導數的幾何意義應用解密

導數的幾何意義，即導數值 表示曲線 y = f （ x ） 在點 處切線的斜率，其充分體現了數與形的完美結合.切線問題主要考查導數的幾何意義，具有一定的綜合性.縱觀近十年的高考試題，可以發現曲線的切線問題是考查的一大熱點.基于此，本文借助導數的幾何意義，對高考試題的考查方向進行分類解析.

1單切線問題

單切線問題是指一個函數圖像的切線問題，主要包括在某點處型、過某點型和參數的值或取值范圍型三類.

1. 1 在某點處型

求解切線問題的關鍵是找切點，然后根據切點求切線的斜率，進而求得切線的方程.可以將此思路總結為“十二字口訣”：抓切點，求斜率；點斜式，寫方程.事實上，切線問題主要圍繞切點展開，當切點未知時，可以先設出切點的坐標，

例1（2019年全國Ⅱ卷文10）曲線 y = 2 sinx+ cos x 在點 （ π ， - 1 ） 處的切線方程為（ ）.

A. x - y - π - 1 = 0 B . 2 x - y - 2 π - 1 = 0

C. 2 x + y - 2 π + 1 = 0 （24 D. x + y - π + 1 = 0

因為 ，且切點為 （ π ， - 1 ） ，所以切線的斜率為 - 2 ，故切線方程為 y + 1 = - 2 （ x - π ） ，即 2 x + y - 2 π + 1 = 0 ，故選C.

切線問題要牢牢抓住切點，不論是求斜率還是寫點斜式方程，都需要用到切點的坐標.

例2（2016年全國Ⅲ卷文16）已知 f （ x ） 為偶函數，當 x?0 時， ，則曲線 y = f （ x ） （2號在點（1，2）處的切線方程為

當 時， - xlt; 0 ，則 因為 f （ x ） 為偶函數，所以當 x gt; 0 時，有

因為 ，切點為（1，2），所以切線的斜率為 ，故切線方程為 y - 2 = 2 （ x - 1 ） ，即 y = 2 x

本題也可以這樣求解：因為 f （ x ） 為偶函數，所以 ，則 故 ，后續直接對 x 求導即可完成.

1. 2 過某點型

過某點的切線方程，一般未明確切點的坐標，需要先設出切點 ，得到切線的方程，再由切線過已知點得到關于 的方程，進而解出 ：

例3（2021年全國乙卷文21，節選）已知函數 ，求曲線 y = f （ x ） 過坐標原點的切線與曲線 y = f （ x ） 的公共點的坐標.

設切點的坐標為 ，由 ，可得切線的斜率為 ，故切線方程為 即

因為切線過坐標原點，所以 ，解得 ，故切線方程為 y = （ a + 1 ） x .聯立直線方程與曲線方程可得 解得， 或 即過坐標原點的切線與曲，線 y = f （ x ） 有兩個公共點，其坐標為 （ 1 ， a + 1 ） 和（ - 1 ， - a - 1 ）

本題中切線過坐標原點，但沒有明確給出切點的位置，故需要設出切點.在求切點的橫坐標 以及切線與曲線的公共點的坐標時，涉及解三次方程（組），對數學運算素養要求較高.

例4（2022年新高考Ⅱ卷14）曲線 過坐標原點的兩條切線的方程為

當 時， 設切點坐標為 ，則切線的斜率為 故切線方程為 ，即 又切線經過坐標原點，則 ，解得 ，故切線方程為

由于 為偶函數，結合圖像的對稱性可知，當 xlt;0 時，過坐標原點的切線方程為 綜上，所求切線方程為

求解本題有兩個關鍵點：一是過坐標原點的切線，切點不明確，必須設出切點坐標；二是需要分別求 時曲線 的切線方程和 x lt; 0時曲線 的切線方程，但結合函數的奇偶性與圖形的對稱性可以判斷兩條切線的斜率互為相反數，由此可以減小運算量.

1.3參數的值或取值范圍型

高考試題中還有一類含參數的切線問題，參數既可能在函數解析式中，又可能在切點坐標中.此類問題一般是要根據題設條件求參數的值或取值范圍.

