高中數學競賽中遞推數列問題的求解策略

寧夏銀川一中(750000) 潘長江

數列是高中數學競賽的必考內容,考題通常以遞推公式的形式出現,考查數列的通項、前n項和及涉及到的數列不等式等問題,體現了轉化與化歸的數學思想方法,落實直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養. 解題的關鍵是如何將遞推關系轉化為通項,本文通過典型示例歸納總結這類問題的求解策略.

1. 次數不同,兩邊取對數

例1 (2021 浙江金華高中競賽) 設a1= 1,a2= 2,

分析題目所給的遞推式不含項數n,且an,an-1,an-2的次數不同,通過取對數將其轉化為相同次數的項,然后求解.

解析由已知an >0,所以

點評解答本題的關鍵是給已知遞推式取對數轉化為再通過換元轉化為線性遞推關系從而求得bn,然后再求an. 一般地,當所給遞推關系不含項數n,項之間是通過乘除、乘方、開方(不含加減)運算連接,且各項的次數不同,可采用兩邊取對數,將項的次數化相同,再利用線性遞推式來求解.

2. 隔項遞推,分奇偶討論

例2(2021 全國高中競賽) 設數列{an}的首項

分析本例所給的遞推關系是隔項遞推,是奇偶項數列,因而對項數n分奇、偶項討論.

解析當n為偶數時,令n=2m(m ∈N?),則當n為奇數時,令n=2m-1(m ∈N?),則

點評本題解答的關鍵是令n= 2m(m ∈N?),n=2m -1(m ∈N?), 分別將奇、偶項數列轉化為a2m+1=再利用待定系數法構造成等比數列. 一般地,隔項遞推關系分奇、偶項討論,通過迭代運算分別轉化為奇數項與偶數項各自所成的數列,然后求解.

3. 線性遞推,待定系數法

例3 (2021 全國競賽)數列{an}滿足a1= 0,a2= 1,

分析題目所給的遞推關系是關于an+1,an,an-1,連續三項的線性遞推式,可以采用待定系數法求解.

點評對形如an+1=pan -qan-1的遞推數列,可設an+1-λan=μ(an-λan-1), 則有于是λ,μ為方程x2-px+q=0 的兩根. 當?>0 時,λ /=μ,則an=c1λn+c2μn,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當?= 0 時,λ=μ,則an= (c1+c2n)λn-1,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當?<0 時,考慮{an}是周期數列.

4. 混合遞推,兩邊同除法

例4(2021 浙 江 高 中 競 賽) 設a0,a1,··· ,an滿 足則數列{an}的通項an=____.

分析題目所給的遞推關系中含有混合項anan-2與an-1an-2,可以給等式兩邊同除以轉化為線性遞推關系,然后求解.檢驗得知: 當n=1 時,也成立.

點評本題解答的關鍵是給遞推關系式兩邊同時除以混合項最終將其轉化為線性遞推關系bn-2 = 3bn-1,再用待定系數法確定bn,最后求出an. 一般地,如遇遞推式中含有混合項,采用兩邊同除的方法,再結合換元最終轉化為線性遞推關系求解.

5.“六”型分式,兩邊取倒數

例5 (2016 內蒙古高中競賽) 已知數列{an}滿足求數列{an}的通項公式.

分析觀察題目所給的遞推關系式,其結構類似于“六”型分式,只要稍做變形,再取倒數,便可求解.

解析將遞推關系變形得,

兩邊取倒數得,

點評對于結構類似于“六”型分式的遞推關系,化歸為“六”型分式結構,通過兩邊取倒數,然后變形可轉化為熟悉的遞推關系,再利用熟知的方法策略轉化求得數列的通項.

6. 對稱結構,構造常數列

例6(2021 全國高中競賽) 已知正項數列{an}滿足記數列{an}的前n項和為Sn,求的值.

分析題目所給的遞推式結構具有對稱性. 通過觀察發現,只要適當的變形,可構造常數列.

解析由遞推關系得,

點評構造常數列是數列求通項的一種方法,一般形式為an+1=an(n ∈N?). 結合所給數列遞推公式的特征,如果所給的遞推式結構對稱, 做適當的變形可轉化為常數列,進而求出通項公式解決問題.

7. 對n 倍關系式,構造同型表達式

例7(2021 全國高中競賽)已知數列{an}滿足a1=1,且nan+1=(n+2)an+1,則an=____.

分析題目所給的遞推關系nan+1= (n+2)an+1中,項an,an+1含有項數n的倍數關系,只要給兩邊同除以n(n+1)(n+2),轉化為同型式.

解析將等式nan+1=(n+2)an+1 的兩邊同除以n(n+1)(n+2)得,

點評本例解答的關鍵是將遞推關系nan+1=(n+2)an+1,轉化為同型式

一般地, 數列遞推式中如果出現數列項an,an+1的n倍關系,通過變形轉化為同型式,再利用累加法或累乘法等求出通項.

由此可見,數學競賽中遞推數列問題,通常是通過化歸與轉化,最終化為等差數列、等比數列、簡單的線性遞推關系,只需用通項公式法、累加法、累乘法、迭代法、待定系數法求解. 因此,在平時的學習中要注重基礎,才能發展能力,從而提升數學素養.