賞析與數字2025有關的數學題

數學題的命制離不開數字，將當年的年份巧妙編進高考試題不但能使數學題產生年代感，而且也增添幾分趣味.時值2025年，與數字2025有關的數學新題應運而生，本文分類列舉幾道例題，與大家共賞.

1抽象函數的函數值問題

例1 已知定義在 上的函數 f （ x ） 滿足 且對任意的 x ， y ∈ R， f （ x + y ） = f （ x ） f （ 1 - y ） + f （ y ） f （ 1 - x ） ，則

O ，得 解析

令 x = y = 0 ，得 f （ 0 ） = f （ 0 ） f （ 1 ） + f （ 0 ） f （ 1 ） ，則 f （ 0 ） = 0 . 令 y = 1 ，得 f （ x + 1 ） = f （ 1 - .令 y = - x ，得

f （ 0 ） = f （ x ） f （ 1 + x ） + f （ - x ） f （ 1 - x ） .

因為對任意的 x ∈ R， f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） 恒成立，且不恒為0，所以 f （ x ） + f （ - x ） = 0 ，故 f （ x ） 為奇函數.

由 f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） ，可得

f （ x + 2 ） = f （ - x ） = - f （ x ） ， f （ x + 4 ） = - f （ x + 2 ） = f （ x ） ，

所以4為 f （ x ） 的周期，故

求解本題的關鍵在于根據條件，通過賦值法得到 f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） ， f （ - x ） = - f （ x ） ，再利用函數的性質得到 f （ x ） 的周期為4.

2 冪的大小比較問題

例2 已知 ， ， c = ，則（ ）.

A. a gt; c gt; b B.

C. a gt; b gt; c D. c gt; a gt; b

，對 f （ x ） 求導可得f＇ （ x ） = 1 +" 1／"x -ln x／{ （ x + 1 ）"2 ".令h（ x） = 1 +" 1／"x"-ln x （ x gt;"" ），則 在 上單調遞減，所以 ，即 0，函數 f （ x ） 在 上單調遞減，則 ，即 又 b gt; 1 ，所以 ，則 ，故 a gt; b 令 ，則 .當 時， 即 在 ）上單調遞減，則 ，即 ，又c gt; 1 ，所以 l n c gt; 0 ，則 ，故 b gt; c ：

綜上， a gt; b gt; c ，故選C.

求解本題時，通過取對數，構造函數，利用函數單調性解題是關鍵.

3 數列問題

例3已知數列 的前 n 項和為 ，滿足 ，且 ，則 ：

A. （204號 （204號 C. （204號 D.

由 ，可得 因解析為 ，所以 ，則數列 是首項為1、公差為1的等差數列，所以 ，則 ，所以

故選C.

點本題將已知等式兩邊同時除以 ，可得 是等差數列，從而得到 的通項公式，進而求出 ，由 即可得解.

4函數不等式問題

例4不等式 的解集為

因為函數 在（ 0 ， + ∞ ）上嚴格單調遞增，所以 y =

在 （ 0 ， + ∞ ） 上嚴格單調遞增.當x = 1 時， ，所以不等式 的解集為 （ 1 ， + ∞ ） ：

求解本題的關鍵是將原問題轉化為函數的單調性問題，進而根據函數的單調性得到不的解集.

5 二項式問題

（多選題）已知 ，則下列結論成立的是（ ）.

A. B. 5×102024 C. （20 D.

令 x = 3 ，得 ，故A正

確.令 x - 2 = t ，則原等式變形為

（ 2 t - 1 ）2 0 2 5 "= a"0"+ a 1"t + a" 2"t"2"+ …"+ a 2 0 2 5} t 2 0 2 5"： ①由二項式定理得 .令

得 0 = a0 "+" a"1／ 2"+a"2／2 2 +…"+" a"2 0 2 4／ 2 "2 0 2 4 + a "2"0 2 5 ／2 2025，等式邊同時乘2 2024得

則

，故B錯誤. 令 x = 1 ，得

（204號 ，則 ，故C錯誤.

對 ① 兩邊同時求導得 .令 t = 1 ，得 ，故D正確.

綜上，選AD.

應用賦值法及換元法即可判斷各選項是否正確.本題主要考查導數的運算法則、簡單復合函數的導數、二項式定理的應用和求指定項的系數.

6 復數問題

例6 已知復數滿足 且 則 ：

設 z = a + b i（ a ， b ∈ R） ，則 .由 ，得 由 ，得 （204號聯立 解得 或

故 或 i.當 z = - 1 +

，即 時，有 同理可得 ，所以

z "2 0 2 5} = （ - 1±根號下 3 i"） 2 0 2 5"= [ 2×（ -1／ 2±根號下 3／"2 i） ] "2 0 2 5 "=2" 2 0 2 5×[ （ -1 ／"2±根號下3／"2i "）"3"]6 7 5"= 2 "2"0 2 5"，

故選D.

點設 z = a + b i（ a ， b ∈ R） ，根據題意求得 z = 評 或 ，則可得 ，據 此可求得 的值.

（完）