例5 （2014年全國I卷理21，節選）設函數 ，曲線 y = f （ x ） 在點（1，f （ 1 ） ）處的切線方程為 y = e（ x - 1 ） + 2 ，求

對 f （ x ） 求導得 （ln 解析

.因為曲線 y = f （ x ） 在點 （ 1 ， f （ 1 ） ） 處的切線方程為 y = e（ x - 1 ） + 2 ，所以 因此 解得 求解此類問題的邏輯本質是：1）求切線的斜率 切點的雙重性，即切點

）既在函數圖像上，也在切線上.本題在求解時，也可以先求出切線方程，再由求得的切線與直線 y = e（ x - 1 ） + 2 重合得到答案，過程如下：因為切點坐標為 （ 1 ， b ） ，且切線斜率 ，故切線方程為 y-b= a e（x- 1 ） ，即 y = a ex - a e+ b . 因此，直線 y=aex-ae+b 與 y = e（ x - 1 ） + 2 重合，解得

即{a=1， ，

例6（2022年新高考 I 卷15）若曲線 y = （ x + 有兩條過坐標原點的切線，則 a 的取值范圍是

解析 設切點坐標為 ，而 " （x +a" + 1） e＇ ，故切線的斜率為 ，切線方程為

因為切線過原點，則

即 ，又過原點的切線有兩條，即關于 的方程 有兩個不同的解，所以 ，解得 alt; - 4 或 ，故 a 的取值范圍為（ - ∞ ， - 4 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） .

先根據設出的切點求得切線方程，再將有兩條過原點的切線轉化為方程有兩個不同的而求得參數 的取值范圍.

例7（2021年新高考I卷7）若過點 Ψ（ a Ψ， b Ψ） 可以作曲線 的兩條切線，則（ ）.

A. B.

C.

設切點坐標為 ，而 ，故切線的斜率為 ，切線方程為 .因為切線過點 （ a ， b ） ，則 ，即 .又過點 （ a ， b ） 的切線有兩條，即關于 的方程 有兩個不同的解，故問題轉化為直線 y = b 與曲線 f （ x ） = 恰有兩個公共點.

由導數法判斷 f （ x ） 的單調性： ，當 x ；當 x gt; a 時， ，即f （ x ） 在 （ - ∞ ， a ） 上單調遞增，在 （ a ， + ∞ 上單調遞減.

當 時， f （ x ）0 ；當 x → + ∞ 時， f （ x ） - ∞ ，故 f （ x ） 的大致圖像如圖1所示.顯然，當直線y = b 與曲線 恰有兩個公共點時， ，故選D.

。點除了上述的解法外，還可以利用圖像更直觀、迅速地求解：畫出曲線 的圖像，如圖2所示，只有點 （ a ， b ） 在曲線 下方且在 x 軸上方時，才可以作出兩條切線，故 .這是基于對指數函數圖像的清晰理解與認識直觀解決問題的有效方法.

2 公切線問題

當一條直線與兩條曲線都相切時，此即公切線問題，解題時需要分別抓住兩條曲線的切點.需要注意的是，公切線與兩曲線是相切于同一點還是不同的兩點.公切線問題可分為三類：一是兩函數圖像的公切線問題；二是混合型公切線問題；三是參數的值或取值范圍問題.

2.1兩函數圖像的公切線問題

當曲線 f （ x ） 在點 處的切線與曲線 g （ x ） 在點 處的切線重合時，此重合直線即為兩曲線的公切線，據此可求得兩曲線的公切線方程.

例8（2016年全國 I 卷理16）若直線 b 是曲線 的切線，也是曲線 的切線，則 b =

設直線 y = k x + b 與曲線 相切于點 ，而 ，故切線的斜 率 ，切線方程為 ，即

設直線 y = k x + b 與曲線 y =

相切于點 ，而 故 切線的斜率 切線方程為

，即

因為兩條切線重合，所以

解得 所以 公切線與兩曲線分別相切，切點可能是同一點，也可能不是同一點，因此不能把切點當成同一點去解題，學生很容易犯以偏概全的錯誤.

例9（2019年全國Ⅱ卷理20，節選）已知函數 設 是 f （ x ） 的一個零點，證明：曲線 在點 ）處的切線也是曲線 的切線.

證明本題等價于證明：存在實數 ，使得曲線 在某點 處的切線與曲線 在點 ）處的切線重合.

先求曲線 在點 處的切線因為 ，且切點為 ），故切線的斜率為 ，切線方程為 即

再求曲線 在點 處的切線方程.因為 ，切點為 ，故切線的斜率為 ，切線方程為 ，即

由兩條切線重合得

解 ① 得

又 是 f （ x ） 的一個零點，即 ln 所以 當 時， ，所以 也滿足方程 ② ，故方程 ② 的根為

綜上，曲線 在點 處的切線也是曲線 的切線.

點本題別出心裁，將公切線問題以證明題的形式出現，并與零點問題相結合，考查學生邏輯推理與數學運算素養.

2.2 混合型公切線問題

高考試題中也考查不同類型曲線的公切線問題，即混合型公切線問題.

例10 （2020年全國Ⅲ卷理10）若直線與曲線 和 都相切，則 l 的方程為（ ）.

A. y = 2 x + 1 B.

0 設直線 l 與曲線 相切于點 ，解析 ，而 ，故切線 的斜率為 k =

，切線 的方程為

即

又 ι 與圓 相切，所以圓心 O 到直線 l 的距離等于半徑，即 解得 （舍）或1.

