考查“四翼”淡化技巧
——2023年高考新課標I卷第20題的解法探究與備考探索

廣東佛山南海中學(528211) 陳曉琳 譚瓊珍 周鴻高

2023 年高考新課標I 卷第20 題是一道數列解答題,這是近年來首次把數列題放置后三題的位置,體現了數列解答題難度加大的趨勢.

然而,細觀此題,該題主要考查等差數列的定義、通項公式與前n項和公式,只是一道常規題;而且沒有涉及等差數列的推斷,從思維程度上看,處于中檔題位置. 確實,2023 年高考數學試題嚴格落實《中國高考評價體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求,合理控制試題難度; 在“反套路、反刷題、反死記硬背”上進行命題示范,科學引導中學教學,是新高考命題的風向標,值得廣大一線教師深入鉆研、深刻領會.

1. 試題評析

高考真題(2023 年高考新課標I 卷第20 題)設等差數列{an}的公差為d,且d >1. 令記Sn,Tn分別為數列{an},{bn}的前n項和.

(1)若3a2= 3a1+a3,S3+T3= 21,求{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數列,且S99-T99=99,求d.

本題涉及考點主要有:等差數列的定義、性質,通項公式的形式及其應用,前n項和公式的性質及其應用. 主要考查運算求解能力、推理論證能力、轉換化歸能力,蘊含函數與方程、轉換與化歸、特殊與一般、分類討論等思想方法.

本題是基礎性與綜合性的有機結合體.《中國高考評價體系》指出基礎性包括學科內容的基本性、通用性及情境的典型性. 綜合性要求以多項相互關系的活動組成的復雜情境作為載體,能夠反映學科知識、能力內部的整合及其綜合運用. 本題的基礎性體現在考查等差數列的定義、通項公式與前n項和公式,這些是數列中的基本概念和基本公式. 本題的綜合性體現在條件中bn與an的相互關聯,如何通過bn的信息轉化為an的基本量運算,在問題解決過程中需要用到函數與方程的思想,轉化與分類討論思想,需要有較強推理論證能力和運算求解能力,對學生的思維品質和核心素養要求較高.

本題也體現了高考數學在“反套路,反機械刷題”上所下的功夫,突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活運用,注重考查學科知識的綜合應用能力. 學生在平時的復習中可能做到更多的數列題型是簡單的基本量運算,由遞推關系求通項公式,由Sn與an的關系求通項公式,各種數列求和方法等. 而本題的創新點是給了兩個有關聯的等差數列,這樣使題目看似很基礎但實際綜合性很強. 這是真正考查學生對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活運用的能力,真正檢驗學生對數學學習是否融會貫通和真懂會用,達到高考為國家為高校選拔人才的目的.

2. 解法探究

2.1 第(1)問解法探究

第(1)問比較常規,利用等差數列基本性質與基本公式就可求解. 主要是把兩個條件轉化為用等差數列{an}的基本量a1,d表示,特別是第二個條件中的T3,要利用bn與an的關系進行代入,再利用函數與方程的思想,建立方程組求出a1與d的值. 在解題過程中,難點在于消元以及在消元后解出分式方程考生的主要問題在于解方程過程出錯,或者在回答d的取值時沒有寫出依據d >1 對根進行取舍,解題過程不夠嚴謹;可能也有考生在回答通項公式時寫成{an}= 3n或者3n的形式,這是對數列和對數列通項的符號表示不理解造成的. 解答過程如下:

解析(1) 因為3a2= 3a1+a3, 所以3d=a1+ 2d,解得a1=d, 所以S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d, 又T3=即2d2-7d+3 = 0,解得d= 3 或(因為d >1,舍去),所以an=a1+(n-1)·d=3n.

2.2 第(2)問解法探究

解答第(2) 問關鍵是對{bn}為等差數列的翻譯, 以及S99-T99=99 的處理.

首先,對{bn}為等差數列的翻譯有如下幾種方法:

這種解法體現了由一般到特殊的思想方法,是比較常規的思路.

這種解法是基于等差數列定義的一般性思路,需要有很明確的目標和較強的運算處理能力.

要使bn+1-bn為常數,則解得a1=d或a1=2d.

這種解法也是基于等差數列定義的一般性思路,但是需要有超級強大的運算處理能力,以及對等差數列定義有本質上的理解和對式子結構的清晰認識.

這種解法是由等差數列的通項公式的一次函數特征分析得到的,可以避免復雜的運算過程,從而是最快的解法.

這種解法其實也是由等差數列的通項公式的一次函數特征推理得到,運算量也比較少,解題過程應用了恒成立問題的解決思想方法.

縱觀以上幾種方法,都需要綜合所學多種知識求解,可以取前三項,特殊探路,體現特殊到一般的解題思路;可以常規運算化簡,這樣涉及相關字母符號較多,需要強大的運算求解能力;也可以從函數視角看待等差數列通項,利用一次函數式的結構特征,這樣解答比較簡單,但需要具備較強的數學思維能力.

其次,對S99-T99=99 的處理有如下幾種方法:

這種解法是在得到了an與bn的通項公式之后直接代入等差數列前n項和公式中進行計算,是非常自然的一種想法,屬于常規做法.

這種解法是根據等差數列的前n項和公式和等差中項的性質把S99-T99= 99 轉化為a50的值,這樣做使得運算量減少,是比較快的解法.

這種解法構造新的等差數列{an-bn},并利用等差數列前n項和公式和等差中項性質,既簡化了后面的運算過程,也減少分類討論的次數,體現較強的數學思維能力.

