即矩陣完備。就獨立用戶個體自身用電行為分析，該用戶每天相同時間段內的用電情況較臺區其余用戶總體相同時間段內的用電行為而言具有顯著的內在相似性，因此由獨立用戶用電數據構造的原始用電數據矩陣低秩特性的表現更為明顯。文中根據不同用戶的自身用電行為分析處理該用戶用電數據并構造矩陣，再基于矩陣的低秩特性實現用電數據的缺失值插補。

以某低壓臺區電能表的采集數據為例，系統定時采樣，間隔時間為 15min 。該低壓臺區某獨立用戶30d消耗電能如圖1所示，可知每天每間隔時間的用電數據，并且能夠直觀表現該用戶的用電情況與用電趨勢，若電能為0表示該時刻用電數據缺失。

圖1某用戶30d用電數據

Fig.1Electricityconsumptiondata auserfor30days

將用電數據以1天 24h 劃分為序列（向量），重新排列構成獨立用戶的原始用電數據矩陣

式中： Φ：x_n=[x₁x₂x₃…x₉₆]^I 表示電能表采集的該用戶第 n 天的用電數據; N∈N₊ 表示采樣天數。若當某一采樣時刻的用電數據缺失，則該矩陣對應位置的元素 x_mn 置零。

將圖1所示用電數據按式（1）重新排列，故可得以“1天 24h \"為單位的該獨立用戶用電數據矩陣如圖2所

示。反映在用電數據重排上，獨立用戶的數據具有相似的分布，由此可以初步判斷獨立用戶自身可能具有相似的用電規律。

圖2某用戶30d用電數據重排

對原始用電數據矩陣 X 進行SVD分解，

式中：矩陣 v 為左奇異矩陣；矩陣 Σ 是半正定 96×N 階對角矩陣；矩陣 V 為右奇異矩陣。奇異值 σ_i 位于矩陣 Σ 的主對角線上，且滿足 σ_igt;σ_j，1?i

式中， 0lt;δ_rlt;1 恒成立，根據 δ_r 接近1時的 r 值可判定用電數據矩陣 X 的低秩特性，即當 δ_r≈1 時 r 越小，用電數據矩陣 X 的低秩特性越好。對某用戶某一組30d用電數據進行低秩特性分析（見圖2），其對應 δ_r 隨 r 值的變化趨勢如圖3（a）所示，可知該用戶30d用電數據符合低秩。為進一步驗證獨立用戶用電數據存在顯著低秩，在該用戶所有用電數據中隨機選擇5組30d的數據按照上述方式進行SVD分解并判斷低秩特性，其 δ， 隨 r 值的變化如圖3（b）所示，可知每組數據均符合低秩。

圖3用電數據低秩特性分析

Fig.3Low-rank analysis electricity consumptiondata

上述結果表明，基于獨立用戶自身用電行為的內在相似性，由1天 24h 用電數據構成的向量具有相似性，所以根據獨立用戶自身的用電行為就可以構造出符合低秩要求的矩陣，由獨立用戶用電數據構造的原始用電數據矩陣 X 具有良好的低秩特性，從而可采用低秩矩陣完備的方法完成缺失數據的填補。

2加權非負矩陣分解與完備

非負矩陣分解（nonnegative matrix factorization，NMF）將1個非負矩陣近似分解為2個低維的非負矩陣因子，尋找具有非負約束的線性模型使對數似然最大化。對于任意給定的一個非負矩陣 X∈R₊^mn ，旨在找到2個非負矩陣 v 和 V 因子，使得 X≈UV 成立，選用誤差服從高斯分布作為目標函數，則滿足公式

式中， ?_ε 為矩陣的Frobenius范數，且滿足 r

若處理在非空子集 上部分已知的矩陣 X 時，NMF滿足公式

式中： 為矩陣的采樣算子。

為求解式（5），可在NMF的基礎上增加權重信息使其可以處理存在缺失的矩陣，即加權非負矩陣分解（weighted nonnegative matrix factorization，WNMF）。

加權情況下，WNMF中包含一個二進制權重矩陣 W ，定義為

即非空子集 中，可觀測元素（未缺失）的對應位置 W（i，j） 賦值為1，不可觀測（元素缺失）則置零。

使用權重矩陣將未知部分置零后，將存在缺失的矩陣 X 分解成2個非負矩陣 U 和 V ，式（5）變為

式中，為矩陣的Hadamard積。

對于一個存在元素缺失的非完備矩陣，矩陣完備（matrixcompletion，MC）就是通過對其有效位置的元素進行采樣，計算處理恢復出缺失的元素。文中使用低秩矩陣完備，對于在非空子集 上部分已知的低秩矩陣M∈R^m×n ，由另一個低秩矩陣 X∈R^m×n 對其缺失元素進行填補，得到完備的矩陣。