因此，l的方程為 x - 2 y + 1 = 0 ，即 故選D.

本題有兩種不同類型的曲線，混合型公切線問題同樣可以采用前述方法來解決.

2.3參數的值或取值范圍問題

和單切線問題類似，公切線問題中也有一類求參數的值或取值范圍問題，需要借助方程思想與函數思想求解.

例11 若存在過點（1，0）的直線與曲線 4x-9都相切，則a=（

A. - 1 或 B. - 1 或

設曲線 上的切點為 ，則切線的斜率為 ，故切線方程為 ，即

設曲線 上的切點為 4x2－9），則切線的斜率為k2=2ax2 故切線方程為 ，即

由直線 與 重合且過點（1，0）得

[x1=0， 324 x1= 2，解得 x2=5’或 25 x2 3則 2 a = - 1 或 64故a=64 a=-1，選A.

先分別求出兩曲線的切線方程，再利用兩切線重合建立關于 及 a 的方程組，由此解出 a 的值.

例12（2022年全國甲卷文20）已知函數 ，曲線 y = f （ x ） 在點（"x" 1"， f （x "1 ） ）"處的切線也是曲線 的切線.

（1）若 ，求 ;

（2）求 的取值范圍.

（1）若 ，則切線與曲線 y = f （ x ） 相 切于點 （ - 1 ， 0 ） ，而 ，故切線 的斜率為 ，切線方程為 y = 2 （ x + 1 ） ，即 y = 2 x + 2

設切線與曲線 y = g （ x） 相切于點 ， 而 ，故切線的斜率為 ，切線 方程為 ，即

由兩切線重合得 解得 ，

（2）由于切線與曲線 y = f （ x ） 切于點 ，而 ，故切線的斜率為 ，切線方程為 1 ），即

由（1）知曲線 在點 處的切線方程為 ，故 整理得

人 ，參數 的取值范圍就是函數 h （ x ） 的值域.因為 3 x = 3 x （ x - 1 ） （ 3 x + 1 ） ，且其有三個零點 所以隨著 x 的變化， 與 h （ x ） 的變化情況如表1所示，則函數 h （ x ） 的值域為 [ - 1 ， + ∞ ） ，即 a 的取值范圍為 [ - 1 ， + ∞ ）

第（1）問中給出了曲線 f （ x ） 上切點的坐標，實際上就給定了切線，從而借助方程的思想解出曲線 g （ x ） 上切點的坐標及參數 a 的值.第（2）問隱去了 的值，使問題演變為曲線 f （ x ） 與 g （ x ） 存在公切線時求參數 a 的取值范圍.

3 隱切線問題

高考試題中也經常出現這樣一類問題：題面上不出現“相切”“切線\"等字眼，但求解時需要用到曲線的切線.求解這類隱切線問題的關鍵在于找出這條隱藏的切線.隱切線問題有兩類：一是大小關系中的隱切線；二是交點個數中的隱切線.

3.1大小關系中的隱切線

例13已知函數 若 ， ∣ f （ x ） ∣ ? a x ，則 a 的取值范圍是

作出山函數 y = ∣ f （ x ） ∣ 的大致 圖像，如圖3所示.從形的 角度看， ，即 曲線 在直線 y = a x 的上方.結合圖形， 直線 y = a x 應處于曲線

在原點處的切線繞原點逆時針旋轉至 x 軸這一過程中的某一位置.

由 ，得 ，則曲線 2 x 在原點處的切線的斜率為 ，所以 a 的取值范圍是 [ - 2 ， 0 ]

本題中利用函數圖像的位置關系來反映代數式的大小關系，其中曲線的切線位置恰好臨界位置.

3.2交點個數中的隱切線

例14（2013年湖北卷理10）已知 為常數，函數 f （ x ） = x （ ）有兩個極值點 （204號 ），則（ ）.

由于函數 有兩個極值點 ，則 是

lr 的兩個零點，即方程 的 兩個根，即曲線 與直線 的兩個交點的橫坐標.如圖4所示，過點 （ 0 ， - 1 ） 作曲線 的切線.設切點為 ，則切線的斜率為 故切線方程為 y - ln ，即

因為切線過點 （ 0 ， - 1 ） ，所以 ，即 ，故切線方程為 y = x - 1 . 結合圖形可知 0 lt; 2 a lt; 1 ，即 ，且

當 時， ，即 ，所以 f （ x ） 在 上單調遞增，則 ，即 ，故

綜上，選D.

本題的實質是函數 的零點個數問題，利用函數與方程思想，轉化為定曲線 與動直線 y = 2 a x - 1 的交點個數，再借助切線與割線求解.

（完）