2023年全國高中數學聯賽(福建賽區)預賽 第12題探究及拓展

安徽省合肥一六八中學(230601) 王中學

2023 年全國高中數學聯賽(福建賽區)預賽第12 題是一道圓錐曲線中的定點問題,考查了橢圓的基本性質,也考查了分析問題、解決問題的能力尤其是運算求解能力;本文對其進行探究,并給出一般性的結論[1].

一、試題呈現

題目已知點B1,B2分別為橢圓C:1 的下頂點、上頂點, 過點的直線l交橢圓C于P,Q兩 點(異 于B1,B2).

圖1

(1) 若tan ∠B1PB2=2 tan ∠B1QB2,求直線l的方程;

(2)設R為直線B1P、B2Q的交點,求的值.

解析(1) 略. (2)B1(0,-2),B2(0,2), 顯然直線l的斜率存在, 設直線l的方程為:y=kx -將其與橢圓方程聯立得設P(x1,y1),Q(x2,y2),則

直線B1P方程為:直線B2Q方程為:y=兩直線方程聯立得:

將(1) 式代入化簡得:即直線B1P、B2Q的交點R落在定直線上. 設因此,

二、推廣探究

經過探究可得到如下結論:

結論1已知點B1,B2分別為橢圓C:1(a>b>0)的下頂點、上頂點,過點A(0,m)(|m|>b)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(異于B1,B2),則直線B1P、B2Q的交點R在定直線上.

證明參照圖1,B1(0,-b),B2(0,b), 顯然直線l的斜率存在, 設直線l的方程為:y=kx+m. 將其與橢圓方程聯立得(b2+a2k2)x2+ 2mka2x+a2m2- a2b2= 0.?= (2mka2)2-4×(b2+a2k2)·(a2m2-a2b2)>0, 得設P(x1,y1),Q(x2,y2),則

直線B1P方程為:直線B2Q方程為:y=兩直線方程聯立得:

將(2)式代入化簡得:

即直線B1P、B2Q的交點R落在定直線上. 此時,當m=-a時,直線B1P、B2Q的交點R落在定直線上,即為原題中的定直線

推論1已知點B1,B2分別為橢圓C:b>0)的下頂點、上頂點,R(xR /=0)為直線y=m(|m|

證明參照圖1,B1(0,-b),B2(0,b),設點R(xR,m),所以直線B1R:將其與橢圓方程聯立得

直線B2R:同理可得:

所以

所以直線PQ過定點

將結論1 中橢圓的下頂點、上頂點改為橢圓的左頂點、右頂點,而直線l過點A(0,m)(|m|>a),則可得到:

推論2已知點A1,A2分別為橢圓C:1(a > b >0)的左頂點、右頂點,過點B(0,m)(|m| > a)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(異于A1,A2), 則直線A1P、A2Q的交點R在定直線上.

推論3已知點A1,A2分別為橢圓C:b>0)的左頂點、右頂點,R(yR /=0)為直線x=m(|m|

三、類比探究

由于橢圓與雙曲線有很多相似的性質,于是考慮雙曲線是否也具有相似的結論呢? 經探究,可得如下結論:

結論2已知點A1,A2分別為雙曲線C:1(a>0,b>0)的左頂點、右頂點,過點B(0,m)(|m|

推論4已知點A1,A2分別為雙曲線C:1(a >0,b >0) 的左頂點、右頂點,R(yR /= 0) 為直線x=m(|m|>a)上任一點,直線A1R,A2R分別與雙曲線交于P,Q兩點,則直線PQ過定點

推論2～4 以及結論2 皆可仿照結論1 給出證明,不再贅述.

結語對題目的拓展、引申和探究,是一名數學教師必備的專業素養,平時要重視對典型問題的深入研究,探研規律,并適當拓展,只有對問題做了深入的思考,才能體會到數學的奧妙及神奇,才會有驚喜和收獲,才會在學習中提升數學品質和數學素養.