min_xrank（X），s.t.P_o（X）=P_o（M），

式中， 為矩陣的采樣算子。

若要求矩陣完備前后恒為正，則須滿足非負性，在MC的基礎上進行非負矩陣完備（nonnegative matrix completion，NMC）。

min_xrank（X），s.t.P_o（X）=P_o（M），M∈R₊^m×n°

為方便計算，可將秩最小的約束公式凸松弛轉化為求解核范數的凸優化問題，對矩陣 M 進行非負矩陣完備的求解公式變為

min_Xgt;0|X|_*，

式中，·.為矩陣的核范數。

3塊坐標最小算法

坐標下降法（coordinate descent，CD）是一種非梯度的優化方法，即每次沿著單個維度方向進行搜索，得到一個當前維度最小值后再循環使用不同的維度方向，最終收斂得到最優解。塊坐標下降法（blockcoordinate descent method，BCD）是在坐標下降法基礎上的改進，可以同時更新多個變量，同時減少迭代次數，能夠更好地解決高維問題。

將變量拆分成多個塊：

f（x，y），{x₁，x₂，…，x_N}∈x，{y₁，y₂，…，y_N}∈y

對式（11）使用塊坐標下降法交替優化塊：

在每次優化過程中，選擇一個塊內的某一個變量作為獨立變量，同時將其他變量作為常數，由此目標函數轉化為關于該變量的單變量函數。利用單變量函數的最優解作為該變量的最優值并反復迭代直至收斂，選擇下一個塊內的變量繼續上述過程，直到所有塊內的變量都求解完畢。

4用電數據矩陣的完備

4.1用電數據矩陣模型

對于獨立用戶每天間隔時間用電量構成的原始用電數據矩陣，該矩陣存在部分元素缺失，并且由觀測數據和經驗分析可知，用戶用電量構成的用電數據矩陣一定是非負的。文中在充分考慮高斯噪聲的情況下進行缺失值插補，根據低秩稀疏分解理論，將待修復的低秩原始用電數據矩陣 X 加性分解[15]，為

X_Q=（U+G）_Q°

式中：矩陣 v 為接近真實用電數據的低秩完整的理想用電數據矩陣； G 為考慮高斯噪聲的高斯分布的噪聲矩陣；右下標 表示矩陣 X 的某處數據是否缺失。

基于非負矩陣分解的思想，可將秩為 r 的低秩理想用電數據矩陣 分解為2個低維矩陣[1]，即 U≈ A_m×dB_d×n^T ，其中 r?dlt;+ B^T∈R₊ 。則原始用電數據矩陣 X 的分解寫為

X_Q=（AB^T+G）_Q°

基于矩陣范數優化理論，根據高斯噪聲密度高、幅值小的特點，可選擇凸函數矩陣的F范數對高斯噪聲矩陣 G 進行優化求解；根據理想用電數據矩陣 v 的低秩非負性，可選擇核范數對其進行優化求解[15]。求解算式為

采用非負矩陣分解進行低秩矩陣完備，求解算式變為

最后，矩陣 X 中的缺失元素將用 U 對應位置元素進行填補，實現用電數據的缺失值插補。

4.2最優化求解

實際處理原始用電數據矩陣 X 時，由于存在數據缺失使得矩陣中部分元素為0，這樣的非完備矩陣不可直接使用非負矩陣分解[17]。因此，可以增加權重信息處理缺失數據，使用加權非負矩陣分解同時補全缺失數據。

4.2.1 EM算法求解

將理想用電數據矩陣 v 用2個矩陣 A 和 B^r 相乘來代替并且填補 X 的缺失數據后，矩陣的約束可以通過F范數雙線性分解和核范數正則化模型來實現[1，迭代公式如下：

式中， 1_m×n 為所有元素均為1的 m×n 階矩陣。

根據核范數的變分定義[19]：

得到最終計算模型為

進行數次迭代后，將較為準確的數據填入存在缺失的原始數據矩陣，使該矩陣完備，得到與預期相符合的實驗結果。

求解上述目標加權框架模型，可以使用塊坐標最小算法，采用EM間接方式[20]。

1）E-step：用完備矩陣 Y 代替非完備矩陣 X

Y=W°X+（1_m×n-WΦ）°（A_tB_t^?）₀

2）M-step：對矩陣 Y 運用非負矩陣分解的方法更新矩陣 A 和 B 。

更新矩陣A

式中， I_d×d 為 d×d 階單位矩陣。

同理，更新矩陣 B

4.2.2 直接法求解

同上述非負矩陣分解，用 A 和 B^r 相乘替代理想用電數據矩陣 U ，原始用電數據矩陣 X 的缺失部分仍將其保留，分別選擇F范數和核范數對高斯噪聲矩陣 G 和具有低秩特性的理想用電數據矩陣 進行正則化約束以構建優化模型，再根據核范數的變分定義，得到最終模型為