通過解法探究,可以說明這是一道結構簡潔、解法常規、價值深刻的經典好題. 對比往年,它沒有用Sn與an關系來包裝,也沒有用累加疊乘、構造等方法求通項,更不需要用裂項相消或錯位相減這些方法求和, 體現了“淡化技巧”的特點. 它重點考查了等差數列的基本概念、基本公式、基本性質、基本運算,卻呈現出“無價值,不入題;無思維,不命題;無情境,不成題”的典型特征,體現出“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的“四翼”考查要求. 考生做答此題,需要對等差數列通項和求和表達式的結構非常熟悉,需要分類討論和邏輯推理,需要有面對含多字母式子變形化簡不畏懼不慌亂的心理素質,又有克服困難的決心、信心和能力.

3. 備考探索

2023 年高考新課標I 卷數列解答題,是一道出乎意料又在情理之中的試題,出乎意料表現在試題放置在后三題的位置,而沒有考查遞推數列和復雜數列的求和,沒有考查與不等式的交匯;情理之中體現在此題落實了《中國高考評價體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求. 高考評價體系明確了高考的核心功能、考查內容和考查要求,是新時代高考命題、評價與改革的理論基礎和實踐指南,是用于指導全國及各省高考內容改革和命題工作的核心文件,高考備考理應深入研讀高考評價體系,用高考評價體系指導高考備考. 然而現狀是很多老師備考過程總是慣性前行,按以往經驗對高考數學內容進行難中易等級劃分,集中精力花在自認為容易的專題上;高考備考過程對各專題按題型劃分,進行大量的刷題訓練,抱著總有一種題型會考到的想法,做了大量的無用功. 這其中有對高考試題是否真正落實高考評價體系持懷疑的考量,也有對高考試題如何落實和體現高考評價體系的茫然. 是以,高考試題的風格變化,才是廣大一線教師高考備考的風向標. 令人欣喜的是,近幾年的高考試題確實呈現出新的風格、新的特征,值得老師們結合高考試題進行備考探索.

3.1 用“課程標準”指導教學與備考

《高中數學課程標準》關于“數列”的表述, 有如下幾點:(1)數列是一類特殊的函數,是數學重要的研究對象,是研究其他類型函數的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應用. 本單元的學習,可以幫助學生通過對日常生活中實際問題的分析,了解數列的概念;(2)探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律,建立通項公式和前n項和公式;(3)能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題,感受數學模型的現實意義與應用;(4)了解等差數列與一元一次函數,等比數列與指數函數的聯系,感受數列與函數的共性與差異,體會數學的整體性. 對照上面考題,考題與上述表述幾乎完全契合.

比較“課程標準”與“高考評價體系”,“高考評價體系”是一份指導性文件,理論性很強;而“課程標準”對學科在高中所學內容進行了規定, 并明確了學習要求. 比較“課程標準”與“高中數學教材”,“高中數學教材”版本眾多,雖說內容都按“課程標準”編寫,但有些細節上的不同;“課程標準”全國單一份,是編寫教材的依據. 所以,無論是在學習新課階段還是在高考備考階段,都應用“課程標準”指導工作.

3.2 扎實抓好“四基”,發展“四能”

“四基”是指數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗. 在高三的一輪復習中應該要切實抓好“四基”,要摒棄幫學生“過”一下知識點, 然后讓學生大量做題鞏固的做法. 學生沒有真正理解所學基礎知識,沒有掌握基本技能和基本思想,做再多的題也是徒勞,這只會增加學生負擔,降低學習效率. 如上述考題,考生如果按課標要求掌握相關知識方法,并不需要練太多的題,也沒必要;反之,學習再多的技巧秘訣,也無用武之地. 教師應該利用一輪復習的機會幫助學生深刻理解基礎知識,訓練好基本技能,掌握好基本思想,積累好基本活動經驗,必要時螺旋上升地安排教學內容,讓重要的數學知識和思想方法得到反復理解的機會. 只有扎實抓好“四基”才能保證數學的學習質量,進一步發展“四能”(發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力、創新能力、實踐能力).

3.3 讓學生掌握一定的數學思想方法

數學思想方法,就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中,經過思維活動而產生的結果,它是對數學事實與數學理論(概念、定理、公式、法則等)的本質認識.數學思想方法是解決數學問題的重要途徑. 一般高中數學的數學思想和方法可分為三大類:第一類:數學思想方法,主要包括函數與方程的思想、數形結合的思想、分類與整合的思想、轉換與化歸的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想、算法的思想. 第二類:數學思維方法,主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、實驗法、特殊方法等. 第三類:數學方法,主要指應用面比較窄的具體方法,如配方法、換元法、消元法、待定系數法等具體的解題方法.

考生掌握一定的數學思想方法才能在解題中快速地尋找解題的途徑,順利解決問題. 比如上述考題,如果考生能用一般到特殊的思想方法來思考問題就能找到解決問題的突破口,能用函數與方程的思想方法來處理問題就能得到解決問題的快捷方法.

3.4 提升數學思維和解決問題的能力

隨著新課程的改革,中國高考評價體系的落實,新高考的命題轉向發展學生核心素養的問題,考查不但體現基礎性,也體現綜合性、應用性和創新性. 綜合性要求學生能在復雜問題情境中能夠觸類旁通、舉一反三,甚至融會貫通. 應用性要求學生能夠主動靈活地將所學知識遷移到社會生活實踐問題中. 創新性要求學生具有發散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質,在新穎或陌生的情境中主動思考,發現新問題、找到新規律、得出新結論. 這可以從上面對今年數列考題的試題評析與解法探究中得到佐證. 提高學生的思維水平的同時也意味著對教師提出更高的要求,教師應該引導學生掌握抽象數學對象、發現和提出數學問題的方法,以實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.