一組優美連乘三角恒等式的統一證明

北京師范大學貴陽附屬中學(550081) 李鴻昌

在數學競賽或者強基計劃試題中,連乘三角恒等式因其結構簡潔、優美而深受命題老師的青睞. 文[1]證明了12 個優美的連乘三角恒等式, 但對有些恒等式的證明有點復雜,而且沒有指出各恒等式之間的聯系. 筆者經過探究獲得一個定理,然后利用該定理即可得到一組優美連乘三角恒等式的統一證明,同時也顯然得到了各恒等式之間的聯系. 最后給出恒等式的應用.

1. 定理及其證明

定理設n≥2,n∈N?,則

下面證明定理. 令

從而

2. 一組優美的連乘三角恒等式

3. 優美連乘三角恒等式的統一證明

設n≥2,n ∈N?,用2n或2n+1 去替換定理中的n,就可以導出三角恒等式.

證明(1)用2n替換定理中的n,得

注意到,上式左邊前后對應因子的指數之和為2n,且其間必有因子所以上式即

(2) 用2n+1 替換定理中的n,得

注意到, 上式左邊前后對應因子的指數之和為2n+1, 且所以上式即

3）燃油。原油集輸大站加熱爐燃油量消耗由2007年的7648 t降至2017年的378 t，2016年數據為1072 t，同比減少燃油694 t，累計減少原油50 698 t，按采油三廠2017年噸油操作費1098元計算，減少燃油費用5567萬元。

用2n+1 替換定理中的n,并利用恒等式(1)和(2),得

(5) 由恒等式(2)和(4)可得

4. 應用

例1求sin 3?sin 6?···sin 87?的值.

解由恒等式(1)知,

例2求cos 12?cos 24?···cos 84?的值.

解由恒等式(4)知,

例3求的值.

解由恒等式(2)知,

例4求的值.

解由恒等式(3)知,

例5求的值.

解由證明提及的結論知,

例6求tan 20?tan 40?tan 60?tan 80?的值.

解由恒等式(5)知,

例7的值為( )

解選D.由恒等式(4)知,