求解上述目標加權框架模型，同樣使用塊坐標最小算法，并采用直接求解方法交替更新矩陣。首先將A 和 W 按行展開，即 A^T=[a₁，a₂，…，a_m] 和 ，同時將 X 按行和列展開分別為 和X=[x₁，x₂，…，x_n] ，對應單行向量 a_i 的優化問題可以改寫為

式中， diag（w_i） 表示由列向量 $＼hat { ＼pmb { ＼mathscr { W } } } _ { i }$ 構成的對角矩陣。

采用類似式（22）方式，經過對式（26）簡單求偏導可得矩陣 A 的單行更迭顯式公式：

依次計算 a₁～a_m ，得到整個矩陣 A 的迭代更新。

同理，將 B^r 和 W 按列展開，即 B^T=[b₁，b₂，…，b_n] 和 W=[w₁，w₂，…，w_n] ，對應單列向量 b_j 的優化問題可以改寫為

依次計算 b₁～b_n ，得到整個矩陣 B 的迭代更新。

5 仿真分析與驗證

5.1 仿真分析

圖4（a）為倫敦某用電臺區某用戶27d中每天每個采樣間隔時間的完整用電數據，采樣間隔時間為30min ，每天采樣48次，該數據中存在高斯噪聲，但不存在數據缺失。將該用戶用電數據以“1天 24h ”劃分為向量并重排形成矩陣并對該矩陣進行低秩分析，其對應 δ_r 隨 r 值的變化趨勢如圖4（b）所示，可知該用電數據矩陣呈現良好的低秩特性。

圖4用戶27d完整用電數據及其低秩分析

首先，隨機剔除 10% 和 20% 的用電數據使之分別存在 10% 和 20% 的缺失，并將其作為待插補的原始用電數據矩陣，如圖5所示;然后，充分考慮高斯噪聲對用電數據質量的影響使用，加權非負矩陣分解對原始用電數據矩陣進行低秩完備;最后，使用EM算法和直接法迭代求解并比較其收斂性和準確性。

（a）用電數據缺失 10%

圖5部分剔除后的非完備用電數據

Fig.5Partiallyexcluded incompleteelectricityconsumptiondata

根據迭代次數可以判斷收斂性，平均范數相對值 η_err 可以判斷準確性，為

在此計算模型下，使用EM算法和直接法完成用電數據的缺失值插補，得到計算結果的評估指標如表1所示。無論是剔除 10% 還是 20% 的原始數據，2種算法均收斂且均能實現用電數據缺失值插補，EM算法的平均迭代次數都高于直接法，說明直接法的收斂速度明顯優于EM算法。2種算法的平均范數相對值都很小，說明用電數據缺失值插補結果都較準確，但EM算法的平均范數相對值略大于直接法，直接法的準確性更高。

表1EM算法和直接法仿真計算結果

Table1EMalgorithmanddirectmethodsimulationresult：

根據表1結果可知，直接法比EM算法收斂性和準確性都更好。

5.2 實驗驗證

通過云南電網公開的某臺區用戶用電數據（存在缺失）測試，驗證文中提出的用電數據缺失值插補方法。選取該臺區某一個用戶5個月的原始用電數據，采樣間隔時間為 15min ，每天采樣次數為96次，可知每天每個采樣間隔時間的用電。用文中所提出的基于加權非負矩陣分解的算法框架進行求解，并在計算過程中使用EM算法和直接法，結果如圖6所示。其中，黑色曲線為原始用電數據（電能為0的采樣點表示此處用電數據缺失），紅色和藍色曲線分別為EM算法和直接法求解得到的接近真實用電數據值的理想用電數據。

由圖可知，紅藍2條曲線均不存在缺失，且均與黑色曲線擬合十分相近，符合原始用電數據與剔除高斯噪聲得到的理想用電數據相近的特點，故2種算法均有效可行。最后，將原始用電數據中的缺失數據用理想用電數據中對應數據進行填補，得到用電數據缺失值插補的最終結果。

圖6用電數據缺失值插補結果驗證

Fig.6Verification interpolation results for missing values in electricity data

6結束語

針對用電數據存在采集缺失和背景高斯噪聲干擾的復合數據質量問題，提出了一種基于加權非負矩陣分解的低秩矩陣完備的用電數據填充方法。在獨立用戶自身原始用電數據符合矩陣完備低秩要求的情況下，充分考慮高斯噪聲的影響，基于矩陣范數優化理論引入正則化項以構建目標函數模型，同時使用塊坐標下降法交替更新，實驗結果表明該方法可以實現含有高斯噪聲的用電數據隨機缺失的填充，且具有良好的收斂性和準確性，其中直接法比EM算法效果更佳。

后續研究中，在高斯噪聲的基礎上將同時考慮尖峰脈沖噪聲和結構稀疏的異常數據，完善算法模型，使其能夠更好地適用于用電數據缺失值插補。

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（編輯詹燕平）