談圖示法在概率學習中的工具性作用

本文針對人教A版高中數學教材中概率部分的內容展開深人探究，以樹狀圖、表格和Venn圖三種圖示法為工具，系統梳理并提煉出應對三類典型概率問題的策略.

1概率學習在教材中的地位和價值

概率是高中數學的重要內容，被編排在必修第二冊和選擇性必修第三冊.在概率的學習過程中，教材必修第二冊將樹狀圖、表格、Venn圖等圖示法作為工具穿插其中，使學生能很好地理解樣本點、隨機事件、樣本空間、互斥事件、獨立事件等概念.教材對古典概型進行研究和計算、對概率的性質進行探究，使學生掌握了概率語言，體會概率的意義和統計思想.

教材選擇性必修第三冊中研究條件概率和全概率等知識時，進一步采用Venn圖和樹狀圖幫助學生理解條件概率、全概率等核心概念的本質.圖示法是學生學習概率知識和分析概率問題的有效工具.圖示法能有效幫助學生對數據分析和整理，是剖析概率事件的屬性、弄清概率模型的最佳方法.

將概率學習中圖示法的“形”與概率模型的數據分析有機結合起來，理解“用概率的語言符號表達對象，用概率的知識分析問題，用函數與數列的其他知識解決問題\"的本質，將收獲事半功倍的效果.

2 圖示法在教材中的呈現

人教版A版普通高中教科書數學必修第二冊第228頁例4，用樹狀圖展示了電路“正常”和“失效\"試驗的所有可能結果，展示了研究概率對象的數字化和符號化的表示，有助于學生理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念；第230頁在“事件的關系和運算”這一節中，利用集合的知識和五張Venn圖解釋了和事件、積事件、互斥事件與對立事件；第237頁例9題用表格法列出從袋子中摸出2個球的樣本點，有助于學生理解隨機事件的構成，掌握古典概型的本質思想.下面筆者總結三種圖示法的學習經驗.

3圖示法在概率問題中工具性作用的展示

3.1 研究重復性概率試驗模型一樹狀圖法

一例1（人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第三冊第91頁第10題）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求 n 次傳球后球在甲手中的概率.

分析題中是三人相互傳球，可以通過樹狀圖（如圖1）來分析前幾次傳球存在的規律，再用歸納法將特殊情形推廣到一般情形，最后用數列中的構造法求出通項公式，即為 n 次傳球后球在甲手中的概率.

解記 表示事件“經過 n 次傳球后球在甲手中”，設 n 次傳球后球在甲手中的概率 p"n"，則 0，且

由全概率公式可知

即得到一個遞推數列公式

由于 則數列 是以 為首項、 為公比的等比

數列，所以

故

即 n 次傳球后球在甲手中的概率是

此類概率問題第 次傳球與前 n - 1 次有關，解題的關鍵是通過樹狀圖提煉出遞推公式，將原問題轉化為求數列的通項公式問題.解析中涉及的遞推關系為一階遞推關系，有時學生還可能遇到二階遞推或三階遞推關系的概率問題.

例2“布朗運動”是指微小顆粒永不停息地無規則隨機運動，在如圖2所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結束.已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結束時該粒子從1號倉到達容器外的概率為

分析題中有三個倉，可以用 表示粒子第 n 次時，分別在1號倉、2號倉、3號倉的概率，通過樹狀圖（如圖3）找出遞推關系.

解1號倉和2號倉有三個通道出口，通過每個通道口的概率均為 ，3號倉有兩個通道口，通過每個通道口的概率均為 用 表示粒子第 n 次時，分別在1號倉、2號倉、3號倉時的概率.

由全概率知識可以列出三維遞推關系

由 ③ 可得 ，將其代人式 ② 消去 可得

由 ① 可得 ，將其代入式 ④ 可得

化簡可得 18a且ao=1，a=0，a2 ，則 是偶數項成等比數列，奇數項都是0的數列，故 是偶數）.

粒子從1號倉出發，只有經過偶數次運動后才可能回到1號倉，則

其中 n 為偶數，整理得

3.2研究復雜性概率樣本點的規律 一表格法

例3（2024年新課標I卷14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選擇一張，并比較所選的卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片上的數字在此后輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總分不小于2分的概率為

分析四輪比賽后，甲可能得0分、1分、2分、3分，故甲的總分不小于2分的對立事件為甲的總分為

0分或1分.本題雖然是復雜事件的概率，但是用表格法列出甲的對立事件得分情況，問題就能變得簡單易操作.

解甲、乙出卡片共有 種可能，四輪結束后甲的總分為0分的情況如表1所示，甲的總分為1分的情況如表 2～4 所示，故四輪結束后甲得0分或1分有 12 種情況，概率為 ，則四輪結束后甲的得分不小于2的概率為

3.3研究復雜事件的相互關系——Venn圖法

例4 （多選題）設 A ， B 是一個隨機試驗中的兩個事件，且 則（ ）.

A.

B.

C.

D.

分析本題考查概率的基本性質、條件概率，先畫出Venn圖，再通過計算可探究出事件 A ， B 是互斥事件還是獨立事件.

解畫出Venn圖（如圖4），事件 A ， B 是樣本空間的兩個子集，則

解得 從而 A 與 B 的積事件的概率 故A錯誤.

因為

所以 A 與 B 既不是獨立事件，也不是互斥事件.因為 ，所以B正確.

由條件概率可知

故C正確.

因為

所以D錯誤.

綜上，選BC.

在處理概率問題時，采用圖示法對問題情境抽絲剝繭，有利于挖掘概率情境背后隱含的數據規律，弄清事件的相互關系，進而將實際問題轉化為數學問題用概率的模型和知識分析和解決問題，是學好概率知識的法寶.因此，學生在平時的學習中應不斷培養這種用圖形語言解決概率問題的能力，領悟概率模型的內涵和外延.

